2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆的证明与计算

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练 圆的证明与计算 1．如图，中，，以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 2．如图，为的直径，为的弦，点D为的延长线上一点，连接，过点O作交的延长线于点E，交于点P，． (1)求证：是的切线； (2)过点C作交于点H，作交于点F，若，，求的长． 3．如图，点，，在上，于点，交于点，连接，于点，与相文于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 4．如图，在以为直径的半中，为半圆上两点（点在之间），交的延长线于点，连接．已知是半的切线． (1)求证：； (2)若，求直径的长． 5．如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 6．如图，在正方形中，是上一点，是上一点，，过，，的交于点． (1)求证； (2)连接，当时，判断直线与的位置关系，并直接写出的值． 7．如图，是的内接三角形，是的直径，是的切线，的平分线交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 8．如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接． (1)求的度数； (2)当是圆的直径， ①求证：四边形是平行四边形； ②若是的中点，，求的长． 9．如图，是的直径，弦相交于点，，点F在的延长线上，，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求直径的长． 10．如图，在中，，点是上一点，以为圆心，为半径的圆分别交于点，平分． (1)证明：直线是的切线； (2)若，求的半径． 11．如图，在中，，以为直径的与相切于点，交于点，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 12．如图，点在以为直径的上，，点在上由点开始向点运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点． (1)求证：； (2)如果，求证：为的切线． 13．在中，D为上一点，以为直径的与相切于点E，与相交于点F，连结，，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，过点D作交于点G，若，且，求的半径． 14．如图，为的直径，与相交于点C，过点C的切线于点D． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 15．如图，是的直径，为上一点（不与点重合）连接，过点作，垂足为点．将沿翻折，点落在点处得，交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆的证明与计算》参考答案 1．(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，然后根据等边对等角得到，即可得到，证明结论即可； （2）过点作于点，则四边形为矩形，然后在中根据勾股定理求出长即可解题． 【详解】（1）证明：如图，连接． 为的切线，为半径， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作于点． ． ， 四边形为矩形． ． ， 在中，． ， ． 2．(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，圆周角定理、切线的性质与判定、平行线的性质与判定，矩形的判定与性质、相似三角形的性质与判定，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． （1）连接，通过，得．由，得．进而证明，证明即可得结论． （2）先根据，证明四边形是矩形，再利用勾股定理求出的长度，进而根据相似三角形的性质和判定求出的长． 【详解】（1）证明：连接， ， ． ， ， ． 又， ． ∵， ． ， 即，． 又是的半径， 是的切线． （2）解：，， 四边形是平行四边形． 又，即， 是矩形， 在中，，， 根据勾股定理得， ， 四边形是矩形， ，． 设，则． ， ， ， ， ，即， ，即． 3．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由余角的性质推出，由对顶角的性质得到，因此，由圆周角定理得到，推出，即可证明； （2）连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，设圆的半径是，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的半径长． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， ∵直径， ， ， ， 设圆的半径是， ， ， ， ， ∴的半径长是． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定以及圆周角定理等．关键是由勾股定理，垂径定理列出关于的方程． 4．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质； （1）由切线可得，得到，根据垂径定理得到； （2）由得到，得到，再在中，，则，根据列方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 是半的切线， ， 又， ， 是直径， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ∴在中，，则， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， 即的直径的长为4． 5．(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）要证是的切线，只要连接，再证即可． （2）作于点，证明，由勾股定理得到的长，进而求解即可； 【详解】（1）解：连接，则， ， 是的平分线， ， ， ， ， 是的半径，且于点， 是的切线． （2）作于点，则， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，且， ， 解得， 的长为． 6．(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过圆周角定理可知，利用特殊的平行四边形——正方形的性质可得，证明即可求证； （2）连接，．结合题意即可得，结合平行四边形的性质——对角线互相平分可得，利用平行的判定和性质即可得，即与相切；连接，过点作，垂足为，先证得，利用角平分线的性质得，即可证得，设，正方形的边长为1，则，，，即可通过勾股定理得 ，解得，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， 四边形是正方形， ，，且， ， ． 在和中， ， ， ， ． （2）解：如图，连接，，，过点作，垂足为． 在和中， ， ，， 由（1）得， ， ， ， ， ， 与相切． ， ， ， 由（1）得，， ， ，， ，， 在和中， ， ． 设，， ，，， 在中，， ，解得， 由（1）得， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、切线的判定、两直线平行的判定和性质、角平分线的性质以及勾股定理，熟练掌握各种性质、定理，作好辅助线是解题关键． 