2024年黑龙江省大庆第一中学　中考数学模拟试卷（6）

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2024年黑龙江省大庆一中中考数学模拟试卷（6） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，满分30分） 1．（3分）2024的倒数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 2．（3分）近日，支原体肺炎备受关注，它是由肺炎支原体引起的下呼吸道感染，发热等．支原体是介于细菌和病毒之间的已知能独立生活的病原微生物中的最小者，大小约为0.0000002米．“0.0000002”用科学记数法表示为（　　） A．0.2×10﹣6 B．2×10﹣6 C．2×10﹣7 D．20×10﹣7 3．（3分）如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A、B两点之间，且靠近点A D．A、B两点之间，且靠近点B 4．（3分）下列式子成立的是（　　） A．2m+3n＝5mm B．3a3•2a2＝6a5 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．3（a+b）＝3a+b 5．（3分）如图，是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图及俯视图，则它的左视图的面积是（　　） A． B．8 C． D．16 6．（3分）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 7．（3分）如图是闽清县3月11日至17日的天气情况，下列判断正确的是（　　） A．最低气温的方差大于最高气温的方差 B．这七天温差的中位数为4℃ C．这七天温差的众数为15℃ D．这七天温差的平均数为7℃ 8．（3分）已知点P（x，y）在第二象限，且y≤2x+6，x，则点P的个数是（　　） A．3 B．6 C．10 D．无数个 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，C在x轴的正半轴上，D（2，），P（﹣1，﹣1），点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），与菱形的另一边交于点N，连接PM，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y（　　） A． B． C． D． 10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5，当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y1，最小值为y2，若y1﹣y2＝3，则a的值为（　　） A．1或 B．2或3﹣ C．2或3+ D．或 二.填空题（每空3分，满分24分） 11．（3分）在函数的表达式中，自变量x的取值范围是 　 　． 12．（3分）分解因式：2x3﹣2x＝　 　． 13．（3分）已知，则（x﹣y）2023的值为 　 　． 14．（3分）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是关于x的方程x2﹣mx+6＝0的两根，则菱形ABCD的面积是 　 　． 15．（3分）观察图中点的个数．若按此规律画下去，且第10个图形中所有点的个数为 　 　． 16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，旋转后点P的对应点为点P′，则线段PP′长度的取值范围是 　 　． 17．（3分）为了方便大家采购水果，各大超市开通了送货到家的便民服务．新世纪百货超市推出了适宜大多数家庭需求的甲、乙两种水果礼盒供市民直接选购（两种礼盒均由A、B、C三种水果混合搭配）．其中，3千克B，1千克C，1千克B，2千克C．甲、乙两种水果礼盒每盒成本价分别为盒中A，B，甲种水果礼盒每盒售价为39元，利润率为30%，则该超市销售的甲、乙两种水果礼盒的数量之比是 　 　． 18．（3分）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：函数y＝x+1的“镜面函数”的解析式为（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）关于直线x＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，则n的取值范围是 　 　． 三.解答题（共10题，满分66分） 19．（4分）计算：． 20．（4分）已知x2﹣x﹣3＝0，求代数式x（x﹣4）+（x+1）2的值． 21．（6分）某网店销售台灯，成本为每盏30元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为40元时，平均每月售出600盏，其月销售量就增加200盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，若预计月获利恰好为8400元，求每盏台灯的售价． 22．（6分）2023年10月26日11时14分，神舟十七号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．