1.3.2 等比数列与指数函数（教学课件）数学湘教版2019选择性必修第一册

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湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列 1.3.2 等比数列与指数函数 1.3 等比数列 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.掌握等比数列与函数的关系. 2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算. 3.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形. 情景导入 问题1　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 子集与真子集 新知探究 类比等差数列，下面我们从函数的角度来研究等比数列{an }．先看几个例子： 已知等比数列{an }分别满足： （1）a1 =3，q =2； （2）a1 = 3，q = ； （3）a1 =－3，q =2； （4）a1 = －3，q = ． 不难求得，等比数列{an }的通项公式分别为∶ （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 上述通项公式可以看成自变量 n 取正整数值的函数，它们的公比都是正数，将通项公式中的正整数自变量 n 换成实数自变量x，得到函数 ， ， ， ，它们都是一个非零常数c 与指数函数 y=qx 中（指数函数的底数为公比）的乘积：y= cqx． 由指数函数 y=qx 的图象可以得出 y= cqx 的图象，而 y= cqx 的图象上横坐标为正整数 n 的孤立点(n，an )组成上述等比数列的图象． 如图下图所示． 我们由指数函数的图象得到等比数列的图象，接下来就可以借助函数 y= cqx 的性质来分析等比数列的单调性． 显然，当q>1时，指数函数y=qx 递增；当0<q<1时，指数函数y=qx 递减． 若a1>0，q>0，那么 c>0． 当q>1时，函数y= cqx 递增，数列 an =a1qn-1递增，如数列（1）； 当0<q<1时，函数y= cqx 递减，数列an =a1qn-1递减，如数列（2）． 若a1<0，q>0，那么 c<0． 当q>1时，函数y= cqx 递减，数列 an =a1qn-1递减，如数列（3）； 当0<q<1时，函数 y= cqx 递增，数列 an =a1qn-1递增，如数列（4）． 概念归纳 值得指出的是，当等比数列的公比q=1时，等比数列的各项都为常数a1，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点． 当n为奇数时， ； 当n为偶数时， ； 而当等比数列的公比q<0 时，例如等比数列的通项公式为 ，此时如果将n换成实数x，得到 ，当x不为整数时没有意义，因此这样的等比数列不能通过指数函数来研究． 可见该数列是摆动数列，既不递增也不递减，反映在图象上是一系列上下波动的孤立的点（如图). 等比数列的单调性： 当 q>1 时， 若a1>0，等比数列{an}是递增数列； 若a1<0，等比数列{an}是递减数列． 当 q =1 时，等比数列{an}是非零的常数列． 当0<q<1时， 若a1>0，等比数列{an}是递减数列； 若a1<0，等比数列{an}是递增数列． 当 q <0 时，等比数列{an}是摆动数列． 概念归纳 例 4 已知数列{an}的通项公式为 an=A∙ qn，其中 A，q均为非零常数， 那么这个数列一定是等比数列吗? 解：取数列{an}中任意相邻两项an与an－1(n≥2)， 作商得 它是一个与n无关的常数，所以数列{an}一定是等比数列，且其指数 幂的底数即为等比数列的公比． 课本例题 例 5 已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列，求证：{anbn}也是等比数列． 解：设等比数列{an}，{bn}的公比分别为p，q，那么{anbn}的第n项和 第n+1项分别为anbn= a1pn－1∙ b1qn－1与an+1bn+1= a1pn∙ b1qn ， 作商得 它是一个与n无关的常数，所以数列{anbn}是以为pq公比的等比数列． 课本例题 解：（1）因为 ， 所以 因此，数列{bn}是以10d为公比的等比数列． 例 6 已知{an}，{bn}是项数相同的数列， （1）若数列{an}是公差为 d 的等差数列，数列{bn}满足 ， 证明数列{bn}是等比数列； 课本例题 解：（1）因为an>0 ， 所以 bn+1－bn= lgan+1－lgan 因此，数列{bn}是以lgq为公差的等差数列． 例 6 已知{an}，{bn}是项数相同的数列， （1）若数列{an}是公差为 d 的等差数列，数列{bn}满足 ， 证明数列{bn}是等比数列； 课本例题 归纳总结 等比数列的单调性： 当 q>1 时，若a1>0，等比数列{an}是递增数列； 若a1<0，等比数列{an}是递减数列． 当 q =1 时，等比数列{an}是非零的常数列． 当0<q<1时，若a1>0，等比数列{an}是递减数列； 若a1<0，等比数列{an}是递增数列． 当 q <0 时，等比数列{an}是摆动数列． 当 q > 0 时，等比数列{an}的图象由 y= cqx 的图象上横坐标为正整数 n 的孤立点(n，an )组成的． 15 解析：由a1a7＝ ＝a1a7·a2a8＝3×27＝81， 又因为各项均为正数，所以a4a5＝9. 题型1　等比数列的性质应用 典例剖析 例1　(1)[2022·福建宁德高二期中]已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2＝3，a7a8＝27，则a4a5＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 C (2)(多选)已知等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－2，则(　　) A．数列{2an＋an＋1}是等比数列 B．数列{an＋1－an}是等比数列 C．数列{anan＋1}是等比数列 D．数列{log2|an|}是等比数列 BC 解析： 对于A，因为{an}是等比数列，所以an＋1＝－2an，2an＋an＋1＝0，错误； 对于B，an＝a1·qn－1＝(－1)n－1·2n－1，an＋1＝(－1)n·2n，于是an＋1－an＝(－1)n·2n－(－1)n－1·2n－1＝(－1)n·3·2n－1，符合函数y＝cqx的形式，可以用定义进一步验证，故{an＋1－an}是等比数列，正确； 对于C，anan＋1＝(－1)n－1·2n－1·(－1)n·2n＝＝(－2)－1·(－2)2n＝－·4n，符合函数y＝cqx的形式，可以用定义进一步验证数列{anan＋1}是等比数列，正确； 对于D，log2|an|＝log22n－1＝n－1，是等差数列，错误． 