第二章 第2讲 函数的单调性与最值-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

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高考总复习·理科数学［全国统考版］ 第2讲　函数的单调性与最值 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x) ≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 1．设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)x1－x2>0(<0)，f(x1)－f(x2)>0(<0)⇔f(x)在D上单调递增；x1－x2>0(<0)，f(x1)－f(x2)<0(>0)⇔f(x)在D上单调递减； (2)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增； <0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；减区间为[－，0)和(0，]，且对勾函数为奇函数． 3．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数，增函数－减函数＝增函数，减函数－增函数＝减函数． 4．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 5．复合函数y＝f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”，即如果y＝f(u)与u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f(g(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝g(x)的单调性相反，那么y＝f(g(x))单调递减． 1．(2022·河北石家庄模拟)下列函数中，在R上是增函数的是(　　) A．y＝x B．y＝lg (x2＋1) C．y＝tanx D．y＝ex－1 答案　D 解析　对于A，函数y＝x的定义域是[0，＋∞)，不满足题意；对于B，函数y＝lg (x2＋1)是偶函数，在y轴两侧单调性相反，不满足题意；对于C，函数y＝tanx的定义域是，不满足题意；对于D，函数y＝ex－1的定义域是R，且在R上单调递增，满足题意．故选D. 2．(2023·湖北名校联考)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的递增区间是(　　) A． B.和[2，＋∞) C． (－∞，1]和 D.和[2，＋∞) 答案　B 解析　y＝|x2－3x＋2|＝如图所示，函数的递增区间是和[2，＋∞)．故选B. 3．(2023·天津一中高三模拟)已知a＝log0.50.2，b＝0.50.2，c＝0.20.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 答案　A 解析　∵log0.50.2＞log0.50.5＝1，∴a＞1，又c＝0.20.5＜0.20.2，b＝0.50.2＞0.20.2，∴a＞b＞c.故选A. 4.设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为________． 答案　[－1，1]和[5，7] 解析　结合图象易知函数y＝f(x)的单调递增区间为[－1，1]和[5，7]． 5．函数f(x)＝|x－1|＋x2的值域为________． 答案　 解析　因为f(x)＝|x－1|＋x2＝ 所以f(x)＝作出函数图象如图实线部分，由图象知f(x)＝|x－1|＋x2的值域为. 6．已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________． 答案　0　2－3 解析　因为f(－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1，所以f(f(－3))＝f(1)＝1＋2－3＝0.当x≥1时，x＋－3≥2－3＝2－3，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)min＝2－3<0；当x<1时，lg (x2＋1) ≥lg (02＋1)＝0，此时f(x)min＝0.所以f(x)的最小值为2－3. 考向一　证明或判断函数的单调性 例1　讨论函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性． 解　解法一：设x1，x2是任意两个正数，且0<