第二章直线和圆的方程单元测试B卷-2024-2025学年上学期高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）（全国通用）

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第二章 直线和圆的方程单元测试B卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 2．已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．若圆与圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（    ） A．8 B．5 C．2 D．1 7．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，直线，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得平行于 10．已知圆：和圆：的交点为，，直线：与圆交于，两点，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围是 B．圆上存在两点和，使得 C．圆上的点到直线的最大距离为 D．若，则 11．已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（    ） A．的面积的最大值为 B．直线被圆截得的弦长的最小值为 C．有且仅有一个点，使得为等边三角形 D．有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆C：及圆C外一点，过点M作圆C的一条切线，切点为N，则 . 13．已知圆与圆，则 ①当时，两圆的公切线方程为 ． ②若两圆相交于两点，且，则 ． 14．已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 16．在平面直角坐标系中，已知三点. (1)若点在线段上运动，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍，求直线的方程. 17．已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． (1)求直线的方程； (2)求直线：关于直线的对称直线的方程． 条件①：点关于直线的对称点的坐标为； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直； 条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．已知直线与圆相交于A，B两点 (1)若，求k (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA，MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由 19．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P与点Q关于点B对称，点，求的最大值； (3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程单元测试B卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 2．已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围. 【详解】如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷， 此时斜率，所以此时； 从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 此时斜率，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A 3．点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得直线所过定点，再由点到定点的距离为，点到直线的距离的最大值求解. 【详解】解：直线可化为：， 由，解得，所以直线过定点， 点到直线的距离的最大值为： ， 故选：B 4．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，结合直线的垂直关系以及中点问题列出方程组，即可求得答案. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为， 故选：B 5．若圆与圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定两圆的圆心和半径，利用圆与圆的位置关系建立不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，， 则， 因为圆C与圆O有公共点， 所以，即， 解得. 故选：A. 6．已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（    ） A．8 B．5 C．2 D．1 【答案】A 【分析】设圆心到直线的距离为到直线的距离为，易知当最大时，，此时的面积最大，由此容易得解． 【详解】设圆心到直线的距离为到直线的距离为， 又圆心坐标为，则， 又半径为，则当最大时，， 此时面积也最大，． 故选：A． 7．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围. 【详解】到点的距离为2的点在圆上， 所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上， 即两圆相交，故， 解得或， 所以实数a的取值范围为， 故选：A． 8．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解出的最小值. 【详解】由题可知：，圆心，半径， 又，是的中点，所以， 所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为， 若直线上存在两点，使得恒成立， 则以为直径的圆要包括圆， 点到直线的距离为， 所以长度的最小值为， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于点轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以为直径的圆包括的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析的最小值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，直线，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得平行于 【答案】ABC 【分析】将代入，联立两直线方程即可求得交点，则A可解；由直线过定点问题可求B；由两直线垂直时的斜率之积为可解C，注意讨论斜率为0和斜率不存在的情况；由两直线平行得到关于a的方程，解方程可得a值，再代入验证两直线是否重合即可判断D. 【详解】对于A，当时，，， ，解得，故交点为，即A正确； 对于B，，恒过定点，， ，解得，，也过定点，故B正确； 对于C，当时，与不垂直， 当时，由可得，解得，故C正确； 对于D，由可得，解得或， 当时，，，两直线重合，不符合题意， 当时，，，两直线重合，不符合题意，故D错误； 故选：ABC. 10．已知圆：和圆：的交点为，，直线：与圆交于，两点，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围是 B．圆上存在两点和，使得 C．圆上的点到直线的最大距离为 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用圆心到直线的距离小于半径即可判断A，再利用弦长公式判断B，求出到的距离，即可判断C，圆心到直线的距离为，即可得到方程，判断D. 【详解】A选项：圆：的标准方程为， 圆心为,半径为，因为直线：与圆交于，两点， 所以圆到直线的距离为，即，解得， 所以的取值范围是，故A正确； B选项：圆：的标准方程为， 圆心，半径，根据两圆的方程有直线方程为， 圆到直线AB的距离为，所以， 圆上任意两点，，，故B错误； C选项：圆上的点到直线的距离的最大值为，故C正确； D选项：因为，所以为等边三角形， 圆到直线的距离为，所以， 故或，故D错误. 故选：AC 11．已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（    ） A．的面积的最大值为 B．