专题12 球的切接问题研究-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题12 球的切接问题研究 1、球的性质 球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R，截面圆的半径，球心到截面圆的距离为，则. 2、长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 3、几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①正方体的外接球，则； ②正方体的内切球，则2R=a； ③球与正方体的各棱相切，则. (2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c，外接球的半径为R，则. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 4、与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图. 5、解决与球有关的切、接问题的方法： (1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系． (2)若球面上四点P,A,B,C中PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题． 6、求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的. 典例1．（2021秋•眉山期末）在三棱锥P﹣ABC中，PA＝1，PB＝3，，且PA，PB，PC两两垂直．则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A．4π B． C．8π D．16π 【分析】如图，可将三棱锥P﹣ABC补形为一个长方体，三棱锥的外接与长方体的外接球为同一个，即可得到答案． 【解答】解：如图，可将三棱锥P﹣ABC补形为一个长方体， 则此长方体的外接球为所求． 易知长方体的体对角线即为其外接球的一条直径， 故外接球半径2，表面积为4πr2＝16π． 故选：D． 典例2．（2021秋•赣州期末）已知P是边长为6的等边△ABC所在平面外一点，PB＝4，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（　　） A．16π B．32π C．64π D．256π 【分析】由题意分析可得，当PB⊥平面ABC时三棱锥P﹣ABC的体积最大，然后作图，将三棱锥还原成正三棱柱，按照正三棱柱外接球半径的计算方法来计算，即可计算出球半径，从而求得球的表面积． 【解答】解：由题意可知，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时是PB⊥平面ABC时，△ABC为正三角形， 如图所示，将三棱锥P﹣ABC补成正三棱柱TPS﹣ABC， 该正三棱柱的外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球， 而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圆圆心连线的中点上， 设△ABC外接圆半径为r，三棱锥P﹣ABC的外接球半径为R， 由正弦定理可得：，所以， ， 所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为S＝4πR2＝64π． 故选：C． 轴截面法：第一步 首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面； 第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系. 等体积法：若几何体各个面都与球相切，则可以内切球球心为顶点，将几何体分成多块，几何体的体积，所以. 典例1．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？ 【答案】球取出后，圆锥内水平面高为． 【解析】 如图, 作轴截面, 设球未取出时, 水面高PC=h, 球取出后, 水面高PH=x. AC=r, PC=3r, 则以AB为底面直径的圆锥容积为 球取出后,水面下降到EF,水的体积为 又，则，解得． 答：球取出后，圆锥内水平面高为． 典例2．（2021•丙卷模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，PA，AB＝2，则四棱锥P﹣ABCD内切球的体积为（　　） A．π B．π C．π D．π 【分析】利用等体积法求解内切球的半径，从而求解内切球的体积． 【解答】解：由PO⊥底面ABCD，PA，AB＝2，O是正方形ABCD的中心，那么AO． 则OP． 那么，四棱锥P﹣ABCD的体积V． 设四棱锥P﹣ABCD内切球半径为r， 那么，四棱锥P﹣ABCD的体积Vr ∴． 解得r； 则四棱锥P﹣ABCD内切球的体积V； 故选：B． 一．选择题（共12小题） 1．（2022•淮北一模）半球内放三个半径为的小球，三小球两两