【寒假衔接】专题3-4 函数的极值与最大（小）值【8大题型】- 2024-2025学年高二数学寒假精品讲义

""

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题3-4 函数的极值与最大（小）值 模块一 题型·解读 【题型1】函数图象与极值（点）的关系 【题型2】求已知函数的极值（点） 【题型3】根据函数的极值（点）求参数 【题型4】利用导数求函数的最值（不含参） 【题型5】根据函数的最值求参数的值 【题型6】求函数的最值（含参） 【题型7由极值，极值点求参数范围【重点题型】 【题型8根据函数的最值求参数范围 【重点题型巩固训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 极值点与极值的概念 要点诠释：极值与单调性一样，都是函数的局部性质 (1)极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x) 的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 知识点02 求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值. 知识点03 函数的最大（小）值 要点诠释：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 知识点04 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近（即局部）而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得. 知识点05 由极值，极值点求参数范围 一、根据极值或极值点个数求参数范围 首先需对函数求导并分析其导数。根据导数等于零的解的个数，结合二阶导数判断极值点类型（极大值或极小值）。然后，利用给定的极值个数或极值点个数条件，建立关于参数的不等式或方程。最后，解这些不等式或方程，得到参数的取值范围。注意，解可能需分类讨论，确保全面覆盖所有情况。 二、根据函数有（无）极值点求参数范围 函数有无极值，需分析其一阶导数。首先求导，观察导数是否可能为零。若方程无解或解不满足极值条件（如二阶导数为零），则无极值；若有解且满足极值条件，则有极值。根据有无极值 的条件，建立关于参数的不等式或方程。解不等式或方程，得到参数的取值范围，区分出函数有无 极值的情况。 三、函数在某区间上存在极值点求参数范围 函数在某区间上存在极值点，需先求导并令其为零，转化为在该区间上有解，建立关于参 数的不等式或方程。解这些不等式或方程，得到参数的取值范围，确保函数在指定区间内存在极值 点。 模块三 核心题型·训练 【题型1】函数图象与极值（点）的关系 【例题1】已知函数，其导函数的图象经过点，，如图所示，则下列说法中正确结论的序号为 ．    ①当时函数取得极小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 【答案】②③④ 【分析】由导函数的图象判断出函数的单调性，从而得到极值的情况，即可得到正确答案. 【详解】由图象可知，当时，；当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有两个极值点，当时函数取得极大值，当时函数取得极小值， 故①错误，②③④正确. 【例题2】（多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）    A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】ABC 【分析】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【详解】解：根据图象知当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减．故A、C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误． 【巩固练习1】（多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）． A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．是的极小值点 【答案】BC 【分析】利用导数的正负与函数的单调性的关系，结合函数的极值与极值点的定义即可求解. 【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当或时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和.故A错误，C正确； 所以或是的极小值点；故B正确； 所以是取得极大值点；故D错误. 【巩固练习2】（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．函数在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 【答案】AD 【分析】结合的图象，分析的取值情况，即可得到的单调性与极值点. 【详解】由图可知当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数， 在上为增函数，故A正确，B错误， 则在处取得极大值，处取得极小值， 即函数有极大值和极小值，故C错误，D正确. 【题型2】求已知函数的极值（点） 【例题1】函数的极小值点为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数判断单调性，进而可得极小值点. 【详解】因为， 所以在，上单调递增，在上单调递减，故极小值点为2． 【例题2】函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，则或，所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为． 【巩固练习1】函数的极小值点为 . 【答案】 【分析】对原函数求导，求出其单调区间，从而得到极小值点. 【详解】由题意得， 令，可得， 所以在上，单调递减， 在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以处，取得极小值， 所以极小值点为. 【巩固练习2】已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和.函数的单调递减区间为 ，极大值点为 . 【答案】 【分析】根据导函数的符号确定原函数的单调性，可直接写出原函数的单调区间；分析原函数的单调性，可以得到函数的极大值点. 