专题四 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系2024-2025学年北师大版九年级数学 上册

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专题四 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系2024-2025学年九年级上册数学北师大版 考点一 一元二次方程根的判别式 (一)由根的判别式判断一元二次方程根的情况 1.一元二次方程 的根的情况为 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2.下列一元二次方程有实数解的是 ( ) 3.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是 ( ) 4.已知函数y= kx+b的图象如图所示，则一元二次方程 的根的情况是( ) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.不确定 5.已知关于x的方程 (1)求证：方程总有实根； (2)若方程的根都为正整数，求整数m的值. (二)由一元二次方程根的情况求字母的值或取值范围 1.若关于x的一元二次方程. 有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是( ) A. q≤16 B. q>16 C. q≤4 D. q≥4 2.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是( ) A. k≤1 B. k≤1且k≠2 C. k≥1且k≠2 D. k≥2 3.若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k 的值为( ) A.0或4 B.4或8 C.0 D.4 4.若关于x的一元二次方程 无实数根，则一次函数y= mx+m的图象不经过A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.已知关于x的一元二次方程. 有两个相等的实数根，则m的值为 6.关于x的方程 有两个不同的实数根，则m的取值范围是 7.已知关于x的一元二次方程. 若等腰三角形ABC的一边长a=6cm，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则此三角形的周长为 cm. 8.已知关于x的一元二次方程 (1)若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； (2)若方程有两个相等的实数根，求a的值，并求出这两个相等的实数根. 9.已知关于x的一元二次方程 (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程一实数根为-3，求实数m的值. 考点二 一元二次方程的根与系数的关系 (一)利用根与系数的关系求代数式的值 1.已知方程 的两个根分别为x₁，x₂，则. 的值为( ) A.-7 B.-3 C.7 D.3 2.若a，b是一元二次方程. 的两根，则 3.设x₁，x₂是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 . 4.设x₁，x₂是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 . 5.已知a，b是方程. 的两个实数根，则 的值为 . 6.设x₁,x₂是方程 的两实数根，则 7.已知一元二次方程 的两根为x₁,x₂,则 的值为 . 8.已知一元二次方程. 的两根分别是m，n，则 9.已知 且ab≠1,则 的值为 . 10.若关于x的方程. 有两个实数根x₁，x₂，则 的最小值为 . (二)利用根与系数的关系求字母的值或取值范围 1.已知关于x的一元二次方程. 有两个不相等的实数根，且 则实数m= . 2.已知关于x的一元二次方程. 的两个实数根分别是. 且满足 则k的值为 . 3.若 且 则 4.已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程. 的两个实数根，且 则a= . 5.设关于x的方程 的两个实数根分别为α,β,若 那么实数m的值是 . 6.已知关于x的一元二次方程. 有两个实数根x₁，x₂,则m的取值范围是 ;若x₁,x₂满足 则 7.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为. 且 求m的值. 8.【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理.根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程. 【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根x₁，x₂满足： 方程: ; 方程： 【应用) 若( 求a的值. 【推广】若实数a,b,c 满足( 求正数c的最小值. 9.如果关于x的一元二次方程 有两个实数根.且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”.例如：方程 的两个根是1 和3，则这个方程就是“三倍根方程”. (1)方程 (填“是”或“不是”)“三倍根方程”； (2)若关于x的方程. 是“三倍根方程”，求c的值： (3)若 是关于x的“三倍根方程”.求代数式 的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$