2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆的证明与计算

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆的证明与计算 1．如图，四边形，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上． (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，，求的长． 2．如图，已知是的直径，切于点，交于点为的中点，连接．    (1)求证：是的切线（提示：利用是直角三角形斜边的中线进行证明） (2)若，求的正切值． 3．如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求线段的长． 4．如图，是的直径，点A在上，点C在的延长线上，，平分交于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 5．如图1，将的顶点C放在上，边与相切于点C，边与交于点D．已知，，，的半径为4．从图1的位置开始，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为． (1)如图2，当恰好经过圆心O时，求证：是的切线； (2)如图3，若时，边与的另一交点为E，求的长． 6．如图，在中，，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，延长交于点，连结． (1)求证：为的中点． (2)若，的面积是，求． 7．如图，在中，点为斜边上一点，以为直径的交于点，交于点，且点是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 8．如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于E，点F是延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接、、，若，，求的半径． 9．如图，已知中，，以为直径作交于点D，过点D作于点E，交延长线于点F． (1)求证：是的切线． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 10．如图，内接于，是的直径的延长线上一点，且． (1)求证：是的切线 (2)若的半径为，，求的长和的值； (3)过圆心作的平行线交的延长线于点．若，，求的半径． 11．如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交于点，以为直径作． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下求阴影部分的面积． 12．如图，是的直径，D为上一点，点C是延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径及的长． 13．如图，为的直径，为的半径，的弦与相交于点，的切线交的延长线于点，．． (1)求证：； (2)若的半径长为3，且，求的长． 14．如图，D为上一点，点C是直径延长线上的一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若的直径，求的长． 15．如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，交的延长线于，于，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆的证明与计算》参考答案 1．(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理证明结论． （2）过点作的垂线，垂足于点，根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：过点作的垂线，垂足于点，如图： ， 则四边形为矩形， 的半径为，， ， ， 由勾股定理得，， ， ； 2．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质和直角三角形斜边的中线以及等腰三角形的性质得出，，，然后利用等量代换即可得出，从而证明结论； （2）首先根据勾股定理求出的长度，然后证明，最后利用求解即可． 【详解】（1）连接，如图，   是的直径， ， ， ∵E为的中点， ， ， ， ， ∵切于点，， ， 是的切线 （2）在中， ， ， ， ， ， 即， 连接，则， ，    3．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质定理得到，根据平行线的判定定理得到，得到，得到，即可得到结论； （2）证明，求出，证明，求出． 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （2）解：， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直径对的圆周角是直角，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到．根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到．求得．连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ． ． ， ． ∵， ． ． ． 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ． ． ∴． ． ． 如图，连接， 平分， ． ． ． 是的直径， ． ． ． 5．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，求弧长， 对于（1），作，根据直角三角形的性质得，即可知，再直角三角形的性质得，然后根据是的半径可得答案； 对于（2），先求出，再根据，可得，进而求出，最后根据弧长公式得出答案. 【详解】（1）解：如图2，过点O作于点F， ，， ， ， ， ，是的半径， 是的切线； （2）解：如图3，连接，， 时，， 又， ， ， 的长为． 6．(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）根据切线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求证； （2）根据为的中点可得的面积是，从而得到，再证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的切线，是的直径， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为的中点； （2）解：∵的面积是，为的中点， ∴的面积是， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 由（1）知：， ∴． 7．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，根据等边对等角得，所以，证得，再结合得，即可得证； （2）连接，交于点，证明四边形是矩形，设的半径为，则，，然后在中，列出勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 点是的中点， ， ， 又， ， ， ， 又， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：如图，连接，交于点， 点是的中点， ， 为的切线， ， 又， 四边形是矩形， 设的半径为，则，， 在中，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 8．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和等量代换求得，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （2）利用圆周角定理得到，则，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质得到的长，设的半径为r，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，，如图， ∵点C是半圆的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 即， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 设的半径为r，则， ∵， ∴， 解得：． ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的切线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，弦切角定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 9．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的性质和判定及扇形面积的计算，掌握切线问题中的辅助线的作法及扇形的面积公式是解题的关键． （1）连接，证明，推出，即可证明结论成立； （2）连接，在中，利用余弦的定义求得，在中，利用正切求得圆的半径，利用即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，    ∴， ∵，   ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，   在中，，， ∴，   ∴， ∴，， ∴， ∵是的的直径， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 10．(1)见解析； (2)1，； (3)3． 【分析】本题考查了切线的判定、三角形相似的判定和性质、勾股定理、三角函数等，解题的关键是证明相似三角形． （1）由等腰三角形的性质得到，再证明，即可得到结论； （2）证明，得到，求出即可得到答案； （3）根据平行线分线段成比例定理得到，设，则，得到，求出即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，，， ， ； ，， ， ， 在中，， ； （3）解：∵， ， ，， ， 设，则， ， 是直角三角形， 在中，， ， 解得，， ，即的半径为． 11．(1)见解析 (2)2 (3)2 【分析】（1）连接，利用圆周角定理得到点在上，利用角平分线的定义，同圆的半径相等的性质，等腰三角形的性质和平行线的判定与性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用勾股定理求出，解直角三角形，求出，利用含角的直角三角形的性质求出，解直角三角形解答即可； （3）利用（2）的结论得到为等边三角形，则，利用勾股定理求得，再利用阴影部分的面积解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ， 以为直径作， 点在上， ， ， 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ． ， ． ， ， ， ． （3）解：由（2）知：，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定定理，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质，连接经过切点的半径，直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 12．(1)见解析 (2)半径为3， 【分析】（1）连接，根据直径所对圆周角为，推出，再根据，结合，推出，即可证明； （2）在中利用勾股定理即可求出的半径，再证明，推出，设，则，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即的半径为3 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 13．(1)见解析 (2)1 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后根据等边对等角，等量代换求出，证得即可； （2）设，则，，在中，利用勾股定理构建方程求出，然后根据计算得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， 切于点， ， ， ，， ，， 又， ， ， ； （2）解：设，则，， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解一元二次方程，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 14．(1)见解析． (2)2． 【分析】（1）根据圆周角定理的推论和等腰三角形的性质，得出,即即可得出结论； （2）利用切线的性质得出，再利用勾股定理列方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的直径， ，即， ， ， 又， ，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵的直径， ， ∵CD是的切线， ， ， ， 解得（负值已舍） 【点睛】本题考查圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，切线的的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能准确添加辅助线是解决此题的关键． 15．(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的判定与性质，30度所对的直角边是斜边的一半，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线的判定得，结合等边对等角得，得．故．得，即可作答． （2）因为，所以，得，得，在中，，得． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∵是圆的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$