为了弘扬航天精神，学校随机抽取了七年级的部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，A组：50≤x＜60；C组：70≤x＜80；D组：80≤x＜90，71，72，72，74，76，76，77，79．根据以上数据 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查 　 　名同学，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为 　 　度； （3）抽取的七年级的部分同学的成绩的中位数是 　 　分； （4）该校要对成绩为E组的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为2：8 23．（6分）图（1）是一种手机自拍杆，杆体从上至下分别由手机夹架、多节套管和支架脚连接而成．使用时通过自由伸缩套管调节自拍杆的长度（2）是其简化示意图，手机ABCD（为矩形），E为BC的中点，EF﹣26cm，BC与地面GH平行，EF⊥BC． （1）当∠GFH＝120°时，求点E到地面的高度； （2）若在某环境中拍摄时，调节支架脚使∠FGH＝40°，BC＝16cm．求点G到直线AB与GF交点的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，＝1.73．结果精确到0.1cm） 24．（7分）如图，在△AOC中，OA＝OC，作∠COB的角平分线OH，过点C作CF⊥OH于点F． （1）求证：四边形CDOF是矩形； （2）连接DF，若sinA＝，AC＝9 25．（7分）直线l1：y＝kx+b分别与x轴，y轴交于点D、C，与反比例函数（1，3）、B（3，m）． （1）求a的值及直线l1的解析式； （2）连接AO，若在射线DO上存在点E，使，求点E的坐标； （3）如图2，将反比例函数的图象沿直线l1翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线l2：y＝﹣x+t与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的t的取值范围． 26．（8分）某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． （1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校计划购买A，B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，设购买A种奖品m件，购买费用为W元（元）与m（件）之间的函数关系式．求当m为何值时，并确定最少费用W的值． 27．（9分）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值； （3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，连PC、PD，若AB＝2 28．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（﹣2，0）B（7，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，MN//y轴交BC于点N，求的最大值； （3）如图2，在y轴上取一点G（0，7），抛物线沿BG方向平移，新抛物线与x轴交于点E，F，交y轴于点D，线段OF关于线段OP的对称线段OF′所在直线交新抛物线于点H，直线F′P与直线BG所成夹角为45° 2024年黑龙江省大庆一中中考数学模拟试卷（6） 参考答案与试题解析 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，满分30分） 1．（3分）2024的倒数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【分析】根据乘积是1的两数互为倒数解答即可． 【解答】解：2024的倒数是； 故选：C． 【点评】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键． 2．（3分）近日，支原体肺炎备受关注，它是由肺炎支原体引起的下呼吸道感染，发热等．支原体是介于细菌和病毒之间的已知能独立生活的病原微生物中的最小者，大小约为0.0000002米．“0.0000002”用科学记数法表示为（　　） A．0.2×10﹣6 B．2×10﹣6 C．2×10﹣7 D．20×10﹣7 【分析】科学记数法的表现形式为a×10﹣n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：0.0000002＝2×10﹣7． 故选：C． 【点评】本题主要考查了科学记数法，掌握形式为a×10﹣n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键． 3．（3分）如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A、B两点之间，且靠近点A D．A、B两点之间，且靠近点B 【分析】利用有理数的乘法，加法法则判断即可． 【解答】解：∵如图，数轴上的A、b，且a+b＜0， ∴a与b异号且b绝对值大，即a＞0，|b|＞|a|， 则原点O的位置在A、B两点之间， 故选：C． 【点评】此题考查了有理数的乘法，加法，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（3分）下列式子成立的是（　　） A．2m+3n＝5mm B．