专题04 恒成立问题（3月）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）》

专题04 恒成立问题 一、单选题 1．若定义在上的函数满足，且当时，，则满足的值 A．恒小于0 B．恒等于0 C．恒大于0 D．无法判断 【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理） 【答案】C 【分析】当时，求导，得出导函数恒小于零，得出在内是增函数．再由得的图象关于直线对称，从而得在内是减函数，由此可得选项． 【解析】当时，，则在内是增函数． 由得的图象关于直线对称，所以在内是减函数， 所以．故选C． 【名师点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性，抽象函数的对称性的应用，以及由函数的单调性比较其函数的大小关系，属于中档题． 2． 恒成立，则下列各式恒成立的是 A． B． C． D． 【试题来源】2020届福建省仙游县枫亭中学高三上学期期中考试（理） 【答案】B 【分析】构造函数，求出，得到该函数为R上的增函数，故得，，从而可得到结论． 【解析】设，，所以=， 因为对于，所以，所以是R上的增函数， 所以，，即，， 整理得和．故故选B． 3．已知，，下列说法错误的是 A．若，则 B．若，则 C．恒成立 D．恒成立 【试题来源】浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试 【答案】D 【解析】对于A，不妨令，，则， 所以即，由可知，则， 所以，，故A正确； 对于B，若，则，， 故即，与已知矛盾，故B正确； 对于C，， 令，，则， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以即，故C正确； 对于D，设，， 则，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 在上单调递增，在上单调递减，则， 所以，即当时，故D错误．故选D． 4．若是函数的极值点，数列满足，，设，记表示不超过的最大整数．设，若不等式对恒成立，则实数的最大值为 A． B． C． D． 【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学（理）能力测试试题 【答案】D 【分析】由极值点得数列的递推关系，由递推关系变形得数列是等比数列，求得，由累加法求得，计算出，然后求和，利用增函数定义得此式的最小值，从而得出的最小值，再由不等式恒成立可得的最大值． 【解析】，所以， 即有，所以是以2为首项3为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以 ， 又为增函数，当时，，， 若恒成立，则的最大值为1010．故选D． 【名师点睛】本题考查函数的极值，等比数列的判断与通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，函数新定义，不等式恒成立问题的综合应用．涉及知识点较多，属于中档题．解题方法是按部就班，按照题目提供的知识点顺序求解．由函数极值点得数列的递推公式，由递推公式引入新数列是等比数列，求得通项公式后用累加法求得，由对数的概念求得，用裂项相消法求和新数列的前项和，并利用函数单调性得出最小值，然后由新定义得的最小值，从而根据不等式恒成立得结论． 5．已知数列满足，．若恒成立，则实数 A．最小值是 B．最大值是 C．最大值是 D．最小值是 【试题来源】哈尔滨市第三中学2020-2021学年上学期高三1月线上学习阶段性考试（理） 【答案】C 【分析】作差，构造函数，利用导数知识可得，将恒成立化为恒成立，构造函数，利用导数知识求出的最小值即可得解． 【解析】由得，得，， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，取得最小值，所以， 所以，所以， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 令，则， 令得，得，又，所以， 令得，得，所以在上递减，在上递增， 所以当时，取得最小值，所以，即的最大值为．故选C 【名师点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则. 二、多选题 1．若满足，对任意正实数，下面不等式恒成立的是 A． B． C． D． 【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期6月月考 【答案】BD 【分析】根据，设，，得到在R上是增函数，再根据是正实数，利用单调性逐项判断． 【解析】设，， 因为，所以，在R上是增函数， 因为是正实数，所以，所以， 因为， 大小不确定，故A错误， 因为，所以，即，故B正确． 因为，所以， 因为，大小不确定．故C错误． ，因为，所以，故D正确．故选BD. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题． 2．定义在R上的函数的导函数为，且对恒成立，则下列选项不正确的是 A． B． C． D． 【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2019-2020学年高二下学期期中 【答案】BCD 【分析】构造出函数，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中，从而确定函数是单调递减函数，然后可判断出每个答案的正误． 【解析】构造函数， 因为， 故