衔接点01 数与式（知识衔接+5对点集训+综合演练） 初中阶段 高中阶段 1.绝对值的定义及理解；绝对值不等式的解法 2.常用乘法公式 3.因式分解的方法 4.二次根式的定义及理解；二次根式的化简 数轴上两点之间的距离；含绝对值的方程和函数 常用乘法公式是多项式运算中经常会用到的公式,高一上学期要学习的不等式中的比较大小、函数的单调性中用定义证明或判断函数单调性时的作差环节等经常会用到平方差、立方差等公式. 因式分解对二次方程求根、二次函数解析式多种形式的转化、画二次函数图象、解二次不等式等有非常重要的作用,也非常简捷,在指、对数运算中也有涉及. 二次根式是理解n 次根式的一个重要基础,在高一学习分数指数幂时,我们会以二次根式为基础,引出n 次根式,从而再进一步去研究分数指数幂. 初中知识再现 1.绝对值 (1)绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值,用“| |”表示. (2)绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即 (3)绝对值的几何意义：一个数的绝对值是数轴上表示它的点到原点的距离. (4)两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上数和数 对应的点之间的距离. (5)绝对值的性质：①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个,绝对值等于0的数有一个,没有绝对值等于负数的数； ③实数的绝对值都是非负数. (6)两个绝对值不等式: ① ; ②或 . 2.常用乘法公式 （1）平方差公式：；注意公式的正逆应用. （2）完全平方公式： （3）高频应用方式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 3.因式分解 (1)十字相乘法(针对一元二次多项式)：十字左边相乘等于二次项,右边相乘等于常数项,交叉相乘 再相加等于一次项,即运用乘法公式的逆运算进行因式分解. 分解技巧： ①当二次项系数不是“1”时,它的特征是“拆两头,凑中间”. ②当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项的系数为正数,再看常数项. ③当常数项为正数时,将它分解为两个同号因数,当常数项为负数时,分解成两个异号因数,再十字相乘之后相加. (2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成公 因式与另一个因式的乘积的形式. (3)公式法：把乘法公式反过来用,利用公式分解因式. (4)求根法：若关于的方程的两个实数根是,,则 就可以分解为 (5)试根法：对于简单的高次因式,可以通过先试根再分解的方法分解因式. 4.二次根式 (1)算术平方根的概念 若一个数的平方等于,即,则叫做的平方根,记作,其中叫做的算术平方根. (2)二次根式的定义 一般地,形如的式子叫做二次根式. (3)二次根式的意义 <m></m> (4)二次根式的运算性质 <，</m> 高中相关知识 1.绝对值 (1)数轴上两点之间的距离：若,<是数轴上的两个点,它们表示的数分别为,,则,之间的距离为.这与我们后续学到的解析几何中两点间的距离公式紧密相连,同样与平面向量的模也有一定关联. (2)含绝对值的方程和函数 ①含绝对值的方程要先根据范围分类讨论,去掉绝对值的符号,再求方程的解. ②含绝对值的函数：其中自变量的范围是实数,因变量的范围是非负数. (3)数的运算,包括数的绝对值、根式、分式等运算,在高一上学期求函数定义域、指数运算等方面应用普遍. 2.常用乘法公式 （1）立方和公式： （2）立方差公式： （3）两数和立方公式： 过程： （4）两数差立方公式： 过程： （5）三数和平方公式： 过程： 对点集训一：绝对值 典型例题 例题1．解不等式：＞4． 例题2.（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数，A、B两点这间的距离表示为，当A、B两点中一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边. 综上，数轴上A、B两点之间的距离. （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么为 ； ③当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ； ④求的最小值. 精练 1．的几何意义： ． 2．若，则代数式的最小值是 ； 3．已知，则= 4．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）若实数满足，则 ． 5．（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ （2）当取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ （3）求的最小值. （4）求的最小值. 6．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ (1)令，用a、b表示 (2)求的最小值． 对点集训二：常用乘法公式 典型例题 例题1.计算： (1)； (2)； (3)； (4). 例题2.已知：，求下列各式的值： （1）；           （2）（． 例题3.已知，求的值． 精练 1．（高一上·上海宝山·开学考试）已知，则 . 2．（24-25高一上·上海·课前预习）补全下列公式． （1） （平方差公式）； （2） （完全平方公式）； （3） （立方和公式）． 3．已知为实数，且，则的值是 . 4．（高一·上海·开学考试）已知，求的值. 对点集训三：因式分解 典型例题 例题1.因式分解： ． 例题2.因式分解 . 例题3.分解因式： (1)； (2). 例题4.分解因式：． 精练 1．