专题02 勾股定理（9大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（人教版，湖北专用）

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专题02 勾股定理 题型概览 题型01用勾股定理解三角形 题型02两点间距离公式 题型03勾股数（树） 题型04网格问题 题型05折叠问题 题型06弦图问题 题型07勾股定理与实际问题 题型08最短路径问题 题型09勾股定理与无理数 ( 题型01 ) 用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．若，，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知中，，点在底边上，，，．若，则的长为 ． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形中，，，，若四边形的面积为，则对角线的长为 ． 4．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）一个直角三角形的三边为6，8，a，则 5．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点是第一象限内一点，其中，且满足． (1)直接写出点P的坐标； (2)求点A的坐标： (3)如图2，在（2）的条件下，在y轴负半轴有一点，连接，过点P作的垂线交x轴于点D，请连接，求四边形的面积． 1.（23-24八年级下·湖北武汉·期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点．我们把叫做两点间的距离，记作．如，则． 请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)①若，直接写山的值； ②当的距离时，求出的值； (2)①若在平面内有一点，使式子有最小值，直接写出这个最小值； ②直接写出的最小值． 1．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）《九章算术》提供了许多组勾股数，如，，等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”；后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”；根据以上规律，“由10生成的勾股数”的“弦数”为（   ） A．26 B．101 C．13 D．24 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）下列各组数为勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）下列几组数：①9，12，15；②8，15，17；③7，24，25；④，，（n是大于1的整数），其中是勾股数的有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 4．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是（    ） A．15 B．9 C．10 D．21 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2025 B．2024 C． D． ( 题型04 ) 网格问题 1.（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图，网格中每个小正方形的面积为单位1，则图形C的面积是（    ） A．6 B． C． D．13 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）由小正方形组成的3×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点均是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)请在图①中完成画图：先在上画点D，连，使于点D，再画的高； (2)请在图②中完成画图：先在上画点F，连，使刚好平分的面积，再在上画点G，连，使． 4．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示． (1)如图中，点是线段上一点，先画出的高；再在上画出一点，使． (2)如图中，先在边上画出一点，使；再在内画出一点，使． 5．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画格点，使得，画出线段，再在线段上画点，使得； (2)在图2中，点是边与网格线的交点，先画点关于的对称点，再在上画点，使． 6．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．点，为格点，如图．    (1)先将线段向右平移4个单位长度得线段，点与点对应，点与点对应；再向下平移3个单位长度得线段，点与点对应，点与点对应． (2)先画线段，，再画线段，及它们的交点． (3)直接写出线段平移过程中扫过的面积和四边形的面积． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在一个的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1．    (1)如图1， ①直接写出线段_____________，线段_____________． ②求四边形的面积． (2)在图2中，画一个三边长分别为，，的三角形，并直接写出这个三角形的面积是__________． ( 题型0 5 ) 折叠问题 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，中，，D，E分别在上，将沿折叠，使点C落在边上的点F处，且，折痕为． (1)求的度数； (2)若，求AE的长． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，．    (1)如图（1），把沿直线折叠，使点A与点B重合，求的长； (2)如图（2），把沿直线折叠，使点C落在边上G点处，请直接写出的长． ( 题型0 6 ) 弦图问题 1．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图中弦，股，则小正方形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129，则小正方形的边长为 ． ( 题型0 7 ) 勾股定理与实际问题 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根长为8米的竖直木杆在离地面3米的处折断，则木杆顶点落在地面离木杆底端处的距离的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知一轮船以18海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另有一轮船以12海里/时的速度也从港口A出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多少海里？（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地高度米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开；一个身高米的学生正对门，走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，此时，学生头顶离感应器的距离为 米． 6．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是 尺． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）刷牙是我们每天都要做的事，坚持早、晚刷牙有利于健康．如图，是一把长为的牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为米，为米．    (1)梯子的长为______米； (2)如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底端也外移米吗？请说明理由． 9．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）为了测量学校旗杆的高度，某数学兴趣小组发现系在旗杆顶端A的绳子垂到了地面B并多出了一段的长度为1米，把绳子拉直向左走5米后，绳子底端C正好落在地面D处，请通过以上信息求出旗杆的高度． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ (3)小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由． 11．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，小明为了测得学校旗杆的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面点，此时，点到杆底点距离，他又将旗绳拉直到杆底部点，此时，绳子多出一截，量得多出部分长度为，请你帮他计算出旗杆的高度． 12．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ ( 题型0 8 ) 最短路径问题 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 3．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是 米. 4．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）如图，圆柱形容器杯高，底面周长，在杯外离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯内离杯上沿与蜂蜜相对的处，则蚂蚁从处爬到处的蜂蜜最短距离为 ． ( 题型0 9 ) 勾股定理与无理数 1．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，直角三角形的直角边的长为1，线段绕点O旋转，使点B落在数轴上并记为点A，则数轴上点A表示的实数是（　　）   A．1 B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，，于点C， 连接， 以点O为圆心，长为半径画弧与数轴交于点A，若点A表示的数为x，则x的值为（      ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点B对应的数为1，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，已知中，，，直角的直角顶点P是中点，两边、分别交、于点E，F，给出以下四个结论： ①；②若，则面积最小是2；③；④． 上述结论中正确的有（   ） A．①④ B．①② C．①②③ D．①②③④ 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知中，，，，，于点D，的平分线交于点E，则的面积为（   ） A． B．3 C． D． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为D，交于点E，平分，那么下列关系式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，分别是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．6 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，矩形中，，，点、分别是边、上的动点，在运动过程中始终保持，连接，取中点，连接，则的最小值是 ． 6．（23-24七年级下·湖北宜昌·期中）如图，数轴上点A对应的数为2，于A，且，以O为圆心，以为半径画圆，交数轴于点C，则长为 ． 7．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图1，在中，，，是过点的直线，过点作直线于点，连接． (1)求的度数； (2)如图1，可得线段，，的数量关系为 ；将直线绕点顺时针旋转到图2的位置，线段，，的数量关系是否发生变化，请说明理由． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）在中，、为的角平分线，、交于点F． (1)如图1，若， ① 求的度数； ② 求证：； (2)若图2，若，且，请直接写出的比值． 9．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）【问题情景】综合与实践课上，陈老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】陈老师让同学们先画出两个等腰直角和，，将绕点O旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接，，则与有何数量关系？与有何数量关系？请你探究后直接写出结论； （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们认为，当点N恰好在边上时，若，，就可以求出的长，请你写出求解过程； 【类比探究】 （3）“智慧组”的同学们认为，当点A，M，N在同一条直线上时，，，之间一定存在某种数量关系，若，，请你探究后直接写出的长． 10．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，，其中、满足． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若点为线段上一动点． ①如图②，以为边向右作等腰，且，若，求点的坐标； ②如图③，过点作于，交OA于，且，试问代数式的值是否为定值？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理 题型概览 题型01用勾股定理解三角形 题型02两点间距离公式 题型03勾股数（树） 题型04网格问题 题型05折叠问题 题型06弦图问题 题型07勾股定理与实际问题 题型08最短路径问题 题型09勾股定理与无理数 ( 题型01 ) 用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．若，，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，理解并掌握勾股定理的计算是解题的关键． 根据材料提示可得，由，即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，， ∴， ∴， 故选：A ． 2．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知中，，点在底边上，，，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质．构造辅助线证是等腰三角形是解题的关键．过点D作于F，过点D作于G，得到， ，，，证，再求出，即可求得． 【详解】解：如图，过点D作于F，过点D作于G， ，，，， ，， 在中，，， ， 在中，， ， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ，， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形中，，，，若四边形的面积为，则对角线的长为 ． 【答案】2 【分析】延长至点，使得，连接，可证明，则，，，可证明是等边三角形，可得，设，过点作于，则，在中，由勾股定理得，由建立方程即可求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴设， ∵， ∴， 过点作于，则， 在中，由勾股定理得， 由得， 解得：（舍负） 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握“对角互补”构造全等三角形是解题的关键． 4．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）一个直角三角形的三边为6，8，a，则 【答案】10或/或10 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是根据两种情况展开讨论． 