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2024-2025学年河南省南阳市方城第一高级中学高一（下）期中数学模拟试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则(    ) A. B. C. D. 3.下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是(    ) A. B. C. D. 4.设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 2 5.已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为单位：(    ) A. B. C. 1 D. 2 6.函数，的值域为(    ) A. B. C. D. 7.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米如图所示，旗杆底部与第一排在同一水平面上.则旗杆的高度为(    ) A. 米 B. 15米 C. 20米 D. 米 8.已知，在上单调递减，为的一个对称轴，为奇函数，则(    ) A. B. C. D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知平面向量，的夹角为，且，若，，则下列结论正确的是(    ) A. B. 与可以作为平面内向量的一组基底 C. D. 在上的投影向量为 10.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中错误的是(    ) A. 若，则定为等腰三角形 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的 D. 若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 11.已知，则下列说法正确的是(    ) A. 在区间上单调递增 B. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线C，则曲线C关于原点对称 C. 若是偶函数，则 D. 若在区间上恰有3个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知单位向量满足，则与的夹角为______. 13.已知点，向量，过点P作以向量为方向向量的直线l，则点到直线l的距离为______. 14.如图所示，在中，点D为BC边上一点，且，过点D的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点交两点不重合若，，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知角的终边经过点，且 Ⅰ求的值； Ⅱ求的值. 16.本小题12分 已知在中，，其中内角A，B，C的对边分别为a，b， 求角A的大小； 若D为AC的中点，且，求bc的最大值. 17.本小题12分 已知两个非零向量与不共线， 若，，，求证：A、B、D三点共线； 试确定实数k，使得与共线； 若，，，且，求实数的值． 18.本小题12分 如图，已知中，D是AB边上一点，若，E是线段CD的中点，F是线段AC的中点. 若，求x，y的值； 若是等腰直角三角形，且，求 19.本小题12分 已知函数，，的最小正周期是 求函数的解析式，并求函数在上的单调增区间； 将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到的图象.已知图象的一个对称中心为，求的最小值； 在的条件下，当取最小值时，若对，关于x的方程恰有两个实数根，求实数a的取值范围. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：对于A，因为，共线，故不能构成基底； 对于B，，共线，故不能构成基底； 对于C，，共线，故不能构成基底； 对于D，假设与共线，由已知，与均为非零向量，故存在非零实数，使得， 整理得，故共线，与是平面内所有向量的一个基底矛盾，故假设不成立， 所以与不共线，可以构成基底． 故选： 根据基底的概念，分别判断四个选项中的向量是否共线即可． 本题主要考查平面向量基底的判断，属于基础题． 2.【答案】D  【解析】解：在矩形ABCD中，E为AB的中点， ， 故选： 根据向量的线性运算计算即可． 本题考查了向量的线性运算，是基础题． 3.【答案】D  【解析】解：对于A，的最小正周期为，时，，函数单调递增，不满足题意； 对于B，的最小正周期为，不满足题意； 对于C，的最小正周期为，时，函数单调递增，不满足题意； 对于D，的最小正周期为，且在上单调递减． 故选： 根据三角函数的图象与性质，分别判断选项中的函数是否满足题意即可． 本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题． 4.【答案】A  【解析】解：由题意可知，，则， 由， 得， 所以 故选： 由已知结合投影向量的意义可得，再利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求出的值． 本题主要考查投影向量的求解，属于基础题． 5.【答案】D  【解析】解：设扇形的圆心角为，半径为r， 则由题意可得， 扇形的周长，当且仅当时，即，时取等号． 当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值 故选： 利用扇形面积计算公式、基本不等式即可得出结论． 本题考查了基本不等式、弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.【答案】D  【解析】解：，， 故选： 根据x的范围求出的范围，进而得出的范围，进而得出的值域． 本题考查了不等式的性质，余弦函数的图象，函数值域的定义，是基础题． 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查解三角形的实际应用，属于中档题. 此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决问题．画出示意图，根据题意求得角，利用正弦定理求得边，再根据直角三角形边角关系即可求出旗杆的高度． 