3a3•2a2＝6a5 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．3（a+b）＝3a+b 【分析】运用合并同类项、单项式乘单项式、完全平方公式和单项式乘多项式等知识进行逐一计算、求解． 【解答】解：∵2m和3n不是同类项， ∴选项不符合题意； ∵6a3•2a5＝6a5， ∴选项不符合题意； ∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b8， ∴选项不符合题意； ∵3（a+b）＝3a+8b， ∴选项不符合题意， 故选：B． 【点评】此题考查了合并同类项、单项式乘单项式、完全平方公式和单项式乘多项式等方面的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算． 5．（3分）如图，是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图及俯视图，则它的左视图的面积是（　　） A． B．8 C． D．16 【分析】过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案． 【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D， ∵AD＝CD＝2， ∴AB＝4， ∴BD＝3， ∵左视图矩形的长为4， ∴左视图的面积为6×2＝7． 故选：C． 【点评】本题考查简单的几何体的三视图，三视图的面积的计算，本题是一个易错题，易错点在左视图的宽，是等边三角形的高，错成底边的边长． 6．（3分）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【分析】根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质，即可求解． 【解答】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时， ∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等， ∴凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 【点评】本题考查了与三角形相关的线段以及线段的垂直平分线，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 7．（3分）如图是闽清县3月11日至17日的天气情况，下列判断正确的是（　　） A．最低气温的方差大于最高气温的方差 B．这七天温差的中位数为4℃ C．这七天温差的众数为15℃ D．这七天温差的平均数为7℃ 【分析】根据平均数，中位数，众数以及方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：A、最低气温的分布集中，故最高气温的方差大于最低气温的方差； B、第一天的温差是3℃，第三天的温差是4℃，第五天的温差是7℃，第七天的温差是15℃， 把这些数从小到大排列为：1，3，3，4，4，15，这七天温差的中位数为5℃； C、这七天温差的众数为4℃； D、这七天温差的平均数为（℃）； 故选：B． 【点评】本题考查了平均数，中位数，众数以及方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 8．（3分）已知点P（x，y）在第二象限，且y≤2x+6，x，则点P的个数是（　　） A．3 B．6 C．10 D．无数个 【分析】先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值． 【解答】解：∵点P（x，y）位于第二象限， ∴x＜0，y＞0， 又∵y≤6x+6， ∴2x+2＞0，即x＞﹣3， ∴﹣4＜x＜0，x＝﹣1或﹣6， 当x＝﹣1时，0＜y≤3，2，3，5； 当x＝﹣2时，0＜y≤8； 综上所述，点P为：（﹣1，（﹣1，6），4），1），4）共6个点． 故选：B． 【点评】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求特殊值． 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，C在x轴的正半轴上，D（2，），P（﹣1，﹣1），点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），与菱形的另一边交于点N，连接PM，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y（　　） A． B． C． D． 【分析】观察图象和根据直角三角形AOB的面积求出A点，B点，C点的坐标，再分点M的横坐标在0～1，1～2，2～3三部分求出面积y与M点横坐标x的函数关系，最后判断出函数图象． 【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝AD＝2， 所以OB4＝22﹣2， OB＝1， OC＝4+2＝3． （1）当M横坐标在7～1之间， 在三角形PMN中，P点横坐标为（﹣1，M平行y轴， 所以高＝5+x， 直线AB所在的函数为：y＝kx+b，经过点A（0，），8）， 代入解析式得到：k＝﹣，b＝， 得到解析式：y＝﹣x+， 又因为MN平行于y轴， 所以点N的横坐标为x，代入y＝﹣， 即点N的坐标（x，﹣x+）， 所以MN＝﹣（﹣）＝x， S△PMN＝×x×（1+x）＝x2+x， 所以当点M横坐标在0～1之间是开口向上的抛物线． （2）当点M横坐标在4～2之间， 在三角形PMN中，底为， 所以S△PMN＝×（1+x）×＝， 所以点M横坐标在1～3之间是一次函数，即一条直线． （3）当M横坐标在2～3之间， 在三角形PMN中，高为7+x， 直线CD所在直线的函数为：y＝kx+b经过点C（3，0），）， 代入解析式得到：y＝﹣x+3， 将点M横坐标x代入解析式得到纵坐标为：﹣x+3， S△PMN＝×（8+x）×（﹣）＝﹣x2+x+， 所以点M横坐标在2～3之间是二次函数，开口向下的抛物线． 