（高一·上海·开学考试）下列分解因式错误的是（    ） A．a-5a+6=(a-2)(a-3) B．1-4m+4m=(1-2m) C．-4x+y=-(2x+y)(2x-y) D．3ab+ab+9=(3+ab) 2．（高一·上海·开学考试）分解因式： . 3.要在二次三项式的括号中填上一个整数，使它能按公式分解因式，那么括号中的数可以是 ．（填上所有正确答案） 4.若多项式可以因式分解为，则实数的值为 ． 5．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）将二次三项式因式分解为 . 6．（高一·上海·开学考试）分解因式： . 对点集训四：二次根式 典型例题 例题1.（21-22高一上·上海虹口·期中）已知，则代数式 ．． 例题2.（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知，则 ． 精练 1．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）若实数m满足，则 2．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）已知，，则 3．（24-25高一上·上海·期中）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是 ． 4．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）阅读理解：对于任意正实数，因为，所以，所以，只有当时，等号成立.结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值.根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当___________时，有最小值___________； (2)思考验证：如图1，为半圆的直径，为半圆上任意一点（与点不重合），过点作，垂足为.试根据图形验证，并指出等号成立时的条件. (3)探索应用：如图2，已知为双曲线上的任意一点，过点作轴，垂足为轴，垂足为.求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·开学考试）下列各数中，是有理数的是（ ） A． B． C． D． 2．（高一·上海·开学考试）实数､在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（高一上·上海宝山·开学考试）已知均为正整数，且满足，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：.2和26均为“和谐数”.那么､不超过2016的正整数中，所有们“和谐数”之和为（    ） A．6858 B．6860 C．9260 D．9262 5．（24-25高一上·上海·开学考试）计算：＝ ． 6．（21-22高一上·上海宝山·开学考试）已知a，b，c不全为无理数，则关于三个数，，，下列说法正确的是 （把所有正确选项都填上） ①可能均为有理数 ②可能均为无理数 ③可能恰有一个为有理数 ④可能恰有两个为有理数 7．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）定义，，则 8．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）若，则 . 9．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）若质数满足：，则的最大值为 . 10．（22-23高一上·上海杨浦·开学考试）设，则用含的最简分式形式表示代数式的值为 ． 11．（24-25高一上·上海·开学考试）计算： 12．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则= 13．（24-25高一下·上海·开学考试） .（小数化分数） 14．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）把三张大小相同的正方形卡片A､B､C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.若按图1摆放时，阴影部分的面积为；若按图2摆放时，阴影部分的面积为，则 ，（填“>”“<”或“=”） 15．（高一上·上海宝山·开学考试）若，则 16．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）已知，则 17．（22-23高一上·上海杨浦·开学考试）从、、、、这个正整数中取出个正整数，要求满足：任何两个正整数的差的绝对值都不等于或，那么的最大值为 ． 三、解答题 18．（24-25高一上·上海·开学考试）为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，米，米，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1米）    (1)求的长： (2)该充电站有20个停车位，求的长. 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点01 数与式（知识衔接+5对点集训+综合演练） 初中阶段 高中阶段 1.绝对值的定义及理解；绝对值不等式的解法 2.常用乘法公式 3.因式分解的方法 4.二次根式的定义及理解；二次根式的化简 数轴上两点之间的距离；含绝对值的方程和函数 常用乘法公式是多项式运算中经常会用到的公式,高一上学期要学习的不等式中的比较大小、函数的单调性中用定义证明或判断函数单调性时的作差环节等经常会用到平方差、立方差等公式. 因式分解对二次方程求根、二次函数解析式多种形式的转化、画二次函数图象、解二次不等式等有非常重要的作用,也非常简捷,在指、对数运算中也有涉及. 