02 同角三角函数之间的关系的三种命题角度-《中学生数理化》高一使用2021年4月刊

■ 王 有 就 同角三角函数的基本关系式 的应用很广泛,也比较灵活。高 考对同角三角函数基本关系式的 考查主要有下面三种命题角度。 一、知弦求弦 例1 已知sinθ+cosθ= 4 3 ,且θ∈ 0, π 4( ),则sinθ-cosθ 的值为 。 解:因为(sinθ+cosθ)2=1+ 2sinθcosθ= 16 9 ,所以2sinθcosθ= 7 9 ,则(sinθ-cosθ)2=1-2sinθ· cosθ= 2 9 。又因为θ∈ 0, π 4( ), 所以 sinθ<cosθ,即 sinθ- cosθ<0,所以sinθ-cosθ=- 2 3 。 反思:利 用 (sinθ±cosθ)2 =1± 2sinθcosθ解题,体现了整体代换的数学思想。 二、知弦求切 例2 已知sinα-cosα= 2,且α∈(0, π),则tanα= 。 解法1:因为sinα-cosα= 2,所以 (sinα-cosα)2=2,可得sin2α=-1。因为 α∈(0,π),可知2α∈(0,2π),所以2α= 3π 2 , 即α= 3π 4 ,所以tanα=-1。 解 法 2:由 sinα-cosα= 2, sin2α+cos2α=1,{ 可 得 2cos2α+2 2cosα+1=0,即(2cosα+ 1)2=0,所以cosα=- 2 2 。因为α∈(0,π), 所以α= 3π 4 ,所以tanα=-1。 解法3:因为sinα-cosα= 2,所以 2sinα- π 4( )= 2,即sinα- π 4( )=1。由 α∈(0,π),可得α= 3π 4 ,所以tanα=-1。 反思:解 法 1 是 利 用 sinα-cosα、 sinαcosα构造关于sin2α的方程求解的;解 法2是利用三角函数的基本关系 转化为关于cosα的一元二次方程 求解的;解法3是利用辅助角公 式求解的。 三、知切求弦 例3 已知α是三角形的一个 内角,且tanα=- 1 3 ,则sinα+ cosα的值为 。 解:由tanα= - 1 3 ,可 得 sinα=- 1 3cosα ,且 sinα>0, cosα<0,将 其 代 入 sin2α + cos2α=1,可得 10 9cos 2α=1,所以 cosα=- 3 10 10 ,sinα= 10 10 。 故sinα+cosα=- 10 5 。 反思:解答本题的关键是利用三角形的 一个内角,确定三角函数值的符号。 1.若 1+cosα sinα =2 ,则cosα-3sinα= 。 提示:因为1+cosα sinα =2 ,所以cosα= 2sinα-1。又sin2α+cos2α=1,所以sin2α+ (2sinα-1)2=1,即5sin2α-4sinα=0,解得 sinα= 4 5 或sinα=0(舍去),所以cosα- 3sinα=-sinα-1=- 9 5 。 2.已知m 为实数,且sinα,cosα是关于 x 的方程3x2-mx+1=0的 两 个 根,则 sin4α+cos4α的值为 。 提示:由 题 意 得sinαcosα= 1 3 ,因 此 sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α= 1-2× 1 9= 7 9 。 作者单位:湖北省巴东县第三高级中学 (责任编辑 郭正华) 4 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年4月 $