有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项“下标”的指导作用． 归纳总结 解析：因为等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝9， 所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5 ＝log3(a1·a2·a3·a4·a5)＝＝log3(95)＝log3(310)＝10. 练一练 1.（1)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝9，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝(　　) A． B． C．10 D．15 C (2).若数列{an}是公比为的正项等比数列，则{·a2n}是(　　) A．公比为2的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公差为2的等差数列 D．公差为的等差数列 解析： 数列{an}是公比为的正项等比数列，则＝(n≥2)，设bn＝·a2n，则＝＝·()2＝2(n≥2)，即{·a2n}是公比为2的等比数列． A 练一练 解析：如等比数列{(－1)n}的公比为－1，是摆动数列，不具有单调性；等比数列的公比为，是递减数列；等比数列的公比为，是递增数列． 题型2　等比数列的单调性及其应用 典例剖析 例2　(1)在等比数列{an}中，如果公比为q，且q<1，那么等比数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定单调性 D 解析： 设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q(q>0)， 因为a3·a6·a9＝，a3·a9＝(a6)2，所以a6＝，又a2＝27，q4＝＝，故q＝， 所以a1＝81，Tn＝＝＝， 所以当n＝4或5时，Tn取最大值． (2)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项之积为Tn，且a2＝27，a3·a6·a9＝，则当Tn最大时，n的值为( 　　) A．5或6 B．6 C．5 D．4或5 D 借助指数函数的单调性，轻而易举地解决数列最大项的问题．在解决等比数列的有关问题时，应注意结合指数函数的有关性质． 归纳总结 解析：当等比数列{an}的首项a1<0而公比0<q<1时，{an}是递增数列； 当{an}为递减数列，也可能是a1<0，公比q>1. 故{an}为等比数列，q为公比， 则“0<q<1”是“{an}为递减数列”的既不充分也不必要条件． 2.(1)设{an}是公比为q的等比数列，则“0<q<1”是“{an}为递减数列”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 练一练 D 解析： 由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2. 又a1>0，所以数列{an}为递增数列． (2)在等比数列{an}中，已知a1>0，8a2－a5＝0，则数列{an}为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定单调性 练一练 A 解析：(1)当n＝1时，S1＝(a1－1)＝a1，解得：a1＝－， 当n＝2时，S2＝(a2－1)＝a1＋a2，解得a2＝. 题型3　等比数列的判断与证明 典例剖析 例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋) (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． (2)证明：当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝－.又a1＝－， 所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列． 例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋) (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 归纳总结  判断数列是等比数列的3种常用方法 解析：设数列{bn}的公比为q，则q>0， 因为bn＝，所以b1＝，所以bn＝·qn－1＝. 方程两边取以3为底的对数，得 an＝·qn－1)＝a1＋(n－1)log3q. 由于an＋1－an＝[a1＋nlog3q]－[a1＋(n－1)log3q]＝log3q， 可知数列{an}是以log3q为公差的等差数列，数列{an}不是等比数列． 3.已知数列{an}与等比数列{bn}满足bn＝(n∈N＋)， 试判断：{an}是等比数列吗？ 练一练 1.等比数列{an}中，首项a1<0，则数列{an}是递增数列的充要条件是公比q满足（ ） A.q>1 B.q<1 C.0<q<1 D.q<0 C 随堂练 2.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么（ ） A.{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B.{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D.{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列 C （ ） D 随堂练 2 1.在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3等于（ ） 分层练习-基础 2.已知等比数列{an}的公比为q，则“a1>0且q>1”是“{an}为递增数列”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A A 3.在等比数列{an}中，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则a50的值为（ ） A.10 　　　　B.16 　　　　C.±4 　　　　D.4 4.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（ ） A.a1，a3，a9成等比数列 B.a2，a3，a6成等比数列 C.a2，a4，a8成等比数列 D.a3，a6，a9成等比数列 分层练习-基础 C D C 5.等比数列{an}的公比q满足|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18，36，81}中，则q等于（ ） 6.在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为（ ） 分层练习-基础 C B 8.