直线被圆截得的弦长的最小值为 C．有且仅有一个点，使得为等边三角形 D．有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线 【答案】ACD 【分析】设点到直线的距离为，由求得的最大值判断A，利用直线和圆的位置关系判断B，利用为等边三角形，则需，判断C，利用射影定理可得进而判断D. 【详解】设线段的中点为，因为圆的半径为2，， 所以，且，    对于A选项，设点到直线的距离为，则， 所以当且仅当四点共线时，点到直线距离的最大值为15，所以的面积的最大值为，故A正确； 对于B选项，点到直线的距离小于等于，当时，等号成立，又的最大值为7， 所以点到直线的距离的最大值为7，这时直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误； 对于C选项，若为等边三角形，则需，，因为， 所以点的轨迹是以为圆心的单位圆，所以，又的最小值为4，所以， 当且仅当四点共线时成立，因此有且仅有一个点，使得为等边三角形，故C正确； 对于D选项，若直线，都是圆的切线，则，由射影定理，可得， 同上，当且仅当三点共线时，，因此有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆C：及圆C外一点，过点M作圆C的一条切线，切点为N，则 . 【答案】6 【分析】根据过圆外一点的圆的切线长的求法，利用勾股定理即可求得答案. 【详解】因为圆C：的圆心为，半径， 由于过点M作圆C的一条切线，切点为N，故， 所以， 故答案为：6 13．已知圆与圆，则 ①当时，两圆的公切线方程为 ． ②若两圆相交于两点，且，则 ． 【答案】 或 【分析】①由题可得两圆内切，则有唯一公切线，后求得两圆交点坐标，即可得答案；②两圆方程相减可得直线AB方程，后由其长度，可得答案. 【详解】①当时，圆. 因两圆圆心距为，恰为两圆半径差，则两圆内切，即两圆有唯一公切线. ，又， 则， 即两圆公共点为C，则公切线过点C， 因，则切线斜率为，故公切线方程为：； ②两圆方程相减可得两圆公共弦方程. 因，圆O半径为1，则点到直线AB距离为. 则由点到直线距离公式，可得或. 故答案为：；或. 14．已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据几何关系确定点的轨迹方程，从而根据点到圆上动点距离最值的求解方法求解即可. 【详解】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形， 设的中点为S，连接，则， 所以， 又为直角三角形，所以，故①， 设，则由①可得， 整理得：， 从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 显然点P在该圆内部，所以， 因为，所以 ； 解法2：如图，因为,所以， 故四边形为矩形，由矩形性质，， 所以，从而， 故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆， 显然点P在该圆内，所以. 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1），，若，则，求出参数后，需代入验证，排除两直线重合的情况； （2），，若，则，由此求参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 当时，， ，即，符合题意； 当时，，即， ，即，此时与重合，不符合题意. 所以. （2）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 所以或. 16．在平面直角坐标系中，已知三点. (1)若点在线段上运动，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）两点式求出的斜率，数形结合求点在线段上运动，求直线的斜率的取值范围； （2）讨论截距是否为0，结合截距式及所过的点求直线方程即可 【详解】（1）如下示意图， 当点运动到点时，直线的斜率为， 当点运动到点时，直线的斜率为， 由图知，若点在线段上运动，则直线的斜率的取值范围为. （2）当截距为均为0时，直线方程为，符合题意. 当截距不为0时，不妨设直线方程为，又直线经过点， 故，即，所以直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 17．已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． (1)求直线的方程； (2)求直线：关于直线的对称直线的方程． 条件①：点关于直线的对称点的坐标为； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直； 条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算直线的斜率，根据直线的平行或垂直关系得到斜率，代入点得到直线方程. （2）计算直线的交点，在直线上取一点，求其关于对称的点，根据交点和对称点得到直线方程. 【详解】（1）选择条件： 因为点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线． 因为，所以直线的斜率为，又线段的中点坐标为， 所以直线的方程为，即． 选择条件： 因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即． 选择条件， 因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即． （2），解得，故，的交点坐标为， 因为在直线：上，设关于对称的点为， 则，解得， 直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即， 所以：关于直线的对称直线的方程为． 18．已知直线与圆相交于A，B两点 (1)若，求k (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA，MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由垂径定理列式求得； （2）设，联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系结合斜率的和为0列式求得值，则点的坐标可求. 【详解】（1）由圆，得，圆心坐标为，半径为2， 到的距离为， 由点到直线的距离公式可得:，解得； （2）设， 联立，得， ， ， 设存在点满足题意，即， ， ， 即，解得. 存在点符合题意. 19．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P与点Q关于点B对称，点，求的最大值； (3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)138； (3)存在点，使得为定值. 【分析】（1）设点，由题意可得，利用两点之间的距离公式化简整理可得； （2）先由的轨迹方程求出点的轨迹方程，利用两点间距离公式整理，从而转化为线性规划问题处理； （3）代入消元，韦达定理，整体思想代入，整理可得解. 【详解】（1）设点，由题意可得，即， 化简可得， 所以点P的轨迹方程为； （2）设，由(1)得点满足的方程， 又点是点与点的中点，则，代入可得，即的轨迹为，设， 所以， 令，则，可视为直线即在y轴上的截距， 的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距， 所以，所以， 因此的最大值为； （3）存在点，使得为定值. 当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为， 由，消去，得， 设，，则，， 又，， 则 要使上式恒为定值，需满足，解得，此时，为定值； 当直线的斜率不存在时，，， 由可得，所以， 综上所述，存在点，使得为定值. 【点睛】方法点睛：本题为直线与圆的综合题，与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 （1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． （2）与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法： ①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题； ②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； ③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$