6.2 黄金分割 同步练习-2024-2025学年 苏科版数学九年级下册

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《6.2 黄金分割》同步练习-2024-2025学年第二学期苏科版数学九年级下册 一．选择题（共10小题） 1．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），AB＝4，则线段AC的大小是（　　） A． B． C． D． 2．形状与大小都确定的一个锐角三角形ABC，点D是边BC上一点，下列条件不能唯一确定△ABD与△ADC面积的比值的是（　　） A．点D是边BC的黄金分割点 B．点D是边BC的中点 C．AD是边BC上的高 D．AD是∠BAC的平分线 3．我们把宽与长的比等于黄金比（）的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（AB＜BC）中，∠ABC的平分线交AD边于点E，EF⊥BC于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 5．已知点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，那么下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 6．校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么叶片的长度为（　　）cm． A． B． C． D． 7．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为，它被公认为是最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙娜丽莎．如图2，点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，延长EH交CD于点I，连结BF交EI于点G，连结BI，则S△BCI：S△FGH为（　　） A．1：1 B． C． D． 8．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），若，则⊗表示的是（　　） A． B． C． D． 9．已知线段AB＝1，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则线段AC的长是（　　） A． B． C． D． 10．点P，点Q是线段AB的黄金分割点，若AB＝2，则PQ长度是（　　） A．1 B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若AD＝2，则AN的长为 　 　． 12．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB＝1，那么BP的长是 　 　． 13．若线段AB＝10，且点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，则BC的长为 　 　． 14．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则的值为 　 　． 15．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”，实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB的长为，那么AP的长为　 　cm． 三．解答题（共5小题） 16．如图，我们知道，如果点P是线段AB上的一点，将线段分割成AP，BP两条线段（AP＞BP），且满足BP：AP＝AP：AB，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为a，b，c，d的四条线段，如果a：b＝c：d，则ad＝bc．求黄金分割数（结果保留根号）． 17．【例题呈现】化简：． 思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化． 解：将分子、分母同乘，得． 【类比应用】 （1）化简：　 　； （2）宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．如图，已知黄金矩形ABCD（AB＜BC）的边AB＝2，剪掉一个以AB为边的正方形ABEF后，得到新的矩形CDFE． ①求BC的长； ②通过计算说明矩形CDFE是否为黄金矩形． 18．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上． （1）求AM，DM的长； （2）求证：AM2＝AD•DM； （3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？ 19．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）． （1）求线段AP的长； （2）以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ＝AP，连接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的长． 20．如图，点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，计算线段AB的黄金比的值． 《6.2 黄金分割》同步练习-2024-2025学年第二学期苏科版数学九年级下册 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B B C D A A C 一．选择题（共10小题） 1．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），AB＝4，则线段AC的大小是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意得ACAB4＝22． 故选：B． 2．形状与大小都确定的一个锐角三角形ABC，点D是边BC上一点，下列条件不能唯一确定△ABD与△ADC面积的比值的是（　　） A．点D是边BC的黄金分割点 B．点D是边BC的中点 C．AD是边BC上的高 D．AD是∠BAC的平分线 【解答】解：A、点D是边BC的黄金分割点，而BC的黄金分割点有两个，所以△ABD与△ADC面积的比值不唯一，故A符合题意； B、∵点D是边BC的中点， ∴BD＝CD， ∴△ABD与△ADC面积的比值为1， 故B不符合题意； C、∵AD是边BC上的高， ∴△ABD与△ADC面积的比值为BD：CD， 故C不符合题意； D、∵AD是∠BAC的平分线， ∴△ABD与△ADC面积的比值为AB：AC， 故D不符合题意； 故选：A． 3．我们把宽与长的比等于黄金比（）的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（AB＜BC）中，∠ABC的平分线交AD边于点E，EF⊥BC于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵矩形ABCD（AB＜BC）为黄金矩形， ∴设AB1，AD＝2， ∵BF平分∠ABC，而∠ABC＝90°， ∴四边形ABFE为正方形， ∴AE＝AB， ∵DE＝2﹣（1）＝3 ∴， 而， ∴，所以A选项的结论正确； ∵，， ∴，所以B选项的结论正确； ∵，， ∴，所以C选项的结论错误； ∵，， ∴，所以D选项正确． 故选：C． 4．如图，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2， ∴APAB21， ∴AP的长为1， 故选：B． 5．已知点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，那么下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB， ∴点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC， ∴， 故选：B． 