故答案为A． 【点评】本题考查了函数和三角形面积的应用，关键分段进行函数的解析式与图象的解答． 10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5，当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y1，最小值为y2，若y1﹣y2＝3，则a的值为（　　） A．1或 B．2或3﹣ C．2或3+ D．或 【分析】依据题意，由y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，故抛物线的对称轴是直线x＝3，抛物线开口向下，又当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y1，最小值为y2，若y1﹣y2＝3，进而分类讨论计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+4， ∴抛物线的对称轴是直线x＝3，抛物线开口向下． ①当a+3＜4时，即a＜0． ∵x＜3时，y随x的增大而增大， ∴当x＝a时，取最小值为y4＝﹣a2+6a﹣7； 当x＝a+3时，取最大值为y1＝﹣（a+4）2+6（a+6）﹣5． 又∵y1﹣y6＝3， ∴﹣（a+3）8+6（a+3）﹣5+a2﹣6a+2＝3． ∴a＝1，不合题意． ②当a＞8时， ∵x＞3时，y随x的增大而减小， ∴当x＝a时，取最大值为y1＝﹣a2+6a﹣5； 当x＝a+4时，取最小值为y2＝﹣（a+3）8+6（a+3）﹣2． 又∵y1﹣y2＝3， ∴﹣a2+6a﹣5﹣[﹣（a+3）2+3（a+3）﹣5]＝2． ∴a＝2，不合题意． ③当a≤3≤a+4时，即0≤a≤3． ∴当x＝6时，取最大值为y1＝﹣38+6×3﹣6＝4． 若当x＝a时，取最小值为y2＝﹣a7+6a﹣5， ∴y4﹣y2＝4+a8﹣6a+5＝2． ∴a＝3+（舍去）或a＝4﹣． 若当x＝a+3时，取最小值为y3＝﹣（a+3）2+2（a+3）﹣5， ∴y5﹣y2＝3， ∴4﹣[﹣（a+3）2+4（a+3）﹣5]＝4． ∴a＝﹣（舍去）或a＝． 综上，a＝． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 二.填空题（每空3分，满分24分） 11．（3分）在函数的表达式中，自变量x的取值范围是 　x≥1　． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：x﹣1≥0， 解得：x≥4， 故答案为：x≥1． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12．（3分）分解因式：2x3﹣2x＝　2x（x+1）（x﹣1）　． 【分析】首先提公因式2x，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【解答】解：原式＝2x（x2﹣8）＝2x（x+1）（x﹣4）， 故答案为：2x（x+1）（x﹣5）． 【点评】本题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 13．（3分）已知，则（x﹣y）2023的值为 　﹣1　． 【分析】根据二次根式有意义的条件得x＝3，从而求得y＝4，进而解决此题． 【解答】解：， ∴， ∴x＝3， ∴＝8， ∴（x+y）2023 ＝（3﹣4）2023 ＝（﹣7）2023 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，求解代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 14．（3分）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是关于x的方程x2﹣mx+6＝0的两根，则菱形ABCD的面积是 　3　． 【分析】先利用方程得到，再利用菱形的面积等于对角线相等除以2，即可解答． 【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是关于x的方程x2﹣mx+6＝5的两根， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：3． 【点评】本题考查了根与系数的关系，菱形的面积，熟知菱形的面积等于对角线相等除以2是解题的关键． 15．（3分）观察图中点的个数．若按此规律画下去，且第10个图形中所有点的个数为 　121个　． 【分析】依次求出图形中点的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图象可知， 第1个图形中所有点的个数为：4＝32； 第2个图形中所有点的个数为：4＝32； 第8个图形中所有点的个数为：16＝42； …， ∴第n个图形中所有点的个数为（n+4）2个， ∴第10个图形中所有点的个数为112＝121（个）， 故答案为：121个． 