练案38 8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

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练案!/8" """"第八章"8!#"8!#!/"!第一课时"平面与 平面垂直的判定# """""""""""""""" $组!基础巩固 !!经过平面 $ 外一点和平面 $ 内一点与平面 $ 垂直的平面有 !""" $!*个 %!!个 &!无数个 '!!个或无数个 "!对于直线5$6和平面 $ $ % $能得出 $)% 的一 个条件是 !""" $!5 ) 6$5 $$ $6 $% %!5 ) 6$ $4% (5$6 5$ &!5 $ 6$6 )% $5 5$ '!5 $ 6$5 )$ $6 )% #!如图$三棱台#$%9# ! $ ! % ! 的下底面是正三角 形$且#$ ) $$ ! $$ ! % ! ) $$ ! $则二面角#9$$ ! 9%的大小是 !""" $!/*0 %!4+0 &!#*0 '!1*0 $!在四棱锥.9#$%&中$已知.# ) 底面#$%&$ 且底面#$%&为矩形$则下列结论中错误的是 !""" $!平面.#$ ) 平面.#& %!平面.#$ ) 平面.$% &!平面.$% ) 平面.%& '!平面.%& ) 平面.#& %!"多选#已知 $ $ % 是两个不同的平面$)是一条 直线$则下列命题中正确的是 !""" $!若 $$% $) $% $则) $$ %!若) $ $) % $则 $$% &!若) $ $) $% $则 $)% '!若 $)% $) $% $则) $ &!"多选#如图所示$四边形#$%& 中$ #& $ $%$ #&(#$(!$ ' $%&(4+0$ ' $#&(1*0$将 ! #$&沿$&折起$点#到达#C的位置$此时 #C% 槡(/ $构成三棱锥#C9$%&$则 !""" $!平面#C$& ) 平面$&% %!平面#C$& ) 平面#C$% &!平面#C&% ) 平面$&% '!平面#C&% ) 平面#C$% '!如图$正方体#$%&9# ! $ ! % ! & ! 的棱长为!$'$ (分别为棱#&$$%的中点$则平面% ! & ! '(与 平面'(%&所成的二面角的余弦值为 """"! 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' ('0是平面.#$与平面#$%所成二面 角的平面角 !#!在#*0二面角的一个面内有一个点$若它到二 面角的棱的距离是!*$则该点到另一个面的 距离是""""! !$!".*.4!成都阶段检测#如图所示$在四棱锥 .9#$%&中$底面#$%&为平行四边形$ ' %&#(4+0$#&(#%(!$"为#%的中点$ ." ) 平面#$%&$."(.$,为.&的中点! !!"证明,.$ $ 平面#%,' !."证明,平面.#& ) 平面.#%! &组!拓展提升 !%!如图$ ! #$%为正三角形$'% ) 平面#$%$ $& $ %'$且%'(%#(.$&$,是'#的中点! 求证,!!"&'(&#' !."平面$&, ) 平面'%#' !/"平面&'# ) 平面 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & '%#! &'%#& 8.4如图所示.四面体ABCD中，AB⊥平面BCD.AB⊥BC,AB⊥ 因为EB⊥AE,EB⊥EF,AE∩EF=E,AEC平面AEFD.EFC BD,AB⊥CD.△ABC,△ABD为直角三角形.，BC⊥CD,BC 平面AEFD. ∩AB=B,BC,ABC平面ABC,.CD⊥平面ABC,.CD⊥AC, 所以EB⊥平面AEFD,又有DFC平面AEFD,所以DF⊥EB, ·△ACD,△BCD为直角三角形. 又DE∩EB=E.所以DF⊥平面BED. (2)设点E到平面BDF的距离为d,因为DM⊥EF,由(I) 知，EB⊥平面AEFD. 因为DMC平面AEFD,所以DM⊥EB 因为EFC平面BEF,EBC平面BEF,EB∩EF=E,所以DM ⊥平面BEF 所以Vm=Vnm,即号56面·DM=子Sam 9.30°如图，作出AC⊥a,BD上C,则AC …d, ∥BD,AC,BD确定的平面与平面a交 由BA=2,得BD=B,又DF=√2. 于CD,且CD与AB相交于O,AB=10 且由(1)知DF⊥平面BED,所以DF⊥DB, AC=3,BD=2,则AO=6,B0=4 0 ,∠A0C=∠B0D=30 所以Sar= 2 10.因为两平面平行，所以原问题等价于 求解点C1到平面ABD1的距离h,由 d=1,即小：气放点E到平面0F的鹿离为 所以6 3 等体积法可得V三装G1-调=V三装-GA,即h× 3× 2 15.(1)证明：由题知AB=1,BC=3,AC=2. 