7．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键. （1）根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，由互余关系得，根据圆周角定理，即可得出结论； （2）连接，根据圆周角定理及等腰直角三角形的性质、勾股定理计算即可； 【详解】（1）证明：是的直径， ． ． 是的切线， ． ． ． ． 又， ． ． （2）解：连接． 平分， ． ． ， ． ． 8．(1) (2)①见解析；（2） 【分析】（1）连接，证明是直径，从而可证，求出，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解； （2）①连接，求出可证，再证明可得，从而可证四边形是平行四边形； ②延长相较于点H，先求出，，再求出，证明得，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴是直径． ∵是圆的切线， ∴． ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）①证明：连接， ∵，是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②解：延长相较于点H， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，切线的性质，平平行四边形的判定，等角对等边，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 9．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据，得出，根据，得出．结合三角形的内角和定理推出，即可推出是的切线． （2）由可得，根据勾股定理的得出．设，则，．根据勾股定理得出，列出方程，求出x的值，即可解答． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ， ， 是的直径， 是的切线； （2）解：， ， 是的直径， ， ， ， ， 设，则，． 在中，， ， 解得， ， ． 10．(1)详见解析 (2)的半径长为2 【分析】（1）连接，则，所以，而，则，所以，则，即可证明直线是的切线； （2）连接，由，得，则，求得，则，可证明是等边三角形则，可证明，则，即可求得的半径长． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ， 平分， ， ， ， ， 是的半径，且， 直线是的切线； （2）解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 的半径长为2． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键， 11．(1)见解析 (2)BF2 【分析】（1）由等腰三角形的性质可证，可证，可得结论； （2）由切线的性质可证四边形是正方形，可得，设半径为，由，可得，利用勾股定理求出，再在直角三角形中由勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，， 是的切线， ， ， ， 与相切于点， ， 四边形是长方形， ， 四边形是正方形， ， 设的半径为，则， ， 在中，，， ， 在中，，， ． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 12．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了切线的判定、轴对称的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质，灵活运用相关的性质定理是解题的关键． （1）根据轴对称的性质得到，根据直角三角形两锐角互余得到，得到，证明结论； （2）连接，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质证明，根据切线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：点与点关于对称， ， ， 又， ， ， ； （2）证明：连接， ∵是的直径， ， ∵， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 点与点关于对称， ， ， ∵， ∴， ， 为的切线． 13．(1)， (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，直径所对的圆周角是直角，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题． （1）连接，，与交于点H，由直径得到，根据“两直线平行，同位角相等”然后即可求解的度数，由切线的性质得到为直角三角形，求得，最后根据“同弧所对的圆周角为圆心角的一半”，即可求解； （2）连接，，先证为的中位线，得到，在通过得到，然后根据得到，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图： ， ∵以为直径的与相切于点E， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，，如图： ， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵，由（1）得， ∴， ∵为半径， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，负值舍去 ∴， 在中， 可得， ∴的半径． 14．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接，由切线的性质，等腰三角形的性质证出，则可得出结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，由（1）知，，求得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图： ∵为的直径， ∴． 由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∴， ∴， 解得(舍)，， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，证明是解题的关键． 15．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由折叠可得，，根据题意可得，则，即，根据切线的定义即可求证； （2）连接，过点作于点，根据圆周角定理得到，，由含角的直角三角形的性质得到，，则，同理得到，，，则，，根据代入求值即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：连接，过点作于点，    ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查切线的证明，垂径定理，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，不规则图形面积的计算，扇形面积的计算方法，掌握切线的证明方法，垂径定理，圆周角定理，扇形面积的计算方法是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$