【点评】本题考查规律型：图形的变化类，能根据所给图形发现所有点个数的变化规律是解题的关键． 16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，旋转后点P的对应点为点P′，则线段PP′长度的取值范围是 　≤PP'≤4　． 【分析】过点C作CH⊥AB于H，由勾股定理可求AB的长，由三角形面积公式可求CH的长，由旋转的性质可得PC＝P'C，∠PCP'＝90°，可得PP'＝CP，则当点P与点B重合时，CP有最大值为4，当点P与点H重合时，CP有最小值为，即可求解． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于H， ∵∠ACB＝90°，AC＝3， ∴AB＝＝＝5， ∵S△ABC＝×3×3＝， ∴CH＝， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C， ∴PC＝P'C，∠PCP'＝90°， ∴PP'＝CP， ∵P为边AB上一动点， ∴当点P与点B重合时，CP有最大值为4，CP有最小值为， ∴≤PP'≤5， 故答案为：≤PP'≤4． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 17．（3分）为了方便大家采购水果，各大超市开通了送货到家的便民服务．新世纪百货超市推出了适宜大多数家庭需求的甲、乙两种水果礼盒供市民直接选购（两种礼盒均由A、B、C三种水果混合搭配）．其中，3千克B，1千克C，1千克B，2千克C．甲、乙两种水果礼盒每盒成本价分别为盒中A，B，甲种水果礼盒每盒售价为39元，利润率为30%，则该超市销售的甲、乙两种水果礼盒的数量之比是 　5：6　． 【分析】设A种水果每千克成本价为x元，C种水果每千克成本价为y元，根据甲种水果礼盒的售价及利润率，可列出关于x，y的二元一次方程，解之可得出x+y的值，将其代入2（x+y）+4.5中，可求出乙种水果礼盒每盒成本价，设该超市销售m盒甲种水果礼盒，n盒乙种水果礼盒，根据这两种水果礼盒的总销售利润率达到24%，可列出关于m，n的二元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设A种水果每千克成本价为x元，C种水果每千克成本价为y元， 根据题意得：（1+30%）（x+4.2×3+y）＝39， 解得：x+y＝16.5， ∴乙种水果礼盒每盒成本价是5（x+y）+4.5＝8×16.5+4.8＝37.5． 设该超市销售m盒甲种水果礼盒，n盒乙种水果礼盒， 根据题意得：（16.5+2.5×3）×30%m+37.4×20%n＝[（16.5+4.2×3）m+37.5n]×24%， 整理得：3.8m＝1.6n， 解得：m：n＝5：6． 故答案为：8：6． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 18．（3分）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：函数y＝x+1的“镜面函数”的解析式为（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）关于直线x＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，则n的取值范围是 　或n　． 【分析】先求出y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“镜面函数”解析式，再分x＝﹣1以及顶点在y＝﹣2上的情况和x＝3时，列出不等式求解即可． 【解答】解：函数y＝x2﹣2nx+7（n＞0）的“镜面函数”解析式为y＝x2+7nx+2（n＞0）， 当x＝﹣5时，y＜0， ∴1﹣3n+2＜0， 解得n＞， 当y＝x2﹣5nx+2（n＞0）的顶点在CD上时，， 解得n＝2或n＝﹣3（舍）， 此时，函数y＝x2﹣2nx+6（n＞0）关于直线x＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边有3个交点，不合题意， ∴， 当x＝3时，y＜﹣2， ∴3﹣6n+2＜﹣4， 解得n， 综上，n的取值范围为． 故答案为：或n． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象和性质，矩形的性质，坐标与图形变化﹣对称，理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 三.解答题（共10题，满分66分） 19．（4分）计算：． 【分析】先计算特殊角三角函数值，再化简二次根式，计算零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可． 【解答】解： ＝1﹣3+8﹣2×1 ＝4﹣3+9﹣7 ＝5． 【点评】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 20．（4分）已知x2﹣x﹣3＝0，求代数式x（x﹣4）+（x+1）2的值． 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项把原式化简，整体代入计算，得到答案． 【解答】解：原式＝x2﹣4x+x8+2x+1 ＝5x2﹣2x+4， ∵x2﹣x﹣3＝8， ∴x2﹣x＝3， ∴6x2﹣2x＝6， 则原式＝6+1＝7． 【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则、灵活运用整体思想是解题的关键． 