专题3.1 导数的概念及运算（重难点突破）-突破满分数学之2021高考数学（文）总复习导与学

专题3.1 导数的概念及其运算重难点突破 考情分析 1.了解导数概念的实际背景； 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义； 3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝eq \f(1,x)，y＝x2，y＝x3，y＝eq \r(x)的导数； 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数； 二、经验分享 三、考点梳理 1. 导数的概念 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)． 若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)． 2. 导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3. 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα f′(x)＝αxα－1 续表 基本初等函数 导函数 f(x)＝sinx f′(x)＝cosx f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0) f′(x)＝axlna f(x)＝lnx f′(x)＝eq \f(1,x) f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝eq \f(1,xlna) 4. 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,g2（x）)(g(x)≠0)． 5. 复合函数的求导法则 (1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． (2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 四、题型分析 重难点题型突破1 导数的运算 例1、求下列函数的导数： (1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；(2)y＝x－sin2xcos2x；(3)y＝excosx； (4)y＝eq \f(ln (2x＋1(,x).(5)y＝ln x＋eq \f(1,x)(6)y＝eq \f(sinx,x)(7)y＝(x2＋2x－1)e2－x. 例2、知函数f(x)＝eq \f(x,x＋2)，则函数在x＝－1处的切线方程是(　　) A.2x－y＋1＝0 B.x－2y＋2＝0 C.2x－y－1＝0 D.x＋2y－2＝0 【变式训练1】 、(多选)下列求导数运算正确的有(　　) A．(sin x)′＝cos x B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq \f(1,x2) C．(log3x)′＝eq \f(1,3ln x) D．(ln x)′＝eq \f(1,x) 【变式训练2】 .(2020·宜昌模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝(　　) A.eq \f(12－8ln 2,1－2ln 2) B．eq \f(2,1－2ln 2) C.eq \f(4,1－2ln 2) D．－2 重难点题型突破2导数的几何意义及其运算 求切线方程问题的两种类型及方法 (1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．. (2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即： ①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)； ②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1