【详解】如图： 导函数的图象过点和， 则当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. ∴函数的单调递减区间为，极大值点为. 【题型3】根据函数的极值（点）求参数 【例题1】（2024·青海·模拟预测）已知函数的极值点为a，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用导数求出函数的极值点，再代入求出函数值. 【详解】函数，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此是的极小值点，且是唯一极值点，所以，. 【例题2】已知函数的导函数，若不是的极值点，则实数 . 【答案】3 【解析】由，设， 若不是函数的极值点，则必有，即，所以． 当时，， 故当时，，当时，， 因此是的极值点，不是极值点，满足题意，故． 【巩固练习1】若函数在处取得极小值，则（    ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【答案】A 【分析】先由，求得的值，再代入导函数，根据函数的单调性，进行验证. 【详解】由题意可得，则，解得. 当时，， 当或时，，则在，单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以，函数在处取得极小值，此时. 【巩固练习2】已知函数在处有极大值，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】C 【分析】根据题意，列出方程求得的值，然后检验即可得到结果. 【详解】，， ∴或， 当时，， 令，得或；令，得； 从而在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以在处有极小值，不合题意， 当时，经检验，满足题意； 综上，. 【巩固练习3】若函数在处取得极大值，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出的值，进而求出，再解出极小值即可. 【详解】因为函数在处取得极大值， 则，且， 即，所以； 所以，， 令，则或， 由，，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，. 【题型4】利用导数求函数的最值（不含参） 【例题1】函数在区间上的最大值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】求导得到的单调性，然后根据单调性求最大值即可. 【详解】，定义域为， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，单调递减， 所以在区间上的最大值为. 【例题2】 【巩固练习1】函数在区间上的最大值是 . 【答案】 【分析】利用导数判断的单调性，从而得解. 【详解】因为，所以， 令，得；令，得； 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 【巩固练习2】已知函数在处取得极值1. (1)求、b的值； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)，;(2)最大值为1，最小值为 【分析】（1）由题意，根据极值点、极值的含义得，可求出、的值，再利用导数与函数极值点之间的关系验证即可； （2）利用导数求出函数在区间上的单调性，即可求得函数在上的最大值和最小值. 【详解】（1）因为，该函数的定义域为， 则， 因为函数在处取得极值1， 则，解得，，则， 所以，，令，可得，列表如下： 1 + 0 增 极大值 减 所以，函数在取得极大值，合乎题意，故，. （2）由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又因为，， 因为， 所以，故. 【题型5】根据函数的最值求参数的值 【例题1】已知函数（为常数），在区间上有最大值，那么此函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，函数，可得， 令，即，解得或（舍去）． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时取最小值，而， 即最大值为，所以，所以此函数在区间上的最小值为 【例题2】函数在处取得极小值，则函数的极大值为 ． 【答案】 【分析】根据为极值点，得到，计算出，从而求出函数的单调性，函数的极大值. 【详解】，由题意得，解得， 故，， 当时，，单调递减， 当或时，，单调递增， 故在处取得极大值， 故极大值为. 【巩固练习1】若函数在区间上的最大值是4，则m的值为(    ) A．3 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】利用导函数求出在上的单调性，然后结合已知条件即可求解. 【详解】，令，解得或， 当时，；当时，或， 故在和上单调递增，在上单调递减， 从而在上单调递减，在上单调递增， 又，，则， 所以在区间上的最大值为，解得． 【巩固练习2】已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上的最小值是，求a的值． 【答案】(1);(2) 【分析】(1)利用导数与切线斜率的关系求解即可； (2)利用导数讨论函数在区间上的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，， 所以切点为， ，则， 所以切线方程为，即. （2），， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，不满足题意； 若，令，解得，令，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； 若， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，解得，不满足题意， 综上，. 【巩固练习3已知函数，且满足的导数的最小值为. (1)求值； (2)若函数在区间上的最大值与最小值的和为7，求值. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）求导，结合二次函数的最值分析运算； （2）求导，利用导数求函数在区间上最值，分析运算. 【详解】（1）∵，则的最小值为， 由题意可得：. （2）由（1）可得：，则， 令，解得或；令，解得； 则在单调递增，在上单调递增， 且，， ，， 且， 所以函数在区间上的最大值，最小值， 又∵函数在区间上的最大值与最小值的和为7， 则，解得. 