21．（6分）某网店销售台灯，成本为每盏30元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为40元时，平均每月售出600盏，其月销售量就增加200盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，若预计月获利恰好为8400元，求每盏台灯的售价． 【分析】根据售价每下降1元，其月销售量就增加200盏即可得到销售数量，然后根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可求解． 【解答】解：根据题意，得（x﹣30）[（40﹣x）×200+600]＝8400， 解得x1＝36（舍），x2＝37． 当x＝36时，（40﹣36）×200+600＝1400＞1210； 当x＝37时，（40﹣37）×200+600＝1200＜1210； 答：每个台灯的售价为37元． 方法二： 设每个台灯降价x元． 根据题意，得（40﹣x﹣30）（200x+600）＝8400， 解得x4＝3，x2＝2（舍）． 当x＝3时，40﹣3＝37； 当x＝4时，40﹣3＝36； 答：每个台灯的售价为37元． 【点评】本题考查了用一元二次方程解决销售问题应用题，解决本题的关键是掌握成本、售价、单个利润、销售量、总利润等之间的关系． 22．（6分）2023年10月26日11时14分，神舟十七号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．为了弘扬航天精神，学校随机抽取了七年级的部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，A组：50≤x＜60；C组：70≤x＜80；D组：80≤x＜90，71，72，72，74，76，76，77，79．根据以上数据 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查 　50　名同学，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为 　36　度； （3）抽取的七年级的部分同学的成绩的中位数是 　77　分； （4）该校要对成绩为E组的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为2：8 【分析】（1）由D组人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以B组对应百分比求出其人数即可补全图形； （2）360°乘以A组人数所占比例即可； （3）根据中位数的定义解答即可； （4）总人数乘以一等奖人数所占比例，再乘以样本中E组人数所占比例即可． 【解答】解：（1）本次随机抽查的学生人数是15÷30%＝50（名）， B组人数为50×20%＝10（名）， 补全图形如下： 故答案为：50； （2）扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数为360°×， 故答案为：36； （3）把抽取的七年级的部分同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是77，故中位数为， 故答案为：77； （4）1500××＝48（人）， 答：估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数大约为48人． 【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答． 23．（6分）图（1）是一种手机自拍杆，杆体从上至下分别由手机夹架、多节套管和支架脚连接而成．使用时通过自由伸缩套管调节自拍杆的长度（2）是其简化示意图，手机ABCD（为矩形），E为BC的中点，EF﹣26cm，BC与地面GH平行，EF⊥BC． （1）当∠GFH＝120°时，求点E到地面的高度； （2）若在某环境中拍摄时，调节支架脚使∠FGH＝40°，BC＝16cm．求点G到直线AB与GF交点的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，＝1.73．结果精确到0.1cm） 【分析】（1）设EF所在直线交GH 于点M，由GH∥BC，EF⊥BC，得出FM⊥GH，再利用特殊角，解直角三角形即可； （2）延长AB与GF交于点N，根据条件确定出GM的长，再过点N作 NP⊥EM，垂足为P，则NP∥GM，且NP＝BE＝8cm，易得△FNP∽△FGM，根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）设EF所在直线交GH 于点M， ∵GH∥BC，EF⊥BC， ∴FM⊥GH， ∵FG＝FH＝13 cm，∠GFH＝120°， ∴∠GFM＝∠HFM＝60°， ∴FM＝FH・cos 60°＝13×＝3.5（cm）， ∵EF＝26 cm， ∴点E到地面的高度EM＝EF+FM＝32.5cm． （2）如图，延长AB与GF交于点N， ∵∠FGH＝40°，FG＝13cm， ∴GM＝FG×cos 40°≈13 x 3.77＝10.01（cm）， ∵E为BC的中点，BC＝16 cm， ∴BE＝8cm， 过点N作 NP⊥EM，垂足为P，且NP＝BE＝8cm， 易得△FNP∽△FGM， ∴，即， ∴FN≈10.39m， ∴点G到直线AB与GF交点的距离GN＝GF﹣FN＝13﹣10.39≈2.6（cm）． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，读懂题意是解答本题的关键． 