1.4.1充分条件与必要条件（教学课件）-2024-2025学年高一数学同步精品一战式备课系列（人教A版2019必修第一册）

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必修一 《第一章 集合与常用逻辑用语》 §1.4.1 充分条件与必要条件 1.了解命题的概念，会判断命题的真假； 2.理解充分条件、必要条件的意义（重难点）； 3.会判断充分条件和必要条件（重点）． 学习目标 新知探究——命题 1.初中我们学过的命题的定义是什么？ [答案] 判断一件事的语句． 2.命题的常用形式是什么？ [答案] 数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式． 构建新知 1.命题 一般地，我们把用 语言 、 符号 或 式子 表达的，可以 判断真假 的 陈述句 叫做 命题 ． 判断为 真 的语句叫做 真命题 ， 判断为 假 的语句叫做 假命题 ． 本节主要讨论“ 若p，则q ”形式的命题，其中p称为命题的 条件，q称为命题的 结论 ． 例题精讲 例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若x2-4x+3=0,则x=1; （4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a//b. 真命题 假命题 假命题 真命题 例2 下列“ 若p，则q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若两个三角形全等，则这两个三角形相似； (2)若x>5，则x>10． 真命题 假命题 新知探究——充分条件 1. 若两个三角形全等，则这两个三角形相似； 在这个真命题中，如果 p 成立，那么 q 一定成立． 即：只要有 p 就能 充分 地保证 q 的成立． 此时，如果q不成立，则p一定不成立，所以， q 对于 p 成立而言是 必要 的． p q 在这个假命题中，条件p 不充分 ，所以， q对于p成立而言是 不必要 的． 2. 若x>5，则x>10． p q 构建新知 2.充分条件与必要条件 一般地，“若 ，则 ”为_________，是指由 通过推理可以得出 .这时，我们就说，由 可以推出 ，记作 ，并且说， 是 的___________， 是 的___________． 如果“若 ，则 ”为假命题，那么由条件 不能推出结论 ，记作 .此时，我们就说 不是 的___________， 不是 的___________． 真命题 充分条件 必要条件 充分条件 必要条件 是 的充分条件 是 的必要条件 例题精讲 例3 下列“若 <m></m> ，则 <m></m> ”形式的命题中，哪些命题中的 <m></m> 是 <m></m> 的充分条件？ （1）若 <m></m> ，则 <m></m> ； （2）若 <m></m> ，则 <m></m> ； （3）若 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> ； （4）若 <m></m> ，则 <m></m> ； [解析] （1）因为 ，所以 ，所以 是 的充分条件． （2）因为 ，当b=0时， 没有意义．因此，所以 是 的充分条件． （3）若 ， ，则 ，但 ，所以 ，所以 不是 的充分条件． （4）由 可以推出 或 ，不一定有 ，因此 ，所以 不是 的充分条件． 例题精讲 例4 下列“若 <m></m> ，则 <m></m> ”形式的命题中，哪些命题中的 <m></m> 是 <m></m> 的必要条件？ （1）若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形的两条对角线相等； （2）若 <m></m> 是直角三角形，则 <m></m> 是等腰三角形； （3）若 <m></m> ，则 <m></m> ； （4）若关于 <m></m> 的方程 <m></m> 有唯一解，则 <m></m> ． [解析] （1）等腰梯形的两条对角线相等,因此 ，所以 是 的必要条件． （2）直角三角形不一定是等腰三角形,因此 ，所以 不是 的必要条件． （3）命题“若 ，则 ”是真命题，因此 ，所以 是 的必要条件． （4）命题“若关于 的方程 有唯一解，则 ”为假命题，因此 ，所以 不是 的必要条件． 新知运用 解决问题 小组研讨 1.设集合 ， ，则“ ”是“ ”的_______条件.（填“充分”或“必要”） 必要 [解析] 因为集合 ， ，当 时， .因为“ ” “ ”，但“ ” “ ”，所以“ ”是“ ”的必要条件． 2.设集合 ， ，那么“ ”是“ ”的_______条件.（填“充分”或“必要”） 充分 [解析] 由题意得 ，所以“ ” “ ”，所以“ ”是“ ”的充分条件. 例题精讲 从集合的角度来理解充分条件、必要条件 ,即 或 已知 ，如果 ，那么p是q的什么条件？ q是p 的什么条件？ p是q的充分条件，q是p的必要条件 小范围 ⟹ 大范围 例5 设p：x＞1，q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解　设A＝{x|x>1}， B＝{x|x>a}. 因为p是q的充分不必要条件， 所以A B，∴a＜1. 新知运用 解决问题 小组研讨 3.已知 <m></m> 实数 <m></m> 满足 <m></m> ，其中 <m></m> ； <m></m> 实数 <m></m> 满足 <m></m> .若 <m></m> 是 <m></m> 的充分条件，求实数 <m></m> 的取值范围． 【解析】 由 ， ,得集合 ． 由 ，得集合 ． 因为 ，所以 ， 所以 解得 ， 所以实数 的取值范围是 ． 归纳提升 一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中p是否为q的充分条件，只需判断是否有 p ⟹ q，也就是判断“若p，则q”是否为真命题. 特别提醒： 1. <m></m> 的含义 （1）“若 <m></m> ，则 <m></m> ”形式的命题为真命题． （2）由条件 <m></m> 可以得到结论 <m></m> ． （3） <m></m> 是 <m></m> 的充分条件或 <m></m> 的充分条件是 <m></m> ； <m></m> 是 <m></m> 的必要条件或 <m></m> 的必要条件是 <m></m> ． （4）只要有条件 <m></m> ，就一定有结论 <m></m> ，即 <m></m> 对于 <m></m> 是充分的， <m></m> 对于 <m></m> 的成立是必要的． （5）为得到结论 <m></m> ，具备条件 <m></m> 即可． 显然， <m></m> 是 <m></m> 的充分条件与 <m></m> 是 <m></m> 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即 <m></m> ，只是说法不同而已． 课堂小结 1、充分条件和必要条件； 2、判别步骤： 3、判别技巧． 给出p、q，判断“p⇒q”真假，下结论 否定命题时举反例 p⇒q，p是q的充分条件， q是p的必要条件 课后作业 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 如果 是 的必要条件，那么 是唯一的.( ) × （2） 是 的必要条件的含义是：如果 不成立，那么 一定不成立.( ) √ （3） “ ”是“ ， 都大于0”成立的充分条件.( ) × （4） 若 是 的充分条件，则 是 的必要条件.( ) √ [解析] 当 时， ，但 ，故A错误，B,C，D都正确． 3.若 ， ，则 是 的_______条件．（填“充分”或“必要”） 必要 [解析] ，即 ，故 是 的必要条件. 2.（多选题）下列条件中是 的充分条件的是( @10@ ). A. B. C. D. BCD 课后作业 A A A　 END 17 6．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.“x>0”是“x≠0”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．使x>3成立的一个充分条件是(　　 ) A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 $$