6．校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么叶片的长度为（　　）cm． A． B． C． D． 【解答】解：∵P为AB的黄金分割点，AP＞PB， ∴， ∵AB的长度为8cm， ∴， ∴， 故选：C． 7．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为，它被公认为是最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙娜丽莎．如图2，点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，延长EH交CD于点I，连结BF交EI于点G，连结BI，则S△BCI：S△FGH为（　　） A．1：1 B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝DA＝AB． ∵点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB， ∴． ∵四边形AEHF是正方形， ∴EH＝HF＝FA＝AE，FH∥AE， ∴△FHG∽△BEG， ∴， ∴， ∴GHHEAE， ∵∠C＝∠CBE＝∠BEI＝90°， ∴四边形BCIE是矩形， ∴IC＝BE， ∴S△BCI：S△FGH•••． 故选：D． 8．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），若，则⊗表示的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据黄金分割的定义可得： ， 故选：A． 9．已知线段AB＝1，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则线段AC的长是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC， ∴ACAB． 故选：A． 10．点P，点Q是线段AB的黄金分割点，若AB＝2，则PQ长度是（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：如图： ∵点P，点Q是线段AB的黄金分割点，AB＝2， ∴， ∴AQ＝BP1， ∴PQ＝AQ+BP﹣AB11﹣2＝24， 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若AD＝2，则AN的长为 　3　． 【解答】解：∵点N是AD的黄金分割点（DN＞AN），AD＝2， ∴DNAD21， ∴AN＝AD﹣DN＝2﹣（1）＝3， 故答案为：3． 12．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB＝1，那么BP的长是 　　． 【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝1， ∴APAB， ∴BP＝AB﹣AP＝1， 故答案为：． 13．若线段AB＝10，且点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，则BC的长为 　55　． 【解答】解：∵点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，AB＝10， ∴BCAB10＝55， 故答案为：55． 14．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则的值为 　　． 【解答】解：一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足， ∴点B是线段AC的黄金分割点， ∴， 即的值为， 故答案为：． 15．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”，实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB的长为，那么AP的长为　8　cm． 【解答】解：由题意可得：AB的长为， ∴， 故答案为：8． 三．解答题（共5小题） 16．如图，我们知道，如果点P是线段AB上的一点，将线段分割成AP，BP两条线段（AP＞BP），且满足BP：AP＝AP：AB，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为a，b，c，d的四条线段，如果a：b＝c：d，则ad＝bc．求黄金分割数（结果保留根号）． 【解答】解：设线段AB＝1，AP的长为x，则BP＝AB﹣AP＝1﹣x， ∵BP：AP＝AP：AB， ∴（1﹣x）：x＝x：1， ∴x2＝1﹣x， 整理得：x2+x﹣1＝0 解得：，x2（舍去）， ∴黄金分割数＝AP：AB：1， ∴黄金分割数为． 17．【例题呈现】化简：． 思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化． 解：将分子、分母同乘，得． 【类比应用】 （1）化简：　1　； （2）宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．如图，已知黄金矩形ABCD（AB＜BC）的边AB＝2，剪掉一个以AB为边的正方形ABEF后，得到新的矩形CDFE． ①求BC的长； ②通过计算说明矩形CDFE是否为黄金矩形． 【解答】解：（1）1， 故答案为：； （2）①∵四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），AB＝2， ∴， 解得：BC1， ∴BC的长为1； ②∵四边形ABEF是正方形， ∴AB＝BE＝2， ∵BC1， ∴CE＝BC﹣BE1﹣21， ∵四边形CDFE是矩形， ∴CD＝AB＝2， ∴， ∴矩形CDFE是黄金矩形． 18．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上． （1）求AM，DM的长； （2）求证：AM2＝AD•DM； （3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？ 【解答】（1）解：在Rt△APD中，PAAB＝1，AD＝2， ∴PD， ∴AM＝AF＝PF﹣PA＝PD﹣PA1， DM＝AD﹣AM＝2﹣（1）＝3； （2）证明：∵AM2＝（1）2＝6﹣2，AD•DM＝2（3）＝6﹣2， ∴AM2＝AD•DM； （3）点M是AD的黄金分割点．理由如下： ∵AM2＝AD•DM， ∴， ∴点M是AD的黄金分割点． 19．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）． （1）求线段AP的长； （2）以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ＝AP，连接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的长． 【解答】解：（1）∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP， ∴APAB2． （2）∵QP平分∠AQB， ∴P到AQ、BQ的距离相等． ∴． 又由（1）AP＝BQ1， ∵AB＝2， ∴PB＝AB﹣AP＝2﹣（1）＝3． ∴AQ2． 20．如图，点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，计算线段AB的黄金比的值． 【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC， ∴， ∴线段AB的黄金比的值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$