【题型6】求函数的最值（含参） 【例题1】设函数 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求证： (3)当时，求函数在上的最小值 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求出，，利用点斜式得到切线方程； （2）求导得到函数单调性，极值和最值，证明出结论； （3）求导，分和两种情况，求出函数在上的单调性，得到函数最小值. 【详解】（1）当时，，， 又，故， 所以函数在处的切线方程为； （2）当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在上取得极小值，也是最小值， 且， 故在R上恒成立. （3）， ，， 令，解得，令，解得， 当时，，故在上单调递减，在上单调递增， 此时在上取得极小值，也是最小值， 故在上的最小值为， 当时，，故在上单调递减， 此时在上的最小值为 综上：当时，在上的最小值为， 当时，在上的最小值为. 【巩固练习1】已知函数，求： (1)求函数的单调区间； (2)求函数在的最小值. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；(2)答案见解析. 【分析】（1）对求导，根据导函数的符号求单调区间即可； （2）讨论、，结合（1）所得函数的单调性求其最小值. 【详解】（1）由题设，， 令，解得； 令，解得. 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，当时在上单调递减， ， 当时，在上单调递减，在上单调递增， . 【巩固练习2】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在区间上的最小值． 【答案】(1)当时，在R上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减． (2)①当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为． 【分析】（1）求导可得，讨论两根两者的大小关系，判断的单调性；（2）结合（1）中的单调性，讨论在上的单调性，进而确定最小值． 【详解】（1）因为，所以． ①当时，，则在R上单调递增； ②当时，令，解得或， 则在，上单调递增，在上单调递减； ③当时，令，解得或， 则在，上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）知，当时，或． ①当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 此时在上的最小值为； ②当，即时，在上单调递减， 此时在上的最小值为． 【巩固练习3】已知函数. 当时，求在处的切线方程； 讨论在区间上的最小值. 【解析】（1）当时，，则，所以， 则在处的切线方程为，即， 所以当时，函数在处的切线方程为． （2）函数，则， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，函数在上单调递减，故函数的最小值； 当时，函数在上单调递增，故函数的最小值； 当时，函数的最小值． 综上可得. 【题型7由极值，极值点求参数范围【重点题型】 【例题1】已知函数，若有且只有1个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑和两种情况，得到不等式，解得答案. 【详解】函数有且只有1个极值点， 当时，没有极值点； 当时，，取，得到， 当时，函数为二次函数，则，故， 综上所述：. 【例题2】已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果. 【详解】由题意得，，故， 因为函数在上无极值， 所以在R上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，故， 当时，，则. 综上，. 【巩固练习1】已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论、与三种情况，结合导数与极值点的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 令，可得或， 当，即时， 令，得或；令，得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，满足题意； 当，即时，恒成立， 则在上单调递增，没有极值点，不满足题意； 当，即时， 令，得或；令，得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，不满足题意； 综上，，即的取值范围为. 【巩固练习2】若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，定义域为， 所以， 因为函数既有极大值也有极小值， 所以方程有两个不相等的正根，设两根为， 则有，解得， 所以的取值范围为， 【巩固练习3】（2024·新高考2卷真题）已知函数． 当时，求曲线在点处的切线方程； 若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 【题型8根据函数的最值求参数范围 【例题1】已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 . 【答案】/ 【解析】当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，且， 当时，， 若，在上单调递增，此时没有最小值， 若，在上单调递减， 要想函数有最小值，则，解得， 故实数的最大值为. 【例题2】已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若为的极小值点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求导，得到切线斜率，进而利用点斜式求出切线方程； （2）求定义域，求导，由导函数等于0得到或，分，和三种情况，得到答案. 【详解】（1） 当时，，， ，， 所以切线方程为，即． （2）的定义域为， ，， 令，则或． ①当时，， 令，解得或，令，解得， 可知在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故为的极大值点，不符合条件； ②当时，，在单调递增，故无极值点； ③当时，， 令，解得或，令，解得， 可知在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故为的极小值点，符合条件． 综上，的取值范围为． 