二次根式是理解n 次根式的一个重要基础,在高一学习分数指数幂时,我们会以二次根式为基础,引出n 次根式,从而再进一步去研究分数指数幂. 初中知识再现 1.绝对值 (1)绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值,用“| |”表示. (2)绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即 (3)绝对值的几何意义：一个数的绝对值是数轴上表示它的点到原点的距离. (4)两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上数和数 对应的点之间的距离. (5)绝对值的性质：①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个,绝对值等于0的数有一个,没有绝对值等于负数的数； ③实数的绝对值都是非负数. (6)两个绝对值不等式: ① ; ②或 . 2.常用乘法公式 （1）平方差公式：；注意公式的正逆应用. （2）完全平方公式： （3）高频应用方式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 3.因式分解 (1)十字相乘法(针对一元二次多项式)：十字左边相乘等于二次项,右边相乘等于常数项,交叉相乘 再相加等于一次项,即运用乘法公式的逆运算进行因式分解. 分解技巧： ①当二次项系数不是“1”时,它的特征是“拆两头,凑中间”. ②当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项的系数为正数,再看常数项. ③当常数项为正数时,将它分解为两个同号因数,当常数项为负数时,分解成两个异号因数,再十字相乘之后相加. (2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成公 因式与另一个因式的乘积的形式. (3)公式法：把乘法公式反过来用,利用公式分解因式. (4)求根法：若关于的方程的两个实数根是,,则 就可以分解为 (5)试根法：对于简单的高次因式,可以通过先试根再分解的方法分解因式. 4.二次根式 (1)算术平方根的概念 若一个数的平方等于,即,则叫做的平方根,记作,其中叫做的算术平方根. (2)二次根式的定义 一般地,形如的式子叫做二次根式. (3)二次根式的意义 <m></m> (4)二次根式的运算性质 <，</m> 高中相关知识 1.绝对值 (1)数轴上两点之间的距离：若,<是数轴上的两个点,它们表示的数分别为,,则,之间的距离为.这与我们后续学到的解析几何中两点间的距离公式紧密相连,同样与平面向量的模也有一定关联. (2)含绝对值的方程和函数 ①含绝对值的方程要先根据范围分类讨论,去掉绝对值的符号,再求方程的解. ②含绝对值的函数：其中自变量的范围是实数,因变量的范围是非负数. (3)数的运算,包括数的绝对值、根式、分式等运算,在高一上学期求函数定义域、指数运算等方面应用普遍. 2.常用乘法公式 （1）立方和公式： （2）立方差公式： （3）两数和立方公式： 过程： （4）两数差立方公式： 过程： （5）三数和平方公式： 过程： 对点集训一：绝对值 典型例题 例题1．解不等式：＞4． 【答案】或 【分析】将不等式按，，三种情况去掉绝对值符号解不等式即可. 【详解】由，得；由，得； ①若，不等式可变为， 即＞4，解得x＜0， 又x＜1， ∴x＜0； ②若，不等式可变为， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x； ③若，不等式可变为， 即＞4， 解得x＞4． 又x≥3，∴x＞4． 综上所述，原不等式的解为x＜0或x＞4． 则不等式的解集为或 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，属于基础题. 例题2.（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数，A、B两点这间的距离表示为，当A、B两点中一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边. 综上，数轴上A、B两点之间的距离. （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么为 ； ③当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ； ④求的最小值. 【答案】①3，3，4；②|x+1|，1或-3；③；④997002. 【分析】根据阅读材料，结合绝对值的相关知识，即可容易求得①②③； 根据绝对值的意义，取，则问题得解. 【详解】①由材料容易知，答案为：3，3，4； ②由材料容易知，答案为：|x+1|，1或-3； ③由绝对值的几何意义，当时取得最小值. ④找到1~1997的中间数999，当x=999时取得最小值， 最小值是998+997+....+2+1+0+1+2+....+998= =997002 . 故答案为：①3，3，4；②|x+1|，1或-3；③；④997002. 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，涉及阅读材料的理解，属综合基础题. 精练 1．的几何意义： ． 【答案】数轴上表示数的点到原点的距离 2．若，则代数式的最小值是 ； 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义确定正确选项. 【详解】表示数轴上的点到和的距离之和，所以其最小值为. 故答案为： 3．已知，则= 【答案】1 【分析】由，可得，去掉绝对值，化简即可. 【详解】∵，∴， ∴， 故答案为：1 【点睛】本题考查绝对值式子的化简，考查绝对值的意义，考查运算能力. 4．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）若实数满足，则 ． 