第一章 三角形的证明 单元测试2024-2025学年 北师大版数学八年级下册

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第一章 三角形的证明　　 　(时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题(以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分) 1.如图所示,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=3,则CD等于( ) A.10 B.5 C.4 D.3 第1题图 2.下列命题的逆命题是假命题的是( ) A.全等三角形的对应角相等 B.两直线平行,同位角相等 C.等边三角形的三个角相等 D.在直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平方和 3.用反证法证明“若ab=0,则a,b中至少有一个为0”时,第一步应假设( ) A.a=0,b=0 B.a≠0,b≠0 C.a≠0,b=0 D.a=0,b≠0 4.如图所示,已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定 Rt△ABD 和Rt△CDB全等,则需要添加的条件是( ) 第4题图 A.AD=CB B.∠A=∠C C.BD=DB D.AB=CD 5.某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为( ) 第5题图 A.48° B.40° C.30° D.24° 6.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若AC=6,BC=8,则CD等于( ) 第6题图 A.1 B.2 C.3 D.4.8 7.已知△ABC(AC<AB),用尺规在AB上确定一点P,使PB+PC=AB,则下列符合要求的作图痕迹是( ) A B C D 8.“三等分角”大约是在公元前4世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定, OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是( ) A.60° B.65° C.75° D.80° 9.如图所示,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=6,连接BD,BD⊥CD, ∠ADB=∠C.若P是边BC上一动点,则DP长的最小值为( ) A.4 B.6 C.3 D.12 第9题图 10.如图所示,等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢( ) 第10题图 A.(24-12) m B.(24-8) m C.(24-6) m D.(24-4) m 11.如图所示,DE是线段AB的垂直平分线,AE∥BC,∠AEB=120°,AB=8,则点A到BC的距离是( ) 第11题图 A.4 B.4 C.5 D.6 12.如图所示,点E是BC的中点,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,下列结论:①∠AED=90°;②∠ADE=∠CDE;③DE=BE;④AD=AB+CD.四个结论中成立的是( ) 第12题图 A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③ 二、填空题(每小题4分,共16分) 13.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为 .  第13题图 14.如图所示,直线a,b交于点O,∠α=40°,点A是直线a上的一个定点,点B在直线b上运动,若以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,则∠OAB= .  第14题图 15.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD∥BC,若∠BAD=110°,则∠BCA的大小为 .  第15题图 16.如图所示,边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A,B分别在两条射线OM,ON上滑动,若OM⊥ON,则OC的最大值是 .  第16题图 三、解答题(本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分10分)(2024重庆) 如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,求AD的长度. 18.(本题满分10分) 如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是底边BC上的高,请你利用反证法证明:∠DAB是一个锐角. 19.(本题满分10分) 如图所示,树AB垂直于地面,为测树高,小明在C处,测得∠ACB=15°,他沿CB方向走到D处,线段CD=20 m,测得∠ADB=30°,求树AB的 高度. 20.(本题满分10分) 如图所示,在△ABC中,∠B=40°,∠C=76°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E. (1)求∠EDA的度数; (2)若AB=20,AC=16,DE=6,求S△ABC. 21.(本题满分10分) 如图所示,△ABC为等边三角形,DE∥AC,点O为线段BC上一点,DO的延长线与AC的延长线交于点F,DO=FO. (1)求证:△BDE是等边三角形; (2)若AC=7,FC=3,求OC的长. 22.(本题满分12分) 在△ABC中,AC<AB<BC. (1)在图(1)中用尺规作图:①作边BA的垂直平分线交BC于点P(要求:保留作图痕迹,不写作法); ②连接AP,求证:∠APC=2∠B; (2)如图(2)所示,以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数. 23.(本题满分12分) 如图所示,笔直的河流一侧有一旅游地点G,河边有两个漂流点A,B,且点A到点B的距离等于点A到点G的距离.近阶段由于点G到点A的路线处于维修状态,为方便游客决定在河边新建一个漂流点C(点A,B,C在同一条直线上),并新建一条路GC,测得BG=5 km,GC=4 km,BC=3 km. (1)判断△BCG的形状,并说明理由; (2)求原路线GA的长. 24.(本题满分12分) 如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接AD. (1)若∠BAD=45°,求证:△ACD为等腰三角形; (2)若△ACD为直角三角形,求∠BAD的度数. 