| 【编号：496021】2007年全国高考冲刺数学仿真试题汇编八套题 上学期 全国通用 |
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| 22.(本小题满分14分)已知椭圆C1: +y2=1的左、右顶点分别是A、B，点P是双曲线C2: －y2=1在第一象限部分上的一点，连结AP交椭圆C1于点C，连结PB并延长交椭圆C1于点D.
(1)若直线PA与PB的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2是定值；
(2)若△ACD与△PCD的面积相等，求直线CD的倾斜角；
(3)直线CD的倾斜角是否会随着点P的不同而改变？并说明理由.
答案：(1)证明：设点P的坐标为(x0,y0),则x02－4y02=4.
∵k1= ,k2= ,
∴k1•k2= = .
(2)解：∵△ACD与△PCD的面积相等，
∴C为AP的中点，P点的坐标为(x0,y0)(x0，y0>0).
C( , )代入椭圆中消去y0,得x02－2x0－8=0,x0=4或x0=－2(舍).
将直线PB的方程y= (x－2)代入椭圆中求得D(1,－ ).
∴直线CD的倾斜角为 .
(3)解：设直线PA与PB的斜率分别为k1、k2，直线PA与PB的方程分别为PA：y=k1(x+2)和PB：y=k2(x－2).
分别代入椭圆方程中求得D、C的横坐标xC= ,xD= .
∵k1•k2= ,xC－xD= － ,
化简得xC－xD=0，
∴直线CD的倾斜角不会随着点P的不同而改变.
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