1 ×宁×正×巨×E,解得6=气，即平面 则AB+BC=AC,所以AB⊥BC, 2×sim60°= 3 又因为PA⊥平面ABC,所以PH⊥BC 因为PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB 8D到平面C,D的距离为5 11.B因为EG⊥平面a,FH⊥平面a,所以E,F,H,G四点共 (2)在线段PC上存在点D,当PD=时，使得AC1Bm 面.又PQC平面a.所以EG⊥PQ,FH⊥PQ.若EF⊥平面B. 理由如下：如图，在平面ABC内，过点B作BE⊥AC,垂足为 则由PQC平面B,得EF⊥PQ.又EG∩EF=E,所以PQ⊥平 E,在平面PAC内，过点E作DE∥PA,交PC于点D,连接 面EFG.所以PQ⊥GH.故选B. BD,由PA⊥平面ABC,知PA⊥AC 12.ABC因为AD⊥DC,AD⊥DB,且DC∩DB=D,DC,DBC 平面DBC,所以AD⊥平面DBC,故A正确：当DB'⊥DC时， △DBC的面积最大，此时三棱锥A-DB'C的体积也最大，最 大值为时×号x宁×宁×号-震放B正确：当∠日0c: 60°时，△DBC是等边三角形，设BC的中点为E,连接AE 则AE⊥BC,即AE为点A到BC的距离，AE= 所以DE⊥AC,所以AC⊥平面DBE, √P-(仔)-年故c正确：当∠B0c=0时，D 又因为BDC平面DBE. 所以AC⊥BD. DB,CD⊥AD,故CD⊥平面ADB,则CD就是点C到平面 在△ABC中，BE=B,BC. ADB'的距离.则CD=了，故D不正确 AC 2 13.(0,1]连接DM,如图，因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥ 所以AE= CM.又PM⊥CM.且PD∩PW=P.所以CM⊥平面PDM.所以 CM⊥DM.所以以DC为直径的圆与AB有交点，所以0<a 所答-所以m3源m= 4 ≤1， 练案[38] 1.D当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只 有1个.故选D. 2.Cn上B,m∥n,∴m上B,又mCa,由面面垂直的判定定理， 得⊥B M 3.C三棱台ABC-ABC1中.BC1∥BC,且BC⊥BB,则BC 14.(1)证明：因为AD=1,BC=3,EF为直角梯形ABCD的中位 ⊥BB:,又AB⊥BB,且ABOBC=B,所以B,B⊥平面ABC,所 线，所以EF=2,且AD∥EF, 以∠ABC为二面角A-BB-C的平面角，因为△4BC为等边 三角形，所以∠ABC=60°.故选C 4.C由PA⊥底面ABCD,可得PA⊥AD.PA⊥CD.又底面ABCD 为矩形，，AD⊥AB,CD⊥AD,而AB∩PA=A,AD∩PA=A, ∴.AD⊥平面PAB,CD⊥平面PAD.平面PAD⊥平面PAB,平 面PCD⊥平面PAD,又BC∥AD,.∴.BC⊥平面PAB,平面PBC ⊥平面PAB.选项A、B、D可证明.故选C 5.BC若a∥B.1∥B.则1∥a或1C,故A不正确：若1⊥a,1⊥ B,则a∥B,故B正确：如图，若1⊥a,1∥B,过1的平面y与B 过D作DM⊥EF,垂足为M. 相交，设交线为m,l∥B,lCy,Bny=m,则l∥m,1⊥a,则 则DF=2,DE=2,EF=2,所以EF=DF+DE,所以DE m⊥a,mCB,故a⊥B,故C正确；若a⊥B,l∥B,则1与a不 ⊥DF, 一定垂直，故D不正确故选BC. 401- 13.55如图所示，P为二面角a-1-B的一个 血a内一点，PO是它到另一个面B的距离， PH是它到棱的距离为10，，O⊥B,∴.PO⊥ B ,又PH⊥1，，I⊥平面POH.得出1上OH ,.∠PH0为二面角a-1-B的平面角， ∠PHO=60°，在Rt△PHO中，PO=PH sin60°=10× 6.AD在三棱维A'-BDC中，A'D=A'B=1,∠BA'D=90°，放 3=5a BD=E,易知DC=反.又AC=5,故A'C2=A'D2+Dc,则14.(1)连接BD,M0,在平行四边形ABCD CD⊥A'D,又CD⊥BD,A'D∩BD=D,所以CD⊥平面A'BD.故 中，O为AC,BD的中点 平面A'BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A'BD,所以CD⊥A'B,又 因为M为PD的中点，所以PB∥MO A'B⊥A'D,A'DACD=D,所以A'B⊥平面A'DC,故平面A'DC 又因为PB文平面ACM.MOC平面ACM ⊥平面A'BC 所以PB∥平面ACM. 7 (2)因为∠CDA=45°，且AD=AC=1,所D 根据题意，EF⊥平面ADD,A,.ED,⊥EF,ED⊥EF, 以∠D4C=90°，即DA⊥AC. ∴.∠D,ED是平面C,DEF与平面EFCD所成二面角的平面 因为PO⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所 以PO⊥AD. 角，在△0D中，D=子，E0:√+ 因为AC∩PO=O.AC,POC平面PAC,所以AD⊥平面PAC 4 2 又因为ADC平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAC 15.