【巩固练习1】若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 【巩固练习2】已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出导函数，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解. 【详解】因为，所以， 若，则时，，故在上单调递减， 时，，故在上单调递增， 所以当时，有最小值，满足题意； 若，则当无限趋近于负无穷大时，无限趋向于负无穷大，没有最小值，不符合题意； 综上，，所以实数的取值范围为. 【巩固练习3】已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的导数判断函数单调性，确定函数的极小值点，结合题意列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由函数，可得， 当或时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 即为函数的极小值点； 要使得函数在区间上有最小值， 则满足，即， 因为，可得，即，解得， 所以，即实数的取值为. 【重点题型巩固训练】 1． 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）    A．在上为减函数 B．在处取极大值 C．在上为减函数 D．在处取极小值 【答案】BCD 【分析】根据图象得到的符号，从而求出函数的单调区间和极值点，得到答案． 【详解】由图像得：当，，单调递增， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 当时取得极大值，当时取得极小值. 2． 若函数在上的最小值是1，则实数的值是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】，先求得极值，再求得端点值比较求解. 【详解】解：令， 解得或， 当时，，时，， 又，， 显然， 所以， 所以 3． 当时，函数取得极值，则在区间上的最大值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．32 【答案】C 【分析】根据极值点与导数之间的关系求得，利用导数判断在区间上的单调性和最值. 【详解】因为，所以， 又因为在取极值，所以，解得， 若，则，， 令，得或；令，得； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 可知在取极值，故满足题意， 若，则在和上单调递增，在上单调递减， 且， 所以在区间上的最大值为. 4． 若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，将函数有极大值和极小值问题转化导函数为有两个不相等正根问题，结合判别式和韦达定理求解即可. 【详解】因为，定义域为， 所以， 因为函数既有极大值也有极小值， 所以方程有两个不相等的正根，设两根为， 则有，解得， 所以的取值范围为 5． 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数进行求导得，则方程在时有两个根，利用导数研究函数的值域，即可得 【详解】因为，得， 所以在时有两个变号根， 令， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减，且， 当时，；当时，， 所以与，所以， 6． 若函数，为函数的极值点. (1)求的值；(2)求函数的极值. 【答案】(1)；(2)的极小值为，的极大值为 【分析】（1）先求出导函数，再由题意得求得，再进行检验即可； （2）根据（1）的结论即可得解. 【详解】（1）因为，所以. 因为是的一个极值点，所以，即，则， 当时，， 令，得或；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点，满足题意，故. （2）由（1）知，且是的极小值点，是的极大值点， 所以的极小值为，的极大值为. 7． 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值. 【分析】（1）求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，当时，，当时，，当时，，得到单调区间和极值情况. 【详解】（1）， ，， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）的定义域为， 故， 当时，， 当时，，当时，， 故的单调递减区间为，单调递增区间为， 的极小值为，无极大值. 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题3-4 函数的极值与最大（小）值 模块一 题型·解读 【题型1】函数图象与极值（点）的关系 【题型2】求已知函数的极值（点） 【题型3】根据函数的极值（点）求参数 【题型4】利用导数求函数的最值（不含参） 【题型5】根据函数的最值求参数的值 【题型6】求函数的最值（含参） 【题型7由极值，极值点求参数范围【重点题型】 【题型8根据函数的最值求参数范围 【重点题型巩固训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 极值点与极值的概念 要点诠释：极值与单调性一样，都是函数的局部性质 (1)极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x) 的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 知识点02 求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值. 知识点03 函数的最大（小）值 要点诠释：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 知识点04 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近（即局部）而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得. 知识点05 由极值，极值点求参数范围 一、根据极值或极值点个数求参数范围 首先需对函数求导并分析其导数。根据导数等于零的解的个数，结合二阶导数判断极值点类型（极大值或极小值）。然后，利用给定的极值个数或极值点个数条件，建立关于参数的不等式或方程。最后，解这些不等式或方程，得到参数的取值范围。注意，解可能需分类讨论，确保全面覆盖所有情况。 二、根据函数有（无）极值点求参数范围 函数有无极值，需分析其一阶导数。首先求导，观察导数是否可能为零。若方程无解或解不满足极值条件（如二阶导数为零），则无极值；若有解且满足极值条件，则有极值。