分别根据8是直角边和8是斜边两种情况进行计算，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：设第三边为a， 若8是直角边，则第三边a是斜边， 由勾股定理得：， 解得； 若8是斜边，则第三边a为直角边， 由勾股定理得：， 解得； ∴第三边的长为10或． 故答案为：10或． 5．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点是第一象限内一点，其中，且满足． (1)直接写出点P的坐标； (2)求点A的坐标： (3)如图2，在（2）的条件下，在y轴负半轴有一点，连接，过点P作的垂线交x轴于点D，请连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积为36 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，然后得出答案即可； （2）过点P作轴于点C，轴于点D，证明，得出，根据，得出，求出，即可得出答案； （3）证明四边形为矩形，得出，证明，得出，根据勾股定理得出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴； （2）解：过点P作轴于点E，轴于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，非负数的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． ( 题型02 ) 两点间距离公式 1.（23-24八年级下·湖北武汉·期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点．我们把叫做两点间的距离，记作．如，则． 请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)①若，直接写山的值； ②当的距离时，求出的值； (2)①若在平面内有一点，使式子有最小值，直接写出这个最小值； ②直接写出的最小值． 【答案】(1)①；②或 (2)①；② 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解材料中两点之间的距离公式是解决问题的关键． （1）①由材料中两点之间的距离公式直接带点求值即可得到答案；②由材料中两点之间的距离公式直接带点列方程求解即可得到答案； （2）①由材料中两点之间的距离公式，理解表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和，再由两点之间线段最短即可得到答案；②由材料中两点之间的距离公式，理解表示定点到轴上的动点的距离、到距离、定点到轴上的动点的距离之和，作关于轴的对称点，作关于轴的对称点，如图所示，再由两点之间线段最短运用距离公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①， 由材料中两点之间的距离公式可知； ②，， ，即， ，解得，即或； （2）解：①由材料中两点之间的距离公式可知表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和， 在平面直角坐标系中作出图，如图所示： 根据两点之间线段最短，要使式子有最小值，三点共线，且在两个定点之间，则这个最小值为； ②由材料中两点之间的距离公式可知可表示定点到轴上的动点的距离、到距离、定点到轴上的动点的距离之和， 在平面直角坐标系中作出图，如图所示： 作关于轴的对称点，作关于轴的对称点，如图所示， 根据两点之间线段最短，要使式子取最小值，、、、四点共线，则这个最小值为点与的距离，由两点之间距离公式代值可得． ( 题型03 ) 勾股数（树） 1．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）《九章算术》提供了许多组勾股数，如，，等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”；后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”；根据以上规律，“由10生成的勾股数”的“弦数”为（   ） A．26 B．101 C．13 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股数以及数字变化规律．根据题意，按照题目所给的方法进行计算求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴由10生成的勾股数的“弦数”是26， 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）下列各组数为勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是勾股数的定义，解题关键是熟练掌握勾股数的识别方法． 勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，即满足．根据此定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解 ：选项，，该组数不是勾股数，不符合题意，选项错误； 选项，，且不是整数，该组数不是勾股数，不符合题意，选项错误； 选项，，该组数不是勾股数，不符合题意，选项错误； 选项，，该组数是勾股数，符合题意，选项正确． 故选：． 3．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）下列几组数：①9，12，15；②8，15，17；③7，24，25；④，，（n是大于1的整数），其中是勾股数的有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】D 【分析】根据两个数的平方和等于第三个数的平方，依次计算即可， 本题主要考查的是勾股定理的问题，解题的关键是正确理解勾股数即两个数的平方和等于第三个数的平方． 【详解】解：①， ∴ 9，12，15是勾股数， ②， ∴8，15，17是勾股数 ③， ∴ 7，24，25是勾股数， ④， ∴ 是勾股数 综上所述，①②③④都是勾股数，共4组， 故选：． 4．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是（    ） A．15 B．9 C．10 D．21 【答案】B 【分析】根据勾股定理的几何意义：，，解得即可．本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：∵正方形A、C、D的面积依次为5、6、20， ∴ ∴ 故选：B． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2025 B．2024 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：A． ( 题型04 ) 网格问题 1.（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图，网格中每个小正方形的面积为单位1，则图形C的面积是（    ） A．6 B． C． D．13 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知： 以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， 所以图形C的面积． 故选：D． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、割补法以及三角形面积公式等知识，解题的关键是由勾股定理求出的长，再由割补法求出的面积，然后由三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ， 又， ， ， 故选：A． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）由小正方形组成的3×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点均是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)请在图①中完成画图：先在上画点D，连，使于点D，再画的高； (2)请在图②中完成画图：先在上画点F，连，使刚好平分的面积，再在上画点G，连，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）如图，取格点，，连接交于，交于，连接并延长交于，则即为所求； （2）如图，取格点，连接交于，连接，取格点，连接，连接并延长交于，连接，则即为所求； 【详解】（1）解：如图，取格点，，连接交于，交于，连接并延长交于，则即为所求； 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （2）解：如图，取格点，连接交于，连接，取格点，连接，连接并延长交于，连接，则即为所求； 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平分的面积； ∵， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是作三角形的高，三角形的中线及其性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练的作图是解本题的关键. 4．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示． (1)如图中，点是线段上一点，先画出的高；再在上画出一点，使． (2)如图中，先在边上画出一点，使；再在内画出一点，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接，即为的高，连接交于点，作射线交于点，点即为所求； （2）取点、、、、，连接，，交于，交于点，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，，点即为所求； 理由如下：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是的高， ∵，，， ∴（）， ∴， ∵，， ∴（）， ∴； （2）解：如图，点，点即为所求． 理由如下：连接、， 同（）可证，由（）得，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴． 【点睛】本题考查无刻度直尺格点作图．涉及等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 5．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画格点，使得，画出线段，再在线段上画点，使得； (2)在图2中，点是边与网格线的交点，先画点关于的对称点，再在上画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移的性质可作出线段；由于，作出两条直角边分别为3和4的即可； （2）取格点，由，知是线段的垂直平分线，即点与点关于对称；点是边与网格线的交点，连接交于点，点即为所作的点． 【详解】（1）解：如图，线段，点即为所求； （2）解：如图，点，点即为所求； 【点睛】本题考查了格点作图，平移的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识点．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．点，为格点，如图．    (1)先将线段向右平移4个单位长度得线段，点与点对应，点与点对应；再向下平移3个单位长度得线段，点与点对应，点与点对应． (2)先画线段，，再画线段，及它们的交点． (3)直接写出线段平移过程中扫过的面积和四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)扫过的面积为，面积为 【分析】本题考查作图−平移变换、勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点， （1）根据平移的性质作图即可； （2）由线段的定义画图即可； （3）由题意知，线段平移过程中扫过的面积为，进而可得答案；由平移的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理可得四边形是正方形，根据正方形的面积公式计算即可； 熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，线段，即为所求．    （2）解：如图，线段，，，及点O即为所求．    （3）线段平移过程中扫过的面积为． 由平移得，且， ∴四边形是平行四边形． 由勾股定理得，， ， ， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在一个的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1．    (1)如图1， ①直接写出线段_____________，线段_____________． ②求四边形的面积． (2)在图2中，画一个三边长分别为，，的三角形，并直接写出这个三角形的面积是__________． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积，充分利用网格是解题的关键． （1）①利用勾股定理求得、的长度即可；②由分割法求得四边形的面积； （2）利用网格画出三角形，利用分割法求得该三角形的面积． 【详解】（1）解：①，． ②四边形的面积； （2）解：如图，是所求的三角形：    ( 题型0 5 ) 折叠问题 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，中，，D，E分别在上，将沿折叠，使点C落在边上的点F处，且，折痕为． (1)求的度数； (2)若，求AE的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，可得，即得，而，故； （2）根据，，得，设，则，在中，可列方程，即可解得． 【详解】（1）解： ， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ，即， ， ， ， ； （2），， ， 设，则， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， 在中，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，．    (1)如图（1），把沿直线折叠，使点A与点B重合，求的长； (2)如图（2），把沿直线折叠，使点C落在边上G点处，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设x，则，在中用勾股定理求解即可； （2）设x，则，先根据勾股定理求出，再在中，用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵直线是对称轴， ∴， ∵，设，则 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴ （2）解：∵直线是对称轴， ∴，， ∵，设，则， ∴在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键． ( 题型0 6 ) 弦图问题 1．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图中弦，股，则小正方形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系．首先根据勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵弦，股， ∴， ∴小正方形的面积为． 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积即可解答． 