【答案】5 【分析】易知，解方程即可求解. 【详解】因为，所以，解得，所以. 故答案为：5 5．（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ （2）当取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ （3）求的最小值. （4）求的最小值. 【答案】（1）当时最小值为；（2）当时最大值为；（3）；（4）2. 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求解即可；（2）把代入求解即可；（3）（4）分情况去绝对值整理判断即可. 【详解】（1）当时有最小值，最小值为； （2）当，即时有最大值，这个最大值为； （3）当时，原式无有最小值； 当时，原式有最小值1； 当时，原式无最小值； 故的最小值为； （4）当时，原式有最小值3； 当时，原式有最小值2； 当时，原式无最小值； 当时，原式有最小值3； 故的最小值为2； 【点睛】本题主要考查了带绝对值的式子求最值问题.属于中档题. 6．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ (1)令，用a、b表示 (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，消去y即可得结果； （2）令，由（1）整理可得，结合常用不等式分析求解. 【详解】（1）因为，可得， 整理得. （2）令，由（1）可得：，即， 因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当，等号成立， 即，则， 可得，即， 所以的最小值为. 对点集训二：常用乘法公式 典型例题 例题1.计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】完全平方公式得出（1），平方差公式得到（2）和（4），多项式展开得到（3）. 【详解】（1） = （2） （3） = （4） 例题2.已知：，求下列各式的值： （1）；               （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）本小题直接运用完全平方公式计算即可； （2）本小题直接运用完全平方公式与立方和公式计算即可. 【详解】解：（1） ， ，化简的：， ， （2）， ， 【点睛】本题考查完全平方公式与立方和公式，是简单题. 例题3.已知，求的值． 【答案】1 【分析】由立方和公式计算即可. 【详解】∵， ∴ ＝1﹣3xy+3xy＝1； 故答案为：1 【点睛】本题考查化简求值问题，解题的关键是明确题意，会利用公式进行问题的解答． 精练 1．（高一上·上海宝山·开学考试）已知，则 . 【答案】12 【分析】由完全平方公式变形求解． 【详解】由已知． 故答案为：12． 【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题关键． 2．（24-25高一上·上海·课前预习）补全下列公式． （1） （平方差公式）； （2） （完全平方公式）； （3） （立方和公式）． 【答案】 3．已知为实数，且，则的值是 . 【答案】 【分析】计算，再根据，代入数据计算得到答案. 【详解】，故， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了代数式的运算，属于简单题. 4．（高一·上海·开学考试）已知，求的值. 【答案】. 【解析】先求出，再化简原式为，即得解. 【详解】. 由题得原式= . 故答案为：21 【点睛】本题主要考查因式分解、配方和求代数式的值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 对点集训三：因式分解 典型例题 例题1.因式分解： ． 【答案】 【分析】直接运用十字相乘法进行因式分解即可. 【详解】解：利用十字相乘法得： 故答案为： 例题2.因式分解 . 【答案】 【分析】直接因式分解，可得答案． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解的应用，考查学生计算能力，属于基础题． 例题3.分解因式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提出分解因式即可求解； （2）提出，结合相关公司即可求解. 【详解】（1）原式； （2）原式. 例题4.分解因式：． 【答案】. 【分析】利用分组分解法分解因式，先令，，则原可化为=，再把，，再分组分解即可 【详解】解：令，， 则原式= = = = = = 【点睛】此题考查分组分解法分解因式，考查了完全平方公式，属于中档题. 精练 1．（高一·上海·开学考试）下列分解因式错误的是（    ） A．a-5a+6=(a-2)(a-3) B．1-4m+4m=(1-2m) C．-4x+y=-(2x+y)(2x-y) D．3ab+ab+9=(3+ab) 【答案】B 【解析】根据等式左右两边是否相等及右边是否为因式相乘即可判断选项的正误. 【详解】A选项根据十字相乘分解因式可知正确； B选项中的1+4m-4m=(1-2m)，左右两边不相等，所以B是错的； C选项根据平方差公式可知正确； D选项根据完全平方公式可知正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了因式分解及因式分解的常用方法，属于容易题. 2．（高一·上海·开学考试）分解因式： . 【答案】 【分析】利用完全平方公式分解因式 【详解】解：= 故答案为： 【点睛】此题考查公式法分解因式，属于基础题. 3.要在二次三项式的括号中填上一个整数，使它能按公式分解因式，那么括号中的数可以是 ．（填上所有正确答案） 【答案】 【分析】根据十字相乘法的求解过程，判断出可以填写的整数. 【详解】可以分成，，，， 括号中的整数应该是的两个因数的和，即． 