24．（7分）如图，在△AOC中，OA＝OC，作∠COB的角平分线OH，过点C作CF⊥OH于点F． （1）求证：四边形CDOF是矩形； （2）连接DF，若sinA＝，AC＝9 【分析】（1）根据OA＝OC，OD是AC边上的中线，得，结合∠COB的角平分线OH，得到∠BOF＝∠COF，由此得到，结合CF⊥OH即可判定四边形CDOF是矩形． （2）根据OA＝OC，OD是AC边上的中线，得，结合，设OD＝4k，OA＝5k，根据勾股定理得，继而得到，得到，求得，根据四边形CDOF是矩形，得． 【解答】（1）证明：∵OA＝OC，OD是AC边上的中线， ∴， ∵∠COB的角平分线OH， ∴∠BOF＝∠COF， ∴， ∵CF⊥OH ∴四边形CDOF是矩形． （2）解：∵OA＝OC，OD是AC边上的中线， ∴， ∵， 设OD＝4k，OA＝3k， 根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∵四边形CDOF是矩形， ∴． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 25．（7分）直线l1：y＝kx+b分别与x轴，y轴交于点D、C，与反比例函数（1，3）、B（3，m）． （1）求a的值及直线l1的解析式； （2）连接AO，若在射线DO上存在点E，使，求点E的坐标； （3）如图2，将反比例函数的图象沿直线l1翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线l2：y＝﹣x+t与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的t的取值范围． 【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数，可得a，进一步利用反比例函数的解析式求得点B，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）依据题意，画出图形，根据面积可以得解； （3）根据题意分析出l2是平行于l2的动直线，求出与y＝切于点G，再借助于G、H关于点E对称，得到CE＝CF，求出过点G、点H时的t的值，即可得解． 【解答】解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数， ∴将点A的坐标代入，得， ∴a＝3， ∴反比例函数为y＝（x＞0）， 又∵B（3，m）在反比例函数y＝， ∴m＝1，即B（3， ∵点A（8，3），1）在直线y＝kx+b上 ∴， ∴直线l6的解析式为y＝﹣x+4； （2）∵直线l1为 y＝﹣x+7， ∴C（0，4）． ∵， ∴， 设E（d，0）， 如图，E在射线DO上，d＜0， ∴S△AOE+S△ACE＝S△COE+S△AOC． ∴， ∴d＝﹣2． ∴E（﹣7，0）； （3）依据题意，直线l2：y＝﹣x+t平行于直线l7， l2与封闭图形有交点，l2下端与y＝相切于点G， G、H关于点E对称． 由题意，， ∴x2﹣tx+3＝0． ∵相切， ∴Δ＝t2﹣12＝8． ∴t＝2（负数舍去）． ∴此时y＝﹣x+2．与y轴的交点E为（0，5）， ∵C（0，3）， ∴CE＝4﹣2， ∴CF＝4﹣2，OF＝4+4﹣8， ∴此时y＝﹣x+8﹣．与y轴的交点F为（0）， ∴． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质的应用，解题时需要熟练掌握并能灵活运用． 26．（8分）某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． （1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校计划购买A，B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，设购买A种奖品m件，购买费用为W元（元）与m（件）之间的函数关系式．求当m为何值时，并确定最少费用W的值． 【分析】（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）根据购买费用＝A，B两种奖品的费用之和即可得出W与m之间的函数关系式；根据题意可得关于m的不等式组，进而可求出m的范围，再根据一次函数的性质求最值即可． 【解答】解：（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元， ，解得：， 答：A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元； （2）由题意，得W＝10m+15（100﹣m）＝﹣5m+1500， 则， 解得：70≤m≤75， ∵m是整数， ∴m＝70，71，73，75． ∵W＝﹣5m+1500， ∴k＝﹣3＜0， ∴W随m的增大而减小， ∴m＝75时，W最小＝1125． ∴应买A种奖品75件，B种奖品25件． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用和一次函数的性质，正确理解题意、得出相等关系和不等关系是解题的关键． 27．