压轴题05解答题（三）（圆的综合题）-2024年中考数学压轴题专项训练（北京专用）

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压轴题05 解答题（三）（圆的综合题） 01 圆的基本性质 圆的基本性质： 在圆中求线段长度，经常使用垂径＋勾股；若是在圆中求角度，则根据同弧或等弧可得； 圆与其他几何图形结合起来考查的问题，看圆和何种图形结合，就多注意综合运用圆的性质与所结合图形的性质； 圆与切线综合： 有切线必有直角，有直角三角形，求长度则多想勾股定理及与直角三角形有关的相似。 证切线的方法： 1、已知半径证垂直；2、已知垂直证半径。 中考真题演练 1．（2021•北京）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E． （1）求证：∠BAD＝∠CAD； （2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长． 2．（2023•北京）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长． 3．（2022•北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD． （1）求证：∠BOD＝2∠A； （2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线． 精选试题训练 1．如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E，AB＝AC． （1）求证：∠ABE＝∠ACD； （2）连接BC，若BC为⊙O的直径，求证：BE＝CD． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，点E为以BD为直径的⊙O上一点，且AE＝AC，连接BE，DE，已知AD＝1，AC＝． （1）求⊙O的周长； （2）求证：AE是⊙O的切线． 3．如图，△ABC中，AB＝AC，圆O为△ABC 的外接圆，弦BD⊥OC 于点F，交AC于点E，连结CD． （1）求证：BE＝BC； （2）若tan∠BCA＝3，EF＝2，求AB的长． 02 圆的综合题 北京中考圆的综合基本都是在最后一题，与新定义和平面直角坐标系等知识相结合，考查难度大。所以此专题先将圆的综合题进行训练适应，在后续专题会进行北京中考考查题型训练。 中考真题演练 1．（2023•枣庄）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C作射线BD的垂线，垂足为E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若BE＝3，AB＝4，求BC的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）． 2．（2023•呼和浩特）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM． （1）求证：DM是⊙O的切线； （2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ． ①当tan∠BAP＝时，求BP的长； ②求的最大值． 3．（2023•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）． （1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明； （2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tanD）2的值； （3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 精选试题训练 1．我们定义：过三角形的一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，且相似比为1：2，则原三角形叫做“友好三角形”． （1）如图1，已知在△ABC中，AB＝2，，求证：△ABC是“友好三角形”； （2）如图2，在5×5的网格图中，点A、B在格点上，请在图中画出一个符合条件的“友好三角形”△ABC，要求点C在格点上； （3）如图3，在（1）的条件中，作△ACD的外接圆⊙O，点E是⊙O上的一点，CE＝CA，连接DE； ①设AD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式； ②当CE∥AB时，求⊙O的半径． 2．如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O．P是⊙O的劣弧BC上的任意一点．连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD2＝BC•BE． （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若四边形ABCD是正方形，连接AC．当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得＝．当P既不与C重合也不与B重合时，＝是否成立？请证明你的结论． 3．如图，AB是⊙