专题04 相交线和平行线 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 目录 考点一：判断对顶角 4 考点二：三线八角 5 考点三：垂线及垂线段最短 6 考点四：添一个条件使两直线平行 8 考点五：利用两直线平行求角的度数 10 考点六：平行线的判定与性质多结论问题 12 考点七：由平行线的判定与性质进行计算 16 考点八：由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 21 考点九：由平行线的判定与性质解决三角尺问题 27 【知识点01】相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 【知识点02】垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 【知识点03】平行线的定义 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 【知识点04】三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 图5 【知识点05】平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 【知识点06】平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【知识点07】平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 考点剖析 考点一：判断对顶角 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）下列四个图中，一定成立的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】邻补角的定义理解、对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的性质和互补的定义，正确识别图形、熟知对顶角相等的性质是解题关键，根据对顶角的性质、互补的定义和角在图形中的位置逐项判断即可． 【详解】解：A、图形中的与互补，不能判断是否相等，故本选项不符合题意； B、图形中的与不能判断是否相等，故本选项不符合题意； C、图形中的与是对顶角，能判断相等，故本选项符合题意； D、图形中的与不能判断是否相等，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角的定义次进行判断即可得；掌握对顶角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； B、是对顶角，选项说法正确，符合题意； C、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； D、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根据对顶角的定义进行判定即可． 【详解】解：根据对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．符合条件的只有D． 故选：D． 考点二：三线八角 例题：（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，与是（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】A 【知识点】对顶角的定义、同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的定义、对顶角的定义，根据同位角的定义：“两条直线被第三条直线所截得到的两个角，分别位于截线的同侧，被截线的同侧”求解即可． 【详解】解：由图可得，和是同位角， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列四个图形中，和不是同位角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】此题考查了同位角的定义：两条直线被同一条直线所截，在截线的同旁，在两直线的同侧的两个角角同位角，据此判断 【详解】解：A.与是同位角，故该项不符合题意； B.与是同位角，故该项不符合题意； C.与是不同位角，故该项符合题意； D.与是同位角，故该项不符合题意； 故选：C 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知图①～④， 在上述四个图中，与是同位角的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了同位角的定义．根据同位角的定义“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样的角叫做同位角”进行判断即可． 【详解】解：图①③中，∠1与∠2是同位角； 故选：D． 考点三：垂线及垂线段最短 例题：（23-24七年级下·吉林松原·期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点C，依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 【答案】B 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短的应用．熟练掌握：在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短作答即可． 【详解】解：由题意知，依据为垂线段最短， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·期末）噪声对环境的影响与距离有关，与噪声来源距离越近，噪声越大．如图，一辆汽车在笔直的公路上由点向点行驶，是位于一侧的某所学校．通过画图回答下列问题，并说明理由． (1)汽车行驶到什么位置时，学校受噪声影响最严重？ (2)在什么范围内，学校受噪声影响越来越大？在什么范围内，学校受噪声影响越来越小？ 【答案】(1)汽车行驶到点 (2)汽车行驶在段时，学校受噪声影响越来越大；汽车行驶在段时，学校受噪声影响越来越小 【知识点】垂线段最短 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，以及垂线段的性质． （1）过点作的垂线，垂足为，根据垂线段最短可得汽车行驶到此处时，对学校影响最大； （2）根据图象得出点P左侧和右侧对学校影响情况． 【详解】（1）解：如图，根据“垂线段最短”，过点作的垂线，垂足为，所以汽车行驶到点时，与学校距离最近，学校受噪声影响最严重； ； （2）解：如图，汽车行驶在段时，与学校的距离越来越近，学校受噪声影响越来越大；汽车行驶在段时，与学校的距离越来越远，学校受噪声影响越来越小． 2．（22-23七年级上·江苏泰州·期末）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．    (1)作图：①过点C画直线平行线；②过点C画直线垂线，垂足E． (2)线段的长度是点________到直线________的距离； (3)比较大小：________（填>、<或=），理由：______． 【答案】(1)见解析 (2)C， (3)，垂线段最短 【知识点】用直尺、三角板画平行线、画垂线、点到直线的距离、垂线段最短 【分析】本题主要考查作图、平行线的判定和性质、垂线段最短、点到直线的距离等知识点，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）①在A的右侧取格点D，满足，再画直线即可，②如图，取格点K，再画直线交于E即可； （2）根据点到直线的距离的定义即可解答； （3）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：①如图，直线即为所求作； ②如图，直线即为所求作．    （2）解：线段的长度是点C到直线的距离． 故答案为：C，． （3）解：．理由：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 考点四：添一个条件使两直线平行 例题：（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点是延长线上一点，请添加一个条件，使，那么可以添加的条件是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，根据内错角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，添加一个条件可以判定，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图（，，三点在同一直线上），要使，需要添加的条件是 （只用图中的数字与字母，任意添加一组）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查学生对平行线的判定的理解与应用的能力，要认真审题，明确题目中的已知条件，解题的关键是熟练掌握平行线判定定理．