【详解】解：∵三角形较长直角边长为，较短直角边长为， ∴四个三角形的面积为， ∵，大正方形的面积为， ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了正方形的面积，直角三角形的面积，勾股定理，掌握小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129，则小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查与弦图为背景的问题，数形结合，表示出小正方形的边长为，再由完全平方差及勾股定理代值求解即可得到答案，熟练掌握弦图中各个线段之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，大正方形的面积为129，设大正方形边长为，则在“赵爽弦图”的直角三角形中，， 小正方形的边长为，则， ， ， 又小正方形的边长为，则小正方形的边长为， 故答案为：． ( 题型0 7 ) 勾股定理与实际问题 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、列一元一次方程，熟练掌握勾股定理是解题关键．利用勾股定理列出方程即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，尺，尺，尺，， 则在中，，即， 故选：D．    2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根长为8米的竖直木杆在离地面3米的处折断，则木杆顶点落在地面离木杆底端处的距离的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形，正确理解题意进行计算是解题关键． 【详解】解：由题意可知，米，米， 则米， 在中，米， 故选：C． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】D 【分析】本题考查正确运用勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长尺． 故选：D． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知一轮船以18海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另有一轮船以12海里/时的速度也从港口A出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多少海里？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角，熟练运用勾股定理进行计算是解题的关键． 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了36，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：如图， 两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ， 两小时后， (海里)，(海里)， 根据勾股定理得：(海里)． 故选：A． 5．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地高度米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开；一个身高米的学生正对门，走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，此时，学生头顶离感应器的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，过点作，构造直角，根据题意得到两个直角边、的长度，再根据勾股定理得即可解答． 【详解】 如图，过点作，垂足为点， 由题意可知，米，米， 则米， 即学生头顶离感应器的距离为米． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是 尺． 【答案】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 解得：， 折断处离地面的高度为尺， 故答案为： 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）刷牙是我们每天都要做的事，坚持早、晚刷牙有利于健康．如图，是一把长为的牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度． 先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当牙刷与杯底垂直时最大，最大． 当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时最小， 如图所示： 此时，， 故． 故的取值范围是． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为米，为米．    (1)梯子的长为______米； (2)如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底端也外移米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)梯子的底端向外移米，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）直接在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）直接在中利用勾股定理求出移动后的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ∴由勾股定理得米， 故答案为：； （2）解：梯子的底端向外移米，理由如下： 由题意得，此时在中，， ∴由勾股定理得， ∴梯子的底端向外移米 9．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）为了测量学校旗杆的高度，某数学兴趣小组发现系在旗杆顶端A的绳子垂到了地面B并多出了一段的长度为1米，把绳子拉直向左走5米后，绳子底端C正好落在地面D处，请通过以上信息求出旗杆的高度． 【答案】12米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则（米），在中由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意知米， 设旗杆的高度为x米，则（米）， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米. 答；旗杆的高度为12米． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ (3)小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由． 【答案】(1)21.6米 (2)8米 (3)4.2米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长即可得出结果； （2）设他应该往回收线米，根据勾股定理得出方程求解即可； （3）设收线的长度为米，根据勾股定理得出方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， （米）， （米）； 风筝的垂直高度为21.6米． （2）解：设他应该往回收线米， 根据勾股定理得，， 解得， 答：他应该往回收线8米． （3）解：设收线的长度为米，如图， 则米，（米，米， 根据勾股定理得，， 解得， 答：收线的长度为4.2米． 11．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，小明为了测得学校旗杆的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面点，此时，点到杆底点距离，他又将旗绳拉直到杆底部点，此时，绳子多出一截，量得多出部分长度为，请你帮他计算出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米． 【分析】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，根据题意列出已知条件，再根据勾股定理求得旗杆的高度，从实际问题中整理出直角三角形模型是解题的关键． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则， 在中，由勾股定理可得： ， 整理得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米． 12．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)台风中心经过从B点移到D点 (2)A市受到台风影响的时间持续 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ∵， ∴台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得， 在中，， ∴， ∴， ∴A市受到台风影响的时间持续． ( 题型0 8 ) 最短路径问题 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，把圆柱的侧面展开，找出最短路径，利用勾股定理解答即可求解．把圆柱的侧面展开，找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，线段的长度即为蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离， 圆柱底面的周长为， ， ， ， 蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离为． 故选：B． 2．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是 米. 【答案】5 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故答案为：5． 4．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）如图，圆柱形容器杯高，底面周长，在杯外离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯内离杯上沿与蜂蜜相对的处，则蚂蚁从处爬到处的蜂蜜最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图，最短路径，勾股定理，将圆柱的侧面展开，利用轴对称的性质找出最短路径是解题的关键． 将圆柱的侧面展开，如图，作出点A关于的对称点，连接，根据两点之间线段最短可得为最短距离，根据勾股定理即可求解． 【详解】将圆柱的侧面展开，如图，作出点A关于的对称点，连接，根据两点之间线段最短可得为最短距离， 过点B作于点C， 根据题意得，在中，，， ， 即蚂蚁从处爬到处的蜂蜜最短距离为． 故答案为：． ( 题型0 9 ) 勾股定理与无理数 1．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，直角三角形的直角边的长为1，线段绕点O旋转，使点B落在数轴上并记为点A，则数轴上点A表示的实数是（　　）   A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与用数轴上的点表示无理数，解题的关键是利用勾股定理求得的长． 利用勾股定理及同圆半径相等即可得到答案． 【详解】∵点C的坐标为，点O在原点上， ∴，又 由勾股定理得：． ∴． 即数轴上点A表示的实数是， 故选：D． 2．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，，于点C， 连接， 以点O为圆心，长为半径画弧与数轴交于点A，若点A表示的数为x，则x的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、数轴的认识，利用勾股定理求得的长是解题的关键．先根据勾股定理求出正方形的对角线长，进而可求出A点表示的数． 【详解】解：∵， ∴． ， ∴， ， 点表示的数是． 故选B． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点B对应的数为1，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， 点B对应的数为1， 点D表示的数是， 故选：A． 1．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，已知中，，，直角的直角顶点P是中点，两边、分别交、于点E，F，给出以下四个结论： ①；②若，则面积最小是2；③；④． 上述结论中正确的有（   ） A．①④ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，，可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，根据角的和差关系可得，证明，根据全等三角形的性质可得，，可判定①正确；根据，可知当时，取得最小值，即的面积最小．根据勾股定理求出，再由的面积可求出的最小值为，进而即可得到的面积最小是2，可判定②正确；根据全等三角形的性质可知，可得，由可判定③正确；只有当点E为的中点时，，可判定④错误． 【详解】解：∵，， ∴， ∵P是的中点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵，， ∴， ∴当时，取得最小值，即的面积最小． ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴的面积最小是2，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 只有当点E为的中点时，， ∵， ∴在中，， ∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴只有当点E为的中点时，，故④错误； 综上所述：正确的结论有①②③． 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知中，，，，，于点D，的平分线交于点E，则的面积为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积．过E作于H，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到，求出，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到，求出，即可求出的面积． 【详解】解：过E作于H， ∵平分， ∵， ∴， ∵，于点D， ∴的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故选：A． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为D，交于点E，平分，那么下列关系式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】综合运用线段垂直平分线性质，角平分线性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，逐一判断，即得． 【详解】解：A、∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴选项正确； B、∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴选项正确； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴选项不正确； D、∵，， ∴， ∴选项正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了含30度的直角三角形．熟练掌握线段垂直平分线性质，角平分线性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，分别是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了最短路径问题，熟练掌握将军饮马定理及其变形，利用三角形面积公式求一边上的高，勾股定理等是解题的关键；作点B关于的对称点， 交于点H，连接，过点作于点D，根据“将军饮马定理”容易得出的最小值为的长，再根据勾股定理和三角形面积公式分别求出的长度，继而求出，即可求解． 