根据有无极值 的条件，建立关于参数的不等式或方程。解不等式或方程，得到参数的取值范围，区分出函数有无 极值的情况。 三、函数在某区间上存在极值点求参数范围 函数在某区间上存在极值点，需先求导并令其为零，转化为在该区间上有解，建立关于参 数的不等式或方程。解这些不等式或方程，得到参数的取值范围，确保函数在指定区间内存在极值 点。 模块三 核心题型·训练 【题型1】函数图象与极值（点）的关系 【例题1】已知函数，其导函数的图象经过点，，如图所示，则下列说法中正确结论的序号为 ．    ①当时函数取得极小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 【例题2】（多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）    A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【巩固练习1】（多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）． A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．是的极小值点 【巩固练习2】（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．函数在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 【题型2】求已知函数的极值（点） 【例题1】函数的极小值点为（    ） A．2 B． C． D． 【例题2】函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】函数的极小值点为 . 【巩固练习2】已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和.函数的单调递减区间为 ，极大值点为 . 【题型3】根据函数的极值（点）求参数 【例题1】（2024·青海·模拟预测）已知函数的极值点为a，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例题2】已知函数的导函数，若不是的极值点，则实数 . 【巩固练习1】若函数在处取得极小值，则（    ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【巩固练习2】已知函数在处有极大值，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【巩固练习3】若函数在处取得极大值，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 【题型4】利用导数求函数的最值（不含参） 【例题1】函数在区间上的最大值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【巩固练习1】函数在区间上的最大值是 . 【巩固练习2】已知函数在处取得极值1. (1)求、b的值； (2)求在上的最大值和最小值. 【题型5】根据函数的最值求参数的值 【例题1】已知函数（为常数），在区间上有最大值，那么此函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】函数在处取得极小值，则函数的极大值为 ． 【巩固练习1】若函数在区间上的最大值是4，则m的值为(    ) A．3 B．1 C．2 D． 【巩固练习2】已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上的最小值是，求a的值． 【巩固练习3已知函数，且满足的导数的最小值为. (1)求值； (2)若函数在区间上的最大值与最小值的和为7，求值. 【题型6】求函数的最值（含参） 【例题1】设函数 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求证： (3)当时，求函数在上的最小值 【巩固练习1】已知函数，求： (1)求函数的单调区间； (2)求函数在的最小值. 【巩固练习2】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在区间上的最小值． 【巩固练习3】已知函数. 当时，求在处的切线方程； 讨论在区间上的最小值. 【题型7由极值，极值点求参数范围【重点题型】 【例题1】已知函数，若有且只有1个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题2】已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2024·新高考2卷真题）已知函数． 当时，求曲线在点处的切线方程； 若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【题型8根据函数的最值求参数范围 【例题1】已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 . 【例题2】已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若为的极小值点，求的取值范围． 【巩固练习1】若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【巩固练习2】已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【巩固练习3】已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是 . 【重点题型巩固训练】 1． 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）    A．在上为减函数 B．在处取极大值 C．在上为减函数 D．在处取极小值 2． 若函数在上的最小值是1，则实数的值是（    ） A．1 B．3 C． D． 3． 当时，函数取得极值，则在区间上的最大值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．32 4． 若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5． 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6． 若函数，为函数的极值点. (1)求的值；(2)求函数的极值. 7． 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$