25.(本题满分12分) 综合与实践 (1)问题情境:如图(1)所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,且 AE=EC,AD与CE交于点F.图中与△ABD全等的三角形是 ,与△AEF全等的三角形是 ;  (2)问题探究:如图(2)所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分 ∠ABC,DE⊥BC,垂足为E.探究线段BC,AB,AD之间的关系,并证明; (3)问题解决:如图(3)所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,CE平分 ∠ACB,BD⊥CE交CE的延长线于点D,则线段CE与BD之间的数量关系为 .  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明　　 　(时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题(以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分) 1.如图所示,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=3,则CD等于(D) A.10 B.5 C.4 D.3 第1题图 2.下列命题的逆命题是假命题的是(A) A.全等三角形的对应角相等 B.两直线平行,同位角相等 C.等边三角形的三个角相等 D.在直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平方和 3.用反证法证明“若ab=0,则a,b中至少有一个为0”时,第一步应假设(B) A.a=0,b=0 B.a≠0,b≠0 C.a≠0,b=0 D.a=0,b≠0 4.如图所示,已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定 Rt△ABD 和Rt△CDB全等,则需要添加的条件是(A) 第4题图 A.AD=CB B.∠A=∠C C.BD=DB D.AB=CD 5.某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为(D) 第5题图 A.48° B.40° C.30° D.24° 6.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若AC=6,BC=8,则CD等于(D) 第6题图 A.1 B.2 C.3 D.4.8 7.已知△ABC(AC<AB),用尺规在AB上确定一点P,使PB+PC=AB,则下列符合要求的作图痕迹是(C) A B C D 8.“三等分角”大约是在公元前4世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定, OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是(D) A.60° B.65° C.75° D.80° 9.如图所示,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=6,连接BD,BD⊥CD, ∠ADB=∠C.若P是边BC上一动点,则DP长的最小值为(B) A.4 B.6 C.3 D.12 第9题图 10.如图所示,等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢(D) 第10题图 A.(24-12) m B.(24-8) m C.(24-6) m D.(24-4) m 11.如图所示,DE是线段AB的垂直平分线,AE∥BC,∠AEB=120°,AB=8,则点A到BC的距离是(A) 第11题图 A.4 B.4 C.5 D.6 12.如图所示,点E是BC的中点,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,下列结论:①∠AED=90°;②∠ADE=∠CDE;③DE=BE;④AD=AB+CD.四个结论中成立的是(A) 第12题图 A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③ 二、填空题(每小题4分,共16分) 13.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为　9　.  第13题图 14.如图所示,直线a,b交于点O,∠α=40°,点A是直线a上的一个定点,点B在直线b上运动,若以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,则∠OAB=　40°或20°或70°或100°　.  第14题图 15.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD∥BC,若∠BAD=110°,则∠BCA的大小为　70°　.  第15题图 16.如图所示,边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A,B分别在两条射线OM,ON上滑动,若OM⊥ON,则OC的最大值是　1+　.  第16题图 三、解答题(本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分10分)(2024重庆) 如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,求AD的长度. 解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C. ∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∠A=36°, ∴∠ABC=∠C=72°. ∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=36°. ∴∠BDC=180°-∠C-∠CBD=180°-72°-36°=72°. ∴∠BDC=∠C.∴BD=BC=2. ∵∠A=36°,∠ABD=36°,∴∠A=∠ABD. ∴AD=BD=2. 18.(本题满分10分) 如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是底边BC上的高,请你利用反证法证明:∠DAB是一个锐角. 证明:假设∠DAB是钝角或直角, ∵AB=AC,AD是底边BC上的高,∴∠BAC=2∠DAB. ∵∠DAB是钝角或直角, ∴2∠DAB≥180°,不符合三角形内角和定理. ∴假设不成立.