根据内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行来判定两直线平行． 【详解】解：添加， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； 添加， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； 添加， ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 添加， ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：（答案不唯一）． 考点五：利用两直线平行求角的度数 例题：（23-24八年级上·广东佛山·期末）如图，，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·山东东营·期末）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，则的度数为 ． 【答案】/122度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论．过点作，进而得到，由平行线的性质求，继而得到，再根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：过点作， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，将一块含有的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为 ． 【答案】/20度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的性质．过点作，根据平行线的性质可得，，由，计算可得结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 考点六：平行线的判定与性质多结论问题 例题：（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，点E在延长线上，，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上一点，Q为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④，其中结论正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义是解决问题的关键． ①根据得，则，再根据得，由此可对结论①进行判断； ②设，根据得，再根据比的余角小，得，则，即，过点作，则，，由此得，然后根据得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③设，根据得，则，由此可对结论③进行判断； ④根据，得，再根据为的平分线得，然后根据可得出的度数，进而可对结论④进行判断． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， 故结论①正确； ②设， 由①可知， ， 比的余角小， ， 解得：， ， 过点作，如图所示： ，， ， 即， ， ， ， ， 故结论②不正确； ③， 设， ， ， ， 平分， 故结论③正确； ④由②可知，由③可知：， ， 为的平分线， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 （填序号） 【答案】①③④ 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等边对等角、两直线平行内错角相等 【分析】先由，得，结合角平分线的定义，得，则由等角对等边，可判断①③；由，得，可判断②，结合三角形的内角和，列式化简，可判断④，即可求解， 本题考查了三角形的内角和、角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质，综合性适中，难度适中，常考题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵ ∴ ∵与的平分线交于点F， ∴ ∴ ∴，故①是正确的， ∴，故③是正确的， ∵， ∴ ∴， ∴，故②是错误的； ∵， ∴， ∴，故④是正确的， 综上所述，①③④正确，②错误， 故答案为：①③④． 2．（23-24六年级下·吉林长春·期末）如图，，F为上一点，，且平分，过点作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的是 ． 【答案】①②/②① 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断②；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③和④． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 解得：，则结论①正确； ， ， ， 则结论②正确； ，， ， ，， 但不一定等于，也不一定等于，所以平分，平分都不一定正确，则结论③和④都错误； 综上，正确的是①②， 故答案为：①②． 考点七：由平行线的判定与性质进行计算 例题：（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键． （1）要证明，可通过与互补求得，利用平行线的性质说明可得结论； （2）要求的度数，可通过平角和求得，利用（）的结论及角平分线的性质求出及的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ． ∵， ． ∴； （2）解：， ， 平分，， ． ∵，， ， ． ． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点N在线段上，与交于点． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)若，求的大小． 【答案】(1)平行，见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度、对顶角相等 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质． （1）根据，可得，从而得到，继而得到，即可求证； （2）根据，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2.（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质，灵活运用平行线的判定定理和性质定理是解答本题的关键． （1）由已知条件结合对顶角相等可得，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论； （2）先证明，再结合可得，进而证得，由平行线的性质可得，即，再结合求解即可解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴①， 又∵②， ∴①②联立可得， ∴． 3.（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，已知，点，分别是射线，上的点，，，分别平分和． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此可得； （2）先证明，得到，则，再证明，得到，则，可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点八：由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 例题：（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：； (2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系； (3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质： （1）过点P作，则，进而得，则，由此即可得出结论； （2）根据得，则，再根据由（1）的结论得，由此可得之间的数量关系； （3）由（2）的结论得，由得①，由得，再由（2）的结论得，则②，然后由即可得出的值． 【详解】（1）证明：过点P作，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：，理由如下： 如图2所示： ∵， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， ∴； （3）解：如图3所示： 由（2）的结论得：， ∵， ∴①， ∵， ∴， 由（2）的结论得：， ∴②， 得：． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，，点P为平面内一点． (1)如图①，当点P在与之间时，若，，则 ； (2)如图②，当点P在点B右上方时，、、之间存在怎样的数量关系？请证明； (3)如图③，平分，平分，若，则 ． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质等； （1）过点P作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解； （2）过点P作，同理可得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解； （3）延长交于点H，过点G，作，同理可得：，由平行线的性质得，，，由角的和差得 ，由三角形内角和及邻补角的定义得，即可求解； 掌握平行线的判定及性质，解决这类问题的典型做法：作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点P作， ， ， 又，， ， ， ； 故答案：； （2）解：； 理由如下： 过点P作， 同理可得：， ， ， ， ； （3）解：延长交于点H，过点G，作， 同理可得：， ， ， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 2.（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．          (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由； (3)若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行公理的应用、角平分线的有关计算 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键； （1）先证明，，再结合平行线的性质建立方程可得答案； （2）过F点作，则，设，可得，证明，可得，，结合角平分线证明，从而可得结论； （3）过F点作，过G点作，证明，，，证明，再结合角平分线的性质可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵，CE平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过F点作，则， 即 设， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过F点作，过G点作， ∴ ， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 又∵，，， ∴， ∴； 考点九：由平行线的判定与性质解决三角尺问题 例题：（24-25八年级上·上海·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中． (1)填空：与的数量关系_______；理由是_______； (2)直接写出与的数量关系_______； (3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值并画出对应的图形． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2) (3)①图见解析，；②存在，图见解析，的度数为或或或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、与余角、补角有关的计算、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．数形结合并分类讨论是解题的关键． （1）由题意知，，则，然后作答即可； （2）由题意知，，，则，然后作答即可； （3）①当时，如图1，作，则，，，根据，求解作答即可；②由题意知，分，，，四种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：由题意知，，， ∴， 故答案为：； （3）①解：当时，如图1，作， ∴， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②解：由题意知，分，，，四种情况求解； 当时，如图2， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3， ∴； 当时，如图4， ∴， ∴； 当时，如图5， ∴， ∴； 综上所述，存在，的度数为或或或． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·贵州贵阳·期中）已知三角形三个内角的度数和是，如图所示是两个三角板不同位置的摆放，其中，，． (1)当时，如图1所示，求的度数． (2)当与重合时，如图2所示，试判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图3所示，当等于多少度时，？ 【答案】(1) (2)．理由见解析 (3)时， 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质： （1）根据两直线平行，内错角相等，即可得出结果； （2）根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论； （3）根据内错角相等，两直线平行，以及角的和差关系即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵与重合，且， ∴； （3）解：当时，， ∵， ∴， ∵， ∴； 故当时，． 2.（23-24七年级下·安徽安庆·期末）综合与探究：如图，一副三角板，其中，，    (1)若这副三角板如图1 摆放，， 求的度数． (2)将一副三角板如图2所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设旋转时间为t秒，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，求所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)所有满足条件的t的值为10或40 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得出，再根据角的和差求解即可； （2）分两种情况进行讨论：当时，延长交于点P，当时，延长交于点T，进而根据平行线的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：如图，①当时，延长交于点P，延长交于点Q，      ∵， ∴， ∵，，． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转， ∴秒转过的角度为，即 ∴， 解得； ②当时，如图，延长交于点T，    ∵三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转， ∴秒转过的角度为，即 根据题意得：， ∵， ∴， ∵，，． ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：所有满足条件的t的值为10或40． 真题感知 一、单选题 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图所示，图形中与不一定相等的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角的定义、两直线平行同位角相等、求一个角的余角 【分析】本题考查了对顶角相等、平行线的性质、余角的意义，根据对顶角相等、平行线的性质、余角的意义逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、根据对顶角相等得出，故不符合题意； B、由图可得：，则与不一定相等，故符合题意； C、根据两直线平行，同位角相等得出，故不符合题意； D、根据同角的余角相等得出，故不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知在音符中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）如图，直线a，b被c所截，下列四个结论：①∠1和∠3互为对顶角；②∠4和∠8是同位角；③∠3和∠7是内错角；④∠4和∠7是同旁内角．其中，结论一定正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】对顶角相等、同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义．解答此题确定三线八角是关键． 根据对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义， 对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延升线，这两个角是对顶角两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角． 同位角：两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角；内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 逐一判断即可． 【详解】①∠1和∠3互为对顶角，说法正确； ②∠4和∠8是同位角，说法正确； ③∠3和∠7是内错角，说法正确； ④∠4和∠7是同旁内角，说法正确； 结论一定正确的有①②③④共4个； 故选：A． 