已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2> 的最大正整数n的值为_____. 4 分层练习-基础 9.已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值. ∵{an}为等比数列， ∴a1·a9＝a3·a7＝64. 又∵a3＋a7＝20， ∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4. 此时a11＝a3q8＝4×42＝64. 分层练习-基础 10.已知数列{an}是一个各项均为正数，且单调递增的等比数列，其前4项之积为16，第2项与第3项之和为5，求这个等比数列的前4项. 方法一　设这个等比数列的前4项分别为a，aq，aq2，aq3， 因为{an}为各项均为正数，且单调递增的等比数列， 分层练习-基础 方法二　根据数列{an}是一个各项均为正数的等比数列， 其中aq>0，公比为q2. 分层练习-基础 又因为数列{an}单调递增， 分层练习-基础 分层练习-基础 11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＝λan＋1－1，其中λ是不为0的常数． (1)求a2，a3； (2)求出λ的一个值，以使得{an}为等比数列，并证明． 41 12．已知数列{an}为等差数列，a1＝3，d＝2，证明数列{4an}为等比数列． 分层练习-巩固 12．已知数列{an}为等差数列，a1＝3，d＝2，证明数列{4an}为等比数列． 分层练习-巩固 13.(多选)下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是（ ） A.q>1⇒{an}为递增数列 B.{an}为递增数列⇒q>1 C.0<q<1⇔{an}为递减数列 D.q>1⇏{an}为递增数列且{an}为递增数列⇏q>1 分层练习-巩固 14.等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于（ ） A.±2 　　　　B.±4 　　　　C.2 　　　　D.4 ABC C 15.已知三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于______. 又第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列， ∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4. ∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28， ∴原来的三个数的和等于28. 分层练习-拓展 28 16.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； 设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1. 由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列， 知8a2＝30＋a3， 所以64q＝30＋8q2， 分层练习-拓展 (2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是递减数列，求实数λ的取值范围. bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n， 由bn＞bn＋1， 得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n， 即λ＜n＋1(n∈N＋)， 所以λ＜(n＋1)min＝2， 故实数λ的取值范围为(－∞，2). 分层练习-拓展 课堂小结 1.知识清单： (1)等比数列的通项公式与函数的关系. (2)由等比数列构造新的等比数列. (3)等比数列项与项之间的关系及应用. 2.方法归纳：公式法、类比法、定义法、分类讨论法. 3.常见误区： (1)构造新的等比数列易忽视有等于0的项. 答：由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q>0且q≠1时， 等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R) 当x＝n时的函数值，即an＝f(n). 3.已知数列{an}为各项都是正数的等比数列，a＝9a1·a9，则等于 A.3 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 4.若正项等比数列{an}满足a1a5＝4，当＋取最小值时，数列{an}的公比是_____. A.4 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.2 A.－ 　　　　B.　　　　　C.－ 　　　　D. A.4 　　　　B.4或 　　　　C.6或 　　　　D.6 7.在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________. － ①当a3＝4，a7＝16时，＝q4＝4， ②当a3＝16，a7＝4时，＝q4＝， 此时a11＝a3q8＝16×2＝1. 所以这个等比数列的前4项分别为，1,4,16. 由题意，得即 将②式平方后除以①式，得＝， 整理得4q2－17q＋4＝0，解得q＝4或q＝. 所以a>0，q>1，即q＝4，a＝. 可设这个数列的前4项分别为，，aq，aq3. 由题意，得解得或 或或 所以q2>1，即或 所以这个等比数列的前4项分别为，1,4,16. 证明：因为数列{an}为等差数列，a1＝3，d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1， 所以4an＝42n＋1， 所以＝4an＋1－an＝42(n＋1)＋1－(2n＋1)＝42＝16， 所以数列{4an}是以16为公比，64为首项的等比数列． 解析：(1)由题设Sn＝λan＋1－1，λ≠0. 当n＝1时，S1＝λa2－1，由a1＝2，得a2＝， 当n＝2时，S2＝λa3－1，即a1＋a2＝λa3－1，得a3＝. (2)假设{an}为等比数列，则a＝a1a3， 即＝2×，解得λ＝； 下面证明λ＝时，{an}为等比数列： 由Sn＝an＋1－1知，当n≥2时，Sn－1＝an－1， 两式相减得an＝an＋1－an， 即an＋1＝3an(n≥2)， 又由(1)知a2＝6，a1＝2，即a2＝3a1， 所以＝3(n∈N＋) 故当λ＝时， {an}是以2为首项，3为公比的等比数列． 依题意设原来的三个数依次为，a，aq. ∵·a·aq＝512，∴a＝8. ∴＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0， 解得q＝2或q＝， 解得q＝或q＝(舍去)， 所以an＝8×n－1＝24－n，n∈N＋. (2)四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况. $$