∴∠DAB是一个锐角. 19.(本题满分10分) 如图所示,树AB垂直于地面,为测树高,小明在C处,测得∠ACB=15°,他沿CB方向走到D处,线段CD=20 m,测得∠ADB=30°,求树AB的 高度. 解:∵∠ADB=30°,∠ACB=15°, ∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°-15°=15°. ∴∠ACB=∠CAD.∴AD=CD=20 m. 又∵∠ABD=90°,∠ADB=30°,∴AB=AD=10 m. ∴树AB的高度为10 m. 20.(本题满分10分) 如图所示,在△ABC中,∠B=40°,∠C=76°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E. (1)求∠EDA的度数; (2)若AB=20,AC=16,DE=6,求S△ABC. 解:(1)∵∠B=40°,∠C=76°, ∴∠BAC=180°-40°-76°=64°. ∵AD是△ABC的角平分线,∴∠DAE=∠BAC=32°. ∵DE⊥AB,∴∠EDA=90°-∠DAE=58°. (2)如图所示,过点D作DF⊥AC于点F. ∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AC,DE⊥AB, ∴DF=DE=6. ∴S△ABC=S△ACD+S△ABD=×16×6+×20×6=108. 21.(本题满分10分) 如图所示,△ABC为等边三角形,DE∥AC,点O为线段BC上一点,DO的延长线与AC的延长线交于点F,DO=FO. (1)求证:△BDE是等边三角形; (2)若AC=7,FC=3,求OC的长. (1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠ACB. ∵DE∥AC,∴∠A=∠BDE,∠ACB=∠DEB. ∴∠B=∠BDE=∠DEB.∴△BDE是等边三角形. (2)解:∵DE∥AC,∴∠EDO=∠CFO. 在△DOE和△FOC中, ∵∠EDO=∠CFO,DO=FO,∠DOE=∠FOC, ∴△DOE≌△FOC(ASA).∴DE=CF,EO=CO. ∵△ABC,△BDE均是等边三角形, ∴BC=AC=7,BE=DE=CF=3. ∴EC=BC-BE=7-3=4. ∴OC=EC=2. 22.(本题满分12分) 在△ABC中,AC<AB<BC. (1)在图(1)中用尺规作图:①作边BA的垂直平分线交BC于点P(要求:保留作图痕迹,不写作法); ②连接AP,求证:∠APC=2∠B; (2)如图(2)所示,以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数. (1)①解:如图所示. ②证明:如图所示,∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P, ∴PA=PB.∴∠B=∠BAP. ∵∠APC=∠B+∠BAP,∴∠APC=2∠B. (2)解:根据题意可知BA=BQ,∴∠BAQ=∠BQA. ∵∠AQC=3∠B,∠AQC=∠B+∠BAQ,∴∠BAQ=2∠B. ∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°,∴5∠B=180°. ∴∠B=36°. 23.(本题满分12分) 如图所示,笔直的河流一侧有一旅游地点G,河边有两个漂流点A,B,且点A到点B的距离等于点A到点G的距离.近阶段由于点G到点A的路线处于维修状态,为方便游客决定在河边新建一个漂流点C(点A,B,C在同一条直线上),并新建一条路GC,测得BG=5 km,GC=4 km,BC=3 km. (1)判断△BCG的形状,并说明理由; (2)求原路线GA的长. 解:(1)△BCG是直角三角形.理由如下: ∵BG=5 km,GC=4 km,BC=3 km,∴42+32=52. ∴GC2+BC2=BG2.∴△BCG是直角三角形. (2)∵点A到点B的距离等于点A到点G的距离, ∴AG=AB. 由(1)知△ACG是直角三角形. 设AG=AB=x km,则AC=(x-3)km. 在Rt△ACG中,AC=(x-3)km,GA=x km,GC=4 km, ∴(x-3)2+42=x2,解得x=, ∴原路线GA的长为 km. 24.(本题满分12分) 如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接AD. (1)若∠BAD=45°,求证:△ACD为等腰三角形; (2)若△ACD为直角三角形,求∠BAD的度数. (1)证明:∵AB=AC,∠B=30°,∴∠B=∠C=30°. ∴∠BAC=180°-30°-30°=120°. ∵∠BAD=45°, ∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-45°=75°,∠ADC=∠B+∠BAD=75°. ∴∠ADC=∠CAD. ∴AC=CD.∴△ACD为等腰三角形. (2)解:有两种情况: ①当∠ADC=90°时,∠BAD=∠ADC-∠B=90°-30°=60°; ②当∠CAD=90°时,∠BAD=∠BAC-∠CAD=120°-90°=30°. 综上所述,∠BAD的度数是60°或30°. 25.(本题满分12分) 综合与实践 (1)问题情境:如图(1)所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,且 AE=EC,AD与CE交于点F.图中与△ABD全等的三角形是　　　　,与△AEF全等的三角形是　　　　　;  (2)问题探究:如图(2)所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分 ∠ABC,DE⊥BC,垂足为E.探究线段BC,AB,AD之间的关系,并证明; (3)问题解决:如图(3)所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,CE平分 ∠ACB,BD⊥CE交CE的延长线于点D,则线段CE与BD之间的数量关系为　 .  解:(1)△ACD　△CEB (2)线段BC,AB,AD之间的关系为BC=AB+AD.证明如下: ∵BD平分∠ABC,∠A=90°,DE⊥BC, ∴AD=ED. 又∵BD=BD,∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL). ∴AB=BE. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C. ∵∠A=90°,∴∠C=×90°=45°. ∴∠CDE=90°-45°=45°. ∴DE=EC.∴AD=EC.∴BC=BE+EC=AB+AD. (3)CE=2BD 学科网（北京）股份有限公司 $$