4．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，下列推理中，不正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】此题考查平行线的判定，关键是根据平行线的判定解答．根据平行线的判定方法判断即可． 【详解】解：A中、∵，∴（同位角相等，两直线平行），说法正确，不符合题意； B中、∵，∴（内错角相等，两直线平行），说法正确，不符合题意； C中、∵，∴（同旁内角互补，两直线平行），说法正确，不符合题意； D中、由无法推出，说法错误，符合题意； 故选：D． 5．（23-24七年级下·广东江门·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高．根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长，交于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【详解】解：，交于I． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①正确；②2正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴③平分，④平分不一定正确． 故选：B． 二、填空题 6．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，如果，那么 ． 【答案】/50度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能推出是解此题的关键．根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·青海西宁·期末）如图，当 时，． 【答案】/ 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行得证 【详解】解：依题意，则 故答案为： 8．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离是 ．    【答案】4 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离的定义，直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，判断是点P到直线l的距离即可． 【详解】解：直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，，垂足为A，， 点P到直线l的距离是， 故答案为：4． 9．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）线段和线段交于点O，平分，点F为线段上一点（不与点A和点O重合）过点F作，交线段于点G，若，则的度数为 ． 【答案】或/160或20 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各个角度之间的关系是解题的关键．分两种情况讨论：点F在边上，点F在边上，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数． 【详解】解：如图：①当点F在边上时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴．    ②当点F在边上时， 同上：∵， ∴， ∴． 故答案为：20或160． 10．（23-24七年级下·山东济南·期末）一副直角三角尺叠放如图①所示，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺有一组边互相平行，例：如图②，当时，．则其他所有可能符合条件的度数 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查平行线的性质、旋转的性质，根据题意画出不同情况的图形是解答本题的关键．分四种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：如图：当时，， ∵， ∴此时点B在上， ∴不符合题意； 如图：当时，， ∴； 如图：当时，； 如图：当时，（不符合题意舍去）； 综上分析可知：或或； 故答案为：或． 三、解答题 11．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2)． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角相等、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由角平分线的定义可得，再根据对顶角相等即可得解； （2）设，，根据题意列出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ； （2）解：∵， ∴设，， 根据题意得， 解得， ∴， ∴， ． 12．（21-22七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，平分，试说明：． 解：因为平分， 所以　　　　　　 （             ）       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以　　　　　 （                         ）， 所以（                             ）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以　　　　　　　　（             ）， 所以（                ） 【答案】，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 【知识点】两直线平行同旁内角互补、同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可． 【详解】解：因为平分， 所以∠1=∠2（角平分线的定义），       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（ 两直线平行，同旁内角互补）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以（同角的补角相等）， 所以（ 同位角相等，两直线平行）， 故答案为：，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行． 13．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质； （1）由，，得出，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出； （2）由得出，由得出，利用“内错角相等，两直线平行”可证出，进而可得出． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：， ， 又， ， ， ． 14．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在中，是高，点，，分别在，，上，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了垂直的定义、平行线的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键． （1）根据平行线的性质和判定解答即可； （2）先求出的度数，即为，根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即得答案． 【详解】（1）解：；理由是： ∵是高，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 15．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，是正方形网格中的格点（网格线的交点称为格点） (1)画直线、射线、线段； (2)过点画的平行线； (3)画出表示点到直线的距离的线段； (4)与的位置关系是 ； (5)线段与之间的大小关系是 ．（填“”“”或“”） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)互相垂直 (5) 【知识点】画出直线、射线、线段、用直尺、三角板画平行线、画垂线、垂线段最短 【分析】（1）根据直线、射线和线段的含义：直线无端点，无限长；射线有一个端点，无限长；线段有限长，有两个端点；据此画图即可； （2）根据作平行线的方法作出平行线即可； （3）根据作垂线段的方法作出垂线段即可； （4）由，即可推出与的位置关系； （5）由垂线段的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：根据直线、射线和线段的含义，分别画直线、射线、线段如图所示； （2）解：过点画的平行线如图所示； （3）解：画出表示点到直线的距离的线段，即过点作的垂线段如图所示； （4）解：， ， 又， ， ， ， 即与的位置关系为互相垂直， 故答案为：互相垂直； （5）解：由垂线段的性质可知，垂线段最短， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段、平行线、垂线段的画法，垂线的定义，平行线的性质，垂线段的性质等知识点，熟练掌握上述各种线的性质是解题的关键． 