故答案为：. 4.若多项式可以因式分解为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据多项式的乘法计算可得. 【详解】因为， 又， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）将二次三项式因式分解为 . 【答案】 【分析】直接提取公因式再因式分解即可. 【详解】 故答案为：. 6．（高一·上海·开学考试）分解因式： . 【答案】 【分析】前三项用十字相乘法分解因式，后两项提公因数，在对其提公因式得答案. 【详解】利用分组分解法（前三项与后两组） 故答案为： 【点睛】本题主要考查十字相乘法的应用，属于中档题. 对点集训四：二次根式 典型例题 例题1.（21-22高一上·上海虹口·期中）已知，则代数式 ．． 【答案】2 【分析】根据绝对值和二次根式的定义化简． 【详解】因为，则， 所以． 故答案为：2． 例题2.（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知，则 ． 【答案】8 【分析】利用配方法将原式化为，求得的值，即可求得答案 【详解】由得， 故，解得， 故， 故答案为：8 精练 1．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）若实数m满足，则 【答案】2022 【分析】根据二次根式的性质和绝对值的性质进行求解即可. 【详解】由， 由， 所以， 故答案为：2022 2．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）已知，，则 【答案】 【分析】利用分母有理化分别化简，，进而可求出，以及，再通过平方差公式和完全平方公式化简要求的代数式，将所求代入即可． 【详解】， ， 则，， 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·期中）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是 ． 【答案】 【分析】由二次根式有意义可得，解的根，解为正数解，进而确定的范围，再根据为整数，确定的值，即可求解. 【详解】由去分母得，解得， 关于x的分式方程有正数解，则，解得， 又是增根，当时，，即，所以， 由二次根式有意义，则，解得， 因此且，因为为整数，所以可以为：， 所以符合条件的整数的和是. 故答案为： 4．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）阅读理解：对于任意正实数，因为，所以，所以，只有当时，等号成立.结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值.根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当___________时，有最小值___________； (2)思考验证：如图1，为半圆的直径，为半圆上任意一点（与点不重合），过点作，垂足为.试根据图形验证，并指出等号成立时的条件. (3)探索应用：如图2，已知为双曲线上的任意一点，过点作轴，垂足为轴，垂足为.求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状. 【答案】(1)，2 (2)验证答案见解析，等于半径时取等号 (3)最小值24，四边形是菱形 【分析】（1）根据阅读材料，时，取得最小值，由此计算可得； （2）利用直角三角形相似得，由（重合时取等号）可得不等式成立； （3）设，求出坐标，求出后可计算出四边形的面积，然后由阅读材料的结论得出最小值及四边形形状． 【详解】（1）由题意，又，因此时，的最小值为2； （2）因为是的直径.所以. 又，所以， 所以RtRt，所以，即，所以， 若点与O不重合，连接， 在Rt中，有，所以， 若点与重合时，.所以. 综上所述，，即，当等于半径时取等号； （3）设，则， 化简得，因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以. 由最小值24. 此时， 所以四边形是菱形. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·开学考试）下列各数中，是有理数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的定义判定即可. 【详解】易知，而，，都是无理数 ∴有理数是， 故选：D． 2．（高一·上海·开学考试）实数､在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴判断出对的正负关系以及绝对值的大小，即可求解，得到答案. 【详解】由图可知，实数，且， 所以，，，， 故关系式不成立的是选项. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较，以及绝对值的大小比较，着重考查分析问题和解答问题的能力. 3．（高一上·上海宝山·开学考试）已知均为正整数，且满足，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】根据表达式进行转化． 【详解】， ∴，∴． 故选：D． 【点睛】本题考查小数与分数的转化，掌握分数的变形是解题基础． 4．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：.2和26均为“和谐数”.那么､不超过2016的正整数中，所有们“和谐数”之和为（    ） A．6858 B．6860 C．9260 D．9262 【答案】B 【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：，（其中为非负整数，然后再分析计算即可. 【详解】 （其中为非负整数， 由得， 所以，即得所有不超过2016的“和谐数”， 它们的和为：. 