【详解】 如图，作点B关于的对称点， 交于点H，连接，过点作于点D，则， ， 的最小值为的长， 在中，， ， 由勾股定理得， ， ， ， 在中， ， ， ， 的最小值为． 故选：A． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，矩形中，，，点、分别是边、上的动点，在运动过程中始终保持，连接，取中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了动点问题中线段最短问题，平面图形中建立平面直角坐标系，以及点与点之间的距离的公式进行求解，对于相关性质定理的熟练运用是解题的关键． 先建立平面直角坐标系，设长为，可得，，，从而得出，根据点与点之间的距离公式可得出得出，利用配方法可将式子变形为，从而根据，得出当时，取最小值，代入计算值即可． 【详解】根据题意，可以以为原点，为横轴，为纵轴建立平面直角坐标系， 设长为，故根据题意可得，，． ， 故线段的长为， 解答， 将二次根式的分子进行配方法，原式变形为， 由于，故时，取最小值． 故的最小值为． 6．（23-24七年级下·湖北宜昌·期中）如图，数轴上点A对应的数为2，于A，且，以O为圆心，以为半径画圆，交数轴于点C，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理等知识点的应用，关键是求出长．先在直角中，根据勾股定理求出，再根据同圆的半径相等即可求解． 【详解】解：在直角中，． ． ． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图1，在中，，，是过点的直线，过点作直线于点，连接． (1)求的度数； (2)如图1，可得线段，，的数量关系为 ；将直线绕点顺时针旋转到图2的位置，线段，，的数量关系是否发生变化，请说明理由． 【答案】(1)45度 (2)，发生变化，为，见解析 【分析】（1）在射线上截取，由多边形的内角和公式可得，进而可得，结合，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，即，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，于是得解； （2）由（1）可得，，，由勾股定理可得，进而可得，于是可得线段，，的数量关系；过点作交于点，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由可得，即，利用可证得，于是可得，，由勾股定理可得，进而可得，于是可得结论． 【详解】（1）解：如图，在射线上截取，   直线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得：，，， 由勾股定理可得：， ， 即：线段，，的数量关系为， 故答案为：； 将直线绕点顺时针旋转到图2的位置，线段，，的数量关系发生变化，关系是，理由如下： 如图，过点作交于点，   ， ， 直线于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得：， ， 即：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（和），勾股定理，多边形内角和问题，等边对等角，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）在中，、为的角平分线，、交于点F． (1)如图1，若， ① 求的度数； ② 求证：； (2)若图2，若，且，请直接写出的比值． 【答案】(1)①；②见详解 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质、三角形内角和、等积法及全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和、等积法及全等三角形的性质与判定、勾股定理是解题的关键； （1）①根据角平分线的定义可知，然后根据三角形内角和可进行求解；②在上截取，然后证明，进而问题可求证； （2）在上截取，同理可得，，，过点F作，过点D作于点T，然后根据角平分线的性质及等积法可进行求解． 【详解】（1）①解：∵、为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②证明：在上截取，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在上截取， 同理（1）可得，，， ∴， 过点F作，过点D作于点T， ∵平分， ∴，， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 同理可得， 设，则有， 由勾股定理得：， 解得：， ∴，即， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）【问题情景】综合与实践课上，陈老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】陈老师让同学们先画出两个等腰直角和，，将绕点O旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接，，则与有何数量关系？与有何数量关系？请你探究后直接写出结论； （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们认为，当点N恰好在边上时，若，，就可以求出的长，请你写出求解过程； 【类比探究】 （3）“智慧组”的同学们认为，当点A，M，N在同一条直线上时，，，之间一定存在某种数量关系，若，，请你探究后直接写出的长． 【答案】（1），；（2），见解析；（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识； （1）根据等腰三角形的性质，证明即可； （2）连接，先证，再根据勾股定理求解即可； （3）分两种情况讨论，当点N在线段上时，当点M在线段上时，再根据全等三角形的性质和判定，勾股定理求解即可． 【详解】解：（1），，理由如下： 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，； （2）如图②，连接， ， ，即， 和是等腰直角三角形， ，，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （3）①如下左图，当点N在线段上时，连接，过点O作于H， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ，，， ， ，， ，是等腰直角三角形， ， 在中，， ； ②如下右图，当点M在线段上时，连接，过点O作于H， 同理可得，， ， 综上所述：的长为或． 10．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，，其中、满足． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若点为线段上一动点． ①如图②，以为边向右作等腰，且，若，求点的坐标； ②如图③，过点作于，交OA于，且，试问代数式的值是否为定值？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②是定值，为 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出m的值，得到点A，B的坐标，再根据两点间的距离公式求出，，的长，根据勾股定理逆定理进行判断即可； （2）①过点A作于F，过G作于E，由得到，根据等腰三角形的性质得到，由得到，，证明，得到，，即可解答； ②根据等腰直角三角形的性质求出和，代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ， ∴ ，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：①过点A作于F，过G作于E， ∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点G的坐标为． ②在上截取，在上截取，连接，， ∴，为等腰直角三角形， ∴ ∵∠ ∴∠ ∵ ∴∠ ∴∠ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴∠ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$