第6章 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

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6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 学习任务目标 　　1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算． 　　2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式． 　　3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直. (1) 平面向量的数量积(内积)的定义：a·b＝|a||b|cos θ. (2)两个向量的数量积的性质： ①a·a＝|a|2或|a|＝； ②cos θ＝； ③a⊥b⇔a·b＝0. 知识点一　向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. [微训练] 1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b＝1. 2．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　　) A．3 B．－3 C． D．－ A　解析：a·b＝－x＋6＝3，故x＝3. 知识点二　用平面向量的坐标表示公式 (1)向量模的坐标表示 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝. (2)两向量垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)两向量夹角的余弦公式 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得cos θ＝＝. [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (×) (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0. (×) (3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角． (×) (4)若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°. (×) (5)若向量a＝(1,0)，b＝，则|a|＝|b|.(　　) ×　提示：|a|＝1，|b|＝＝，显然|a|≠|b|. 2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. B　解析：设a与b的夹角为θ.∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5，∴cos θ＝＝＝. 又∵a，b的夹角范围为[0，π]，∴a与b的夹角为. 数量积的坐标运算 1．已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 B　解析：因为a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)， 所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. 2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 A　解析：由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5. 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上．若·＝，则·＝. 解析：如图，以A为坐标原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴建立平面直角坐标系，则B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1)． 设F(x,2)，因为·＝(，0)·(x,2)＝x＝，所以x＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝. 平面向量的模 【例1】平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　) A． B．2 C．4 D．12 B　解析：∵a＝(2,0)，|b|＝1， ∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a＋2b|＝＝2. 【例2】已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)． (1)求a－2b及其模的大小； (2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|. 解：(1)a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)， |a－2b|＝＝. (2)∵a·b＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1， ∴c＝a－(a·b)·b＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)， ∴|c|＝＝. 1．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)．若a∥b，则|2a－b|＝(　　) A．4 B．5 C．3 D．4 D　解析：由a∥b得y＋4＝0， ∴y＝－4，b＝(－2，－4)， ∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4.故选D. 2．(多选)已知a＝(1,0)，|b|＝1，c＝(0，－1)，满足3a＋kb＋7c＝0，则实数k的值可能为(　　) A． B．－ C．58 D．－58 AB　解析：由题意可得，kb＝－3a－7c＝－3×(1,0)－7×(0，－1)