故选：B. 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·开学考试）计算：＝ ． 【答案】 【分析】先依据公式得出正确的符号，再利用幂的除法公式计算． 【详解】. 故答案为：． 6．（21-22高一上·上海宝山·开学考试）已知a，b，c不全为无理数，则关于三个数，，，下列说法正确的是 （把所有正确选项都填上） ①可能均为有理数 ②可能均为无理数 ③可能恰有一个为有理数 ④可能恰有两个为有理数 【答案】①②③ 【分析】根据实数的定义解答即可. 【详解】a，b，c不全为无理数, 可以都为有理数，此时三个数，，均为有理数，故①正确； 若中有2个无理数一个有理数时，此时三个数，，可能均为无理数，故②正确； 若中有一对为相反数的无理数，一个有理数，则三个数，，恰有一个为有理数，故③正确； a，b，c不全为无理数, 与b或a与c，或b与c不可能均互为相反数. 关于三个数，，，不可能有两个为有理数.故④错误. 故答案为：①②③ 7．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）定义，，则 【答案】 【分析】根据运算法则，将所求算式变形为已知算式即可求解. 【详解】根据可得，， 又因为，所以. 故答案为：. 8．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）若，则 . 【答案】或 【分析】依题意可得，再分和两种情况讨论，即可得解. 【详解】解：因为， 所以①，②，③， ①②③得， 当时，； 当时，，代入①得，解得， 综上所述，或. 故答案为：或 9．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）若质数满足：，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由得，，代入不等式求得的范围，要最大，则也最大，由质数分析可得结论． 【详解】因为，所以，因为，所以， 解得，因为，所以，则， 因为，所以，解得， 由于，因此最大时，也最大， 所以当取最大质数23时，不合题意舍去， 则时，，此时符命题意，故的最大值为. 故答案为：1007． 10．（22-23高一上·上海杨浦·开学考试）设，则用含的最简分式形式表示代数式的值为 ． 【答案】 【分析】已知式取倒数后求得，待求式变形为关于的式子，代入后化简可得． 【详解】由得，所以． 所以． 故答案为：． 11．（24-25高一上·上海·开学考试）计算： 【答案】/ 【分析】根据特殊角三角函数值代入求解即可得到答案. 【详解】原式. 故答案为：． 12．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则= 【答案】2 【分析】化简得到，从而，代入求值即可. 【详解】因为，所以，即， 又，故，故， 则. 故答案为：2 13．（24-25高一下·上海·开学考试） .（小数化分数） 【答案】 【分析】利用循环小数的定义化为分数即可得解. 【详解】设，则， 两式相减，得， 则，所以. 故答案为：. 14．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）把三张大小相同的正方形卡片A､B､C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.若按图1摆放时，阴影部分的面积为；若按图2摆放时，阴影部分的面积为，则 ，（填“>”“<”或“=”） 【答案】= 【分析】根据正方形的性质，可以把两块阴影部分合并后计算面积，然后比较和的大小. 【详解】设底面的正方形的边长为a，正方形卡片A､B､C的边长为b， 由图1得， 由图2得， 所以. 故答案为：= 15．（高一上·上海宝山·开学考试）若，则 【答案】或 【分析】化简条件确定，的关系，再求目标表达式的值. 【详解】因为，所以， 所以或， 当时，， 当时，， 16．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）已知，则 【答案】2 【分析】将已知式变形为的表达式，将所求式转化为含有的形式再进行转化并化简求值. 【详解】由可得， 则， 故答案为：2. 17．（22-23高一上·上海杨浦·开学考试）从、、、、这个正整数中取出个正整数，要求满足：任何两个正整数的差的绝对值都不等于或，那么的最大值为 ． 【答案】 【分析】分析可知在任意相邻的个正整数中，要想选出符合条件的，可求出满组条件的数的最大个数，结合周期性可得解. 【详解】根据和互素可知，取、、、、这个整数， 按照、、、、、、、、、、排成一圈， 这样能确保任意相邻两个数的差的绝对值为或， 所以，在任意相邻的个正整数中，要想选出符合条件的，最多能选出个数， 因此，. 而且满足条件的一组数可以是：、、、、、、、、、， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于找出连续的1整数中所满足条件的最多的整数的个数，结合周期性求解. 三、解答题 18．（24-25高一上·上海·开学考试）为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，米，米，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1米）    (1)求的长： (2)该充电站有20个停车位，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出和的长度，进而可以解决问题; （2）求出的长度，根据得的长. 【详解】（1）∵四边形是矩形， 在Rt中， ，， ∵四边形是矩形， ，， ，， ， （2）在Rt中， 在Rt中， ∵该充电站有20个停车位， ∵四边形是矩形，. 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$