(1)设BD=a,则CE=C4=2a.如图， ∴.cs∠D1ED= 作DF∥BC交CE于点F,则CF=DB 5 2 因为CE⊥平面ABC. 8.1由题意知，BD⊥AD,CD⊥AD,所以∠BDC为二面角B-AD 所以BC⊥CF.DF⊥EC -C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90° 因为EF=a,BC=2a, 连接（图略）.则Bc=VBD+C=√（空）+（受】 所以DE=/EF+D=5a. 又BD∥CE,所以DB⊥平面ABC,DB⊥ =1. AB,所以DA=DB+AB=5a,所以DE=DL 9.③④因为AB=CB,且E是AC的中点，所以E⊥AC.同理 有DE⊥AC,因为BE∩DE=E,BE,DEC平面BDE,所以AC⊥ (2)如图所示，取CA的中点N,连接MN,BN,则MN∥CE∥ 平面BDE.因为ACC平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又 DB,且MW= CE=DB, 因为ACC平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE, 10.,E为SC的中点，且SB=BC,∴.BE⊥SC 所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN 又DE⊥SC,BE∩DE=E,.SC⊥平面BDE,.BD⊥SC 因为EC⊥平面ABC,所以EC⊥BN,EC⊥MD 由(1)知DE=DA.M为EA的中点，所以DM⊥AE 由SA⊥平面ABC,可得SA⊥BD. 又SCnS4=S,.BD⊥平面S4C,从而BD⊥AC,BD⊥DE, 因为EC∩AE=E,ECC平面AEC,AEC平面AEC ·∠EDC为二面角E-BD-C的平面角. 所以DM⊥平面AEC,又DMC平面BDM,所以平面BDM⊥平 面ECA, 设SA=AB=1,则SB=2. (3)由(2)知DM⊥平面AEC,而DMC平面DEA,所以平面 在△ABC中，AB⊥BC,BC=SB=V2,.AC=5,SC=2 DEA⊥平面ECM. 在Rt△S4C中，∠DCS=30° .∠EDC=60°，即二面角E-BD-C的大小为60° 练案[39] 1L.D由题意知：AB=DB=3,BB,=A4,=A 1.A①当1∥B时，又1上a,则a⊥B,∴“直线1∥平面B”是 3且∠Am孚过B作BELAD于E. “平血a⊥平面B”的充分条件：②当a⊥B时，又：1⊥a,则 1∥B或ICB,∴，“直线1∥平面B”不是“平面α⊥平面B”的必 连接BE,则BE=子，而面BB,1平面ABD, 要条件.∴，B是a⊥B的充分不必要条件.故选A 2.C:a-I-B是直二面角，直线a在平面a内，直线b在平面 ADC平面ABD,AD⊥BB,而BB,∩BEA B内，且a,b与1均不垂直，∴.当a∥1，且b∥1时，由平行公理 =B,即AD⊥平面BEB,放二面角B-AD 得a∥b,即a,b可能平行，故A与D错误：当a,b垂直时，若二 -B的平面角为∠BEB1,.am∠BEB= 面角是直二面角，则a⊥1，与已知矛盾，∴a与b不可能垂直， =厅，而∠EB,e[0,号」即 但可能平行.故选C. BE 3.A ∠BB,=号 由已知条件可知∠HB'=,LAB=石，设AB=2a,则 12.ABC因为点E,F分别是AB,AP的中点，所以EF∥PB,又 BB'=2asim开=2a,AB=2acos石=万a,在R△BB'A EF￠平面PBC,PBC平面PBC,所以EF平面PBC.同理， 中，得A'B=a,.AB:AB=2:1. EG∥平面PBC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面PBC. 4.C平面ABD⊥平面BCD,平面ABDn平面BCD=BD,BD 因此A中结论正确：因为PC⊥BC,PC⊥AC,BCOAC=C,所 ⊥CD,CDC平面BCD.,∴.CD⊥平面ABD,又等边△ABD边长 以PC⊥平面ABC.又FG∥P℃C,所以FG⊥平面ABC,又GC 平面FGE,所以平面FGE⊥平面ABC,因此B中结论正确：在 为3，则52m=分4B·40·m60=9 ,又BD=CD=3,故 平面PBC中，由BC⊥PC,得∠BPC为直线BP与直线PC所 成的角，又EF∥BP,所以∠BPC是直线EF与直线PC所成 Vg%体-BD=3 05m9单散选C 的角，因此C中结论正确：由于E,CE与AB不垂直，所以 ∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因 5.ABC因为a⊥B,所以存在直线aC&,使得a⊥B,又因为B∥ 此D中结论不正确。 y,所以a⊥y,又因为aCa,所以a⊥y,故A正确：如图①所 示：在长方体中，满足a⊥B,存在这样的直线1Ca,使得1∥B 402