16．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过点作，根据平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作，如图1， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作，如图2， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 17．（23-24七年级下·广东河源·期末）综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（）和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点不能同时落在直线和之间． (1)【探究】如图1，把三角板的角的顶点分别放在上，若，求的度数； (2)【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点放在上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)【拓展】把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角的计算，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得：，由，得出， 再得出，即可求解； （2）过点E作，得到，得出，，即可求解； （3）分两种情况讨论如下：①当点E在上方时，当点E在下方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点E作， 依题意得：， ， ， ， ， ， ． （3）解：分两种情况讨论如下： ①当点E在上方时，设交于点H，如图所示： 依题意得：， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ； 当点E在下方时，延长交于点H，如图所示： 依题意得：， 设，则， ， ， ， 解得：， ， ， 综上所述：射线与相交所夹锐角的度数为或． 18．（24-25七年级上·全国·期末）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点，分别为直线，上的一点，点为平行线间一点且，，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，，直线分别交，于点，，点在射线上运动． ①当点在，（不与，重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点不在线段上运动时（点与点，，三点都不重合），请你直接写出，，间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②当在延长线时，；当在之间时，． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定， （1）过作，则，根据平行线的性质得出，，进而根据，即可求解； （2）①同（1）即可求解； ②当在延长线时，过作交于，结合图形可得．当在之间时，过作交于，同理可得． 【详解】（1）解：过作，则， ∴， ∴，， ∴． （2）①当点在（不与重合）两点之间运动时，设 过点作， ∴， ∴， ∴．   ②当在延长线时，． 过作交于， ∵， ∴ ∴， ∴    当在之间时，   过作交于， ∵ ∴ ∴, ∴ ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相交线和平行线 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 目录 考点一：判断对顶角 4 考点二：三线八角 5 考点三：垂线及垂线段最短 6 考点四：添一个条件使两直线平行 8 考点五：利用两直线平行求角的度数 10 考点六：平行线的判定与性质多结论问题 12 考点七：由平行线的判定与性质进行计算 16 考点八：由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 21 考点九：由平行线的判定与性质解决三角尺问题 27 【知识点01】相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 【知识点02】垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 【知识点03】平行线的定义 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 【知识点04】三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 图5 【知识点05】平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 【知识点06】平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【知识点07】平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 考点剖析 考点一：判断对顶角 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）下列四个图中，一定成立的是（   ） A．B．C．D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（    ） A．B．C．D． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A．B．C． D． 考点二：三线八角 例题：（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，与是（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列四个图形中，和不是同位角的是（    ） A．B． C． D． 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知图①～④， 在上述四个图中，与是同位角的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 考点三：垂线及垂线段最短 例题：（23-24七年级下·吉林松原·期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点C，依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·期末）噪声对环境的影响与距离有关，与噪声来源距离越近，噪声越大．如图，一辆汽车在笔直的公路上由点向点行驶，是位于一侧的某所学校．通过画图回答下列问题，并说明理由． (1)汽车行驶到什么位置时，学校受噪声影响最严重？ (2)在什么范围内，学校受噪声影响越来越大？在什么范围内，学校受噪声影响越来越小？ 2．（22-23七年级上·江苏泰州·期末）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．    (1)作图：①过点C画直线平行线；②过点C画直线垂线，垂足E． (2)线段的长度是点________到直线________的距离； (3)比较大小：________（填>、<或=），理由：______． 考点四：添一个条件使两直线平行 例题：（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点是延长线上一点，请添加一个条件，使，那么可以添加的条件是 （写出一个即可）． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，添加一个条件可以判定，这个条件可以是 ． 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图（，，三点在同一直线上），要使，需要添加的条件是 （只用图中的数字与字母，任意添加一组）． 考点五：利用两直线平行求角的度数 例题：（23-24八年级上·广东佛山·期末）如图，，，若，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·山东东营·期末）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，则的度数为 ． 2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，将一块含有的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为 ． 