【解答】 解：如图所示， 依题意知，， ， 由正弦定理知， 米， 在中，米 故选： 8.【答案】A  【解析】解：因为函数在内单调递减， 所以，得， 因为是函数的一条对称轴， 所以①， 因为函数是奇函数， 所以②， 由①-②可得，， 而，所以， 当时，，得，， 因为，所以， 即， 当时，，显然此时函数单调递减，符合题意， 所以， 当时，，得，， 因为，所以， 即， 当时，，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意， 所以 故选： 首先由函数的单调性转化函数周期的范围，即可求的范围，再结合函数的对称性列式，确定，再分别代入函数的解析式，由对称性求，并验证函数的单调性后，即可求解． 本题考查了三角函数的性质，属于中档题． 9.【答案】BD  【解析】解：对于A，根据题意，可得， 所以，故、不垂直，A项错误； 对于B，因为，不存在实数使， 所以与不共线，与可以作为平面的一组基底，故B项正确； 对于C，由， 可得舍负，故C项错误； 对于D，因为， 所以在上的投影向量为，故D项正确． 故选： 根据平面向量数量积的定义计算出，可判断A项的正误；根据平面向量基本定理判断B项的正误；利用向量数量积的运算法则判断C项的正误；根据投影向量的定义运算，可判断D项的正误． 本题主要考查向量数量积的定义与运算性质、平面向量基本定理及其应用、投影向量的概念等知识，属于中档题． 10.【答案】ABC  【解析】解：A选项，根据正弦函数的性质，，，，可得或者， 故或者，故为等腰三角形或者直角三角形，故A选项错误， B选项，根据余弦定理，可得，，故C为锐角， 但A，B无法确定，所以无法确定三角形为锐角三角形，故B选项错误， C选项，根据向量线性运算，得，即， 则，的面积是面积的，C选项错误； D选项，由，得O是的重心，由， 得O是的外心，即的重心、外心重合，则为等边三角形，D选项正确． 故选： 利用诱导公式以及正弦函数的性质即可求解判断A； 利用余弦定理推理判断B； 利用向量线性运算判断C； 利用三角形心的向量表示判断 本题考查了余弦定理，属于中档题． 11.【答案】ACD  【解析】解：对于，令，， 解得，， 所以的单调递增区间是，选项A正确； 将函数的图象向右平移个单位长度， 则得到， 令，， 所以曲线C不关于原点对称，选项 B错误； 若是偶函数， 所以，，即，，选项C正确； 已知，， 则，因为在区间上恰有3个零点， 那么，解得，所以选项D正确. 故选： 12.【答案】  【解析】解：已知单位向量满足，则， 两边平方整理可得 ， 所以， 因为，所以 故答案为： 由向量模的运算及向量数量积的运算即可得到答案． 本题考查了平面向量的夹角公式，属于中档题． 13.【答案】  【解析】解：以向量为方向向量的直线l的斜率为， 则过点的直线l的方程为， 则点到直线l的距离 故答案为： 先求直线l的方程，再利用点到直线的距离公式求解即可． 本题考查点到直线距离的计算，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：因为，所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 因为D，E，F三点共线， 所以，结合已知可知，， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为 故答案为： 先用表示，利用已知代入表达式，结合D，E，F三点共线可得，然后妙用“1”可解． 本题考查平面向量基本定理及基本不等式的应用，属中档题． 15.【答案】；    【解析】解：由题意可得，解得， 可得； 由知，， 则 根据已知条件，利用三角函数的定义直接求解即可； 结合诱导公式以及弦化切的方法即可直接求解． 本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题． 16.【答案】；   bc的最大值为  【解析】解：由正弦定理为外接圆半径， 将代入， 可得， 化简后得到，即， 根据余弦定理，把代入可得， 因为，所以； 在中，根据余弦定理， 因为D为AC中点，设，已知， 则，即， 根据基本不等式当且仅当时取等号， 所以，即，当且仅当时取等号， 将代入，可得， 解得，，满足条件，所以bc的最大值为 由正弦定理得到，再由余弦定理得到，故； 由余弦定理得，由基本不等式求出最大值． 本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题． 17.【答案】解：证明：，，， ， 共线， 又它们有公共点B， 、B、D三点共线； 解：与共线， 存在实数，使， 即， ， 是两个不共线的非零向量， ，解得； ，，，且， ，， 解得  【解析】本题考查向量共线定理，考查向量垂直，考查计算能力，属于基础题． 根据所给的三个首尾相连的向量，用其中两个相加，得到两个首尾相连的向量，根据表示这两个向量的基底，得到两个向量之间的共线关系，从而得到三点共线； 两个向量共线，写出向量共线的充要条件，进而得到关于实数k的方程，解出k的值； 直接利用已知计算求解即可得到答案． 18.【答案】，；   【解析】解：因为，E是线段CD的中点， 所以， 所以， 因为F是线段AC的中点，所以， 因为是等腰直角三角形，且，所以，， 所以 由向量的线性运算将向量表示成向量与的和，即可求解x，y的值； 利用向量的线性运算将向量表示成向量与的和，再结合的结论即可计算求解． 本题考查了向量的线性运算及数量积运算，考查了转化思想，属于中档题． 19.【答案】，；  ；     【解析】解：因为函数的最小正周期是， 即，所以， 所以， 因为， 所以， 当时，即时函数单调递增， 当时，即时，函数单调递减． 故函数的单调递增区间为 由题意，的图象向右平移个单位， 得， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变， 可得的图象， 又因为图象的一个对称中心为， 所以， 解得， 又因为， 则当时，此时的最小值为 当取最小值时，， 当时，， 所以， 此时， 因恰有两个实数根， 故与的图象有两个交点， 结合图象可知，即， 所以 根据周期公式可解得，从而得出解析式，结合正弦函数的单调性即可求得增区间； 根据伸缩平移变换可得的解析式，结合为对称中心，从而求得的最小值； 在的条件下结合，利用三角函数的图象性质，数形结合即可得解． 本题考查了三角函数的图象及性质，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$