（9分）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值； （3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，连PC、PD，若AB＝2 【分析】（1）连接OA，先得出∠OAC+∠OAD＝90°，再得出∠BAC+∠OAC＝90°，进而得出∠BAO＝90°，最后根据切线的判定得出结论； （2）先得出△BCA∽△BAD，进而得出，设半径OC＝OA＝r，根据勾股定理得出AB＝r，最后根据三角函数得出结果； （3）由（2）的结论，得出 r＝，结合直角三角形的性质得出AC＝2，AD＝2，然后得出△CAP∽△EAD，最后根据AE•AP＝AC•AD得出结论． 【解答】（1 ）证明：连接OA， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CAD＝90°， ∴∠OAC+∠OAD＝90°， 又∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， 又∵∠BAC＝∠ADB， ∴∠BAC+∠OAC＝90°， 即∠BAO＝90°， ∴AB⊥OA， 又∵OA为半径， ∴直线AB是⊙O的切线； （2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B， ∴△BCA∽△BAD， ∴， 设半径OC＝OA＝r， ∵BC＝2OC， ∴BC＝6r，OB＝3r， 在Rt△BAO中， AB＝，  在Rt△CAD中， tan∠ADC＝； （3）解：在（2）的条件下，AB＝2， ∴r＝， ∴CD＝6， 在Rt△CAD中， ，AC2+AD2＝CD4， 解得AC＝2，AD＝2， ∵AP平分∠CAD， ∴∠CAP＝∠EAD， 又∵∠APC＝∠ADE， ∴△CAP∽△EAD， ∴， ∴AE•AP＝AC•AD＝2×2＝4． 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，灵活运用性质解决实际问题是解题的关键． 28．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（﹣2，0）B（7，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，MN//y轴交BC于点N，求的最大值； （3）如图2，在y轴上取一点G（0，7），抛物线沿BG方向平移，新抛物线与x轴交于点E，F，交y轴于点D，线段OF关于线段OP的对称线段OF′所在直线交新抛物线于点H，直线F′P与直线BG所成夹角为45° 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过B点作BE⊥x轴交MQ于点E，可得四边形MNBE是平行四边形，再由∠ABC＝∠AQM，tan∠ABC＝tan∠AQM＝＝，推导出MN+BQ＝4MN，设M（m，m2﹣m﹣），N（m，m﹣），可得4MN＝﹣x2+7x，当m＝时，MN+BQ有最大值； （3）求出平移后的函数解析式为y＝（x﹣）2﹣，直线FD的解析式为y＝x﹣3，设P（t，t﹣3），当PF'∥x轴时，直线F′P与直线BG所成夹角为45°，求出F'（﹣，﹣），可得直线OF'的解析式为y＝x，直线与抛物线的交点即为H点；当PF'⊥x轴时，直线F′P与直线BG所成夹角为45°，求出F'（，﹣），可得直线OF'的解析式为y＝﹣x，直线与抛物线的交点即为H点． 【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）B（6， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣； （2）当x＝4时，y＝﹣， ∴C（6，﹣）， 设直线BC的解析式为y＝kx﹣， 将点B代入，可得7k﹣， 解得k＝， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣， 过B点作BE⊥x轴交MQ于点E， ∵MN∥y轴， ∴MN∥BE， ∵BC∥MQ， ∴四边形MNBE是平行四边形， ∴MN＝BE， ∵BC∥MQ， ∴∠ABC＝∠AQM， ∴tan∠ABC＝tan∠AQM＝， ∴＝， ∴BQ＝5BE， ∴MN+BQ＝4MN， 设M（m，m4﹣m﹣），m﹣）， ∴2MN＝4（m﹣﹣m2+m+2+7m， 当m＝时，MN+； （3）∵抛物线沿BG方向平移个单位， ∴抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正方向平移2个单位， ∴平移后的函数解析式为y＝（x﹣）2﹣， 当y＝0时，（x﹣）2﹣＝0， 解得x＝8或x＝﹣3， ∴E（﹣3，3），0）， 当x＝0时，y＝﹣5， ∴D（0，﹣3）， 设直线FD的解析式为y＝mx﹣6， ∴4m﹣3＝5， 解得m＝， ∴直线FD的解析式为y＝x﹣3， 设P（t，t﹣3）， ∵OB＝OG＝6， ∴∠OBG＝45°， 当PF'∥x轴时，直线F′P与直线BG所成夹角为45°， ∴OF＝OF'＝4，PF'＝OF， ∴F'（t﹣4，t﹣3）， ∴3＝， 解得t＝或t＝， ∴F'（﹣，﹣）， ∴直线OF'的解析式为y＝x， 当x＝x6﹣x﹣6时， ∴H点横坐标为﹣2或6； 当PF'⊥x轴时，直线F′P与直线BG所成夹角为45°， ∵PF'＝（4﹣t）， ∴F'（t，5t﹣8）， ∵OF'＝4， ∴＝4， 解得t＝4（舍）或t＝， ∴F'（，﹣）， ∴直线OF'的解析式为y＝﹣x， 当﹣x＝x3﹣x﹣4时或x＝， ∴H点的横坐标为或； 综上所述：H点坐标为﹣2或2或或． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/27 13:29:29；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$