考点六：平行线的判定与性质多结论问题 例题：（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，点E在延长线上，，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上一点，Q为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④，其中结论正确的序号是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 （填序号） 2．（23-24六年级下·吉林长春·期末）如图，，F为上一点，，且平分，过点作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的是 ． 考点七：由平行线的判定与性质进行计算 例题：（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点N在线段上，与交于点． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)若，求的大小． 2.（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 3.（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，已知，点，分别是射线，上的点，，，分别平分和． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 考点八：由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 例题：（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：； (2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系； (3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，，点P为平面内一点． (1)如图①，当点P在与之间时，若，，则 ； (2)如图②，当点P在点B右上方时，、、之间存在怎样的数量关系？请证明； (3)如图③，平分，平分，若，则 ． 2.（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．          (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由； (3)若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）． 考点九：由平行线的判定与性质解决三角尺问题 例题：（24-25八年级上·上海·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中． (1)填空：与的数量关系_______；理由是_______； (2)直接写出与的数量关系_______； (3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值并画出对应的图形． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·贵州贵阳·期中）已知三角形三个内角的度数和是，如图所示是两个三角板不同位置的摆放，其中，，． (1)当时，如图1所示，求的度数． (2)当与重合时，如图2所示，试判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图3所示，当等于多少度时，？ 2.（23-24七年级下·安徽安庆·期末）综合与探究：如图，一副三角板，其中，，    (1)若这副三角板如图1 摆放，， 求的度数． (2)将一副三角板如图2所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设旋转时间为t秒，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，求所有满足条件的t的值． 真题感知 一、单选题 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图所示，图形中与不一定相等的是（    ） A．B．C． D． 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知在音符中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）如图，直线a，b被c所截，下列四个结论：①∠1和∠3互为对顶角；②∠4和∠8是同位角；③∠3和∠7是内错角；④∠4和∠7是同旁内角．其中，结论一定正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，下列推理中，不正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．（23-24七年级下·广东江门·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，如果，那么 ． 7．（23-24七年级下·青海西宁·期末）如图，当 时，． 8．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离是 ．    9．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）线段和线段交于点O，平分，点F为线段上一点（不与点A和点O重合）过点F作，交线段于点G，若，则的度数为 ． 10．（23-24七年级下·山东济南·期末）一副直角三角尺叠放如图①所示，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺有一组边互相平行，例：如图②，当时，．则其他所有可能符合条件的度数 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 12．（21-22七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，平分，试说明：． 解：因为平分， 所以　　　　　　 （             ）       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以　　　　　 （                         ）， 所以（                             ）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以　　　　　　　　（             ）， 所以（                ） 13．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在中，是高，点，，分别在，，上，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分，求的度数． 15．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，是正方形网格中的格点（网格线的交点称为格点） (1)画直线、射线、线段； (2)过点画的平行线； (3)画出表示点到直线的距离的线段； (4)与的位置关系是 ； (5)线段与之间的大小关系是 ．（填“”“”或“”） 16．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 17．（23-24七年级下·广东河源·期末）综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（）和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点不能同时落在直线和之间． (1)【探究】如图1，把三角板的角的顶点分别放在上，若，求的度数； (2)【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点放在上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)【拓展】把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 18．（24-25七年级上·全国·期末）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点，分别为直线，上的一点，点为平行线间一点且，，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，，直线分别交，于点，，点在射线上运动． ①当点在，（不与，重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点不在线段上运动时（点与点，，三点都不重合），请你直接写出，，间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$