1.4.2充要条件（教学课件）-2024-2025学年高一数学同步精品一战式备课系列（人教A版2019必修第一册）

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必修一 《第一章 集合与常用逻辑用语》 §1.4.2 充要条件 1.理解充要条件的意义.（重点） 2.会判断一些简单的充要条件问题.（重点） 3.能对充要条件进行证明.（难点） 学习目标 温故知新 指出下列各组中p是q的什么条件。 1.p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； 【解】相似不一定全等，pq；全等一定相似，qp， 所以p是q的必要不充分条件 2. p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 【解】矩形的对角线相等， pq ；对角线相等的四边形不一定是矩形， 也可能是等腰梯形等， qp ，所以p是q的充分不必要条件 思考：若 pq 且 p⇐q，则p是q的什么条件？ 构建新知 1.充要条件 （1） 如果“若 ，则 ”和“若 ，则 ”均是真命题，即既有________，又有________，就记作_________.此时， 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是 的充分必要条件，简称为___________． <m></m> <m></m> <m></m> 充要条件 （2） 当 是 的充要条件时， 也是 的_______条件． 充要 （3） 是 的充要条件也常常说成“ 成立___________ 成立”或“ 与 _______”． 当且仅当 等价 构建新知 2.充分条件、必要条件与充要条件 特别提醒：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 （1）若 <m></m> ，则称 <m></m> 是 <m></m> 的充分条件， <m></m> 是 <m></m> 的必要条件． （2）若 <m></m> ，则 <m></m> 是 <m></m> 的充要条件． （3）若 <m></m> ，且 <m></m> ，则称 <m></m> 是 <m></m> 的充分不必要条件． （4）若 <m></m> ，且 <m></m> ，则称 <m></m> 是 <m></m> 的必要不充分条件． （5）若 <m></m> ，且 <m></m> ，则称 <m></m> 是 <m></m> 的既不充分也不必要条件． 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有 ，即p是s的充要条件． p⇔s 3．“⇔”的传递性 例题精讲 因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以q p，所以p不是q的充要条件。 因为“若p，则q”是三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，既p ⇔ q，所以p是q的充要条件。 因为当xy >0时，x>0,y>0不一定成立，所以pq,所以p不是q的充要条件。 题型一 充要条件的判断 例题精讲 题型二 充要条件的证明 例2 求证：关于 <m></m> 的方程 <m></m> 有一个根是1的充要条件是 <m></m> ． [解析] 设 ， ． ①必要性： 是方程 的根， ，即 ． ②充分性： 由 ，得 ． ， ， ， 即 ， 是方程的一个根． 故关于 𝑥的方程 有一个根是1的充要条件是 ． 例题精讲 题型三 充要条件的证明 例3 已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件. 证明：设p:d=r，q:直线l与 O相切. （1）充分性( pq):如图，作OP⊥l于点P，则OP=d.若d=r，则点P在 O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在 O 的外部，即直线l与 O 仅有一个公共点P.所以直线l与 O 相切. （2）必要性(q p):若直线l与 O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r. 由(1)(2)可得，d=r是直线l与 O 相切的充要条件. 【解】因为B⫋A，所以A是B的充分不必要条件 ② ③ B A A(B) A B 【解】因为A=B，所以A是B的充要条件 【解】因为AB且BA，所以A是B的 既不充分也不必要条件 【集合法】从集合的角度来判断下列各图中A是B的什么条件？ ① 例题精讲 题型四 充要条件的应用 例题精讲 方法总结 2.应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤： (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 1.充要条件的证明一般分为两个步骤，即分别证明“充分性”和“必要性”这两个方面．解题时要避免将充分性当作必要性来证明，这就需要分清条件与结论，若“条件” <m></m> “结论”，则是证明充分性，若“结论” <m></m> “条件”，则是证明必要性． 新知运用 解决问题 小组研讨 1. 指出下列各题中， <m></m> 是 <m></m> 的什么条件.（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件” “既不充分也不必要条件”中选出一种作答） （1）在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> . （2） <m></m> 或 <m></m> ， <m></m> ：方程 <m></m> 有两个不同的实根. （3）已知 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> . 【解析】（1）在 中，显然有 ， 是 的充要条件. （2）方程 有两个不同的实根 ，且 ，且 , 是 的既不充分也不必要条件. （3） , 是 的充要条件. 新知运用 解决问题 小组研讨 2.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明： 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根， 所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号， 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 新知运用 解决问题 小组研讨 课堂小结 1.充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接利用定义进行判断． (2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立． (3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件． 2.集合与充要条件 课后作业 1.若 ，则“ ”是“ ”的( @54@ ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 A [解析] 因为“ ” “ ”，而“ “ ”，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 ． 2.“ ”是“ ”的( @56@ ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B [解析] ，∴“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选B. 课后作业 3.函数 的图象关于直线 对称的充要条件是__________． <m></m> [解析] 若函数 的图象关于直线 对称，则 ，即 ；反之，若 ，则函数 的图象关于直线 对称． 课后作业 由p是q的充分不必要条件，可知A B， END 19 例1 下列各组命题中，哪些p是q的充要条件？ p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； p：xy>0，q：x>0，y>0； （4）p： ，q： ． 例4 设A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个 充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________． m＞2 解析：因为A＝{x|－1＜x＜3}，x∈B成立的一个充分不必要条件 是x∈A，所以A(B，所以m＋1＞3，即m＞2. 所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0. 充分性：由ac<0，可推得b2－4ac>0，及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根). {m|m≥9}　[因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp. 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,m>0，,1＋m>10，))解得m≥9. 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}． 3. 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． [思路点拨]　eq \x(\a\al(p是q的充分,不必要条件))→eq \x(\a\al(p代表的集合是q代,表的集合的真子集))→ eq \x(\a\al(列不等式,组求解)) 4.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq \f(1,x)<eq \f(1,y)的充要条件是xy>0. 证明：①充分性：由xy>0及x>y，得eq \f(x,xy)>eq \f(y,xy)，即eq \f(1,x)<eq \f(1,y). ②必要性：由eq \f(1,x)<eq \f(1,y)，得eq \f(1,x)－eq \f(1,y)<0，即eq \f(y－x,xy)<0. 因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0. 所以eq \f(1,x)<eq \f(1,y)的充要条件是xy>0. ∴或 解得0≤a≤， 故所求实数a的取值范围是0≤a≤. 5.设命题p：≤x≤1；命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解　设A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}， $$