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1 第一、二章 2 目 录 难点分层探究 好题随堂演练 3 命题点▶二次函数中的特殊三角形存在性问题 【核心母题】 如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于 A(-3，0)，B两点(点A在点B 左侧)，与 y轴交于点C，且OA=3OB，顶点为D. (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标; (2)连接AC，点E是x轴上一动点，当△ACE为等腰三角形 时，求点E的坐标; (3)在y轴上是否存在一点F，使得△ADF为等腰三角形？ 若存在，求出点F的坐标;若不存在，请说明理由. 4 【解题启发】 你能利用等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形的性质求出动点坐标吗？ 5 【解题模板】 (1)设动点坐标：设出动点或关键点的坐标，横坐标为x，纵坐标为二次函数解析式; (2)表示线段：用字母表示某条线段的长度.常用的方法有但不仅限于以下几种： ①勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边; ②两点间距离公式. (3)分类讨论：根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程; (4)解决问题：解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根. 6 【规范解答】 解：(1)∵OA=3OB，∴OB=1，∴B(1，0)， ∴抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)， 当x=0时，-3a=-3，解得a=1， ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3，化成顶点式为y=(x+1)2-4， ∴点D的坐标为(-1，-4). 7 (2)如图. ∵点A，C的坐标分别为(-3，0)，(0，-3)， ∴AC=3. ①当AC=CE时，点O为AE的中点， ∴E1(3，0); ②当AC=AE时，点E可能在点A的左边或右边， ∴E2(-3-3，0)，E3(-3+3，0); ③当AE=EC时， ∴点E与点O重合，∴E4(0，0). 综上所述，点E的坐标为(3，0)或(-3-3，0)或(-3+3，0)或(0，0). 8 (3)存在. 设F(0，t).∵A(-3，0)，D(-1，-4)， ∴AD===2， AF==， DF==. ①当AD=AF时，即2=， 解得t=±，∴F1(0，)，F2(0，-); 9 ②当AD=DF时，即2=， 解得t=-4+，t2=-4-， ∴F3(0，-4+)，F4(0，-4-); ③当DF=AF时， 即=，解得t=-1，∴F5(0，-1). 综上所述，点F的坐标为(0，)或(0，-)或(0，-4+)或 (0，-4-)或(0，-1). 10 变式1 探究等边三角形存在性问题 在核心母题条件下，如图，若点P是抛物线上一动点，△POC能否成为等边三角形？请说明理由. 11 解：不能.理由如下： 如图，过线段OC的中点作OC的垂直平分线交抛物线于点P1，P2，交y轴于点E. ∵抛物线的解析式为y=x2+2x-3， ∴C(0，-3)， ∴CO的中点E的坐标为(0，-). 若△POC是等边三角形， 12 则PO=PC=OC，点P的坐标为(-，-)， 将x=-代入抛物线的解析式得y=-3≠-，此时点P1不在抛物线上，不符合题意，同理可得点P2也不在抛物线上，不符合题意， ∴△POC不能成为等边三角形. 13 变式2 探究确定底边的等腰直角三角形存在性问题 在核心母题条件下，如图，若M是抛物线上一点，在x轴下方的抛物线对称轴上是否存在一点P，使△AMP是以AM为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点P和点M的坐标;若不存在，请说明理由. 14 解：存在. 由题意可得抛物线的对称轴为直线 x=-1. 如图，过点M作MH⊥直线x=-1，垂足为H，设直线x=-1 与x轴交于点E. ∵△APM为AM为底的等腰直角三角形， ∴AP=PM，∠APE+∠MPH=90°. ∵∠MPH+∠PMH=90°， ∴∠PMH=∠APE. 15 在△APE和△PMH中， ∴△APE≌△PMH(AAS)，∴PE=MH，AE=PH. 设P(-1，p)，则M(p-1，p-2). 将点M的坐标代入y=x2+2x-3中得(p-1)2+2(p-1)-3=p-2，整理得p2-p-2=0，解得p=2或p=-1. ∵点P在x轴的下方， ∴p=-1，∴P(-1，-1)，M(-2，-3). 16 变式3 探究不确定底边的等腰直角三角形存在性问题 在核心母题条件下，如图，在y轴上是否存在点N，使得△ADN是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由. 17 解：存在. 设点N的坐标为(0，y). 由题可知点A的坐标为(-3，0)，点D的坐标为(-1，-4)， 则AD2=22+42=20，AN2=32+y2=y2+9， DN2=12+(y+4)2=y2+8y+17. ①当AD为斜边时，则AN2=DN2，即y2+9=y2+8y+17， 解得y=-1. 此时AN2=DN2=10，AN2+DN2=AD2， 故当N的坐标为(0，-1)时，△ADN是等腰直角三角形; 18 ②当AN为斜边时，则AN2=2AD2， 即y2+9=40，解得y=±，此时AD2≠DN2， 故不存在点N使△ADN是以AN为斜边的等腰直角三角形; ③当DN为斜边时，则AN2=AD2， 即y2+9=20，解得y=±，此时2AD2≠DN2， 故不存在点N使△ADN是以DN为斜边的等腰直角三角形. 综上所述，点N的坐标为(0，-1)时，△ADN是等腰直角三角形. 19 变式4 探究含有两动点的等腰直角三角形存在性问题 在核心母题条件下，如图，直线AC下方的抛物线上有一动点G，直线AC上有一动点Q，若以点G，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出点Q的坐标. 20 解：由A，C的坐标可得直线AC的解析式为y=-x-3. ∵OA=OC=3，∴∠ACO=45°. 以点G，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，有3种情况， ①如图1，当∠QGC=90°时， 则∠GCQ=45°， ∴∠GCO=90°，∴GC∥x轴， ∴当y=-3时，x2+2x-3=-3， 解得x1=0(舍去)，x2=-2， ∴G(-2，-3)， ∴GQ=GC=2， ∴点Q的坐标为(-2，-1)，且在直线AC上; 21 ②如图2，当∠GQC=90°时， 则∠GCQ=45°，GQ=QC， ∴GC∥x轴，由①可知， 点G(-2，-3)， ∴GC=2. 过点Q作QH⊥GC于点H， ∴GH=HC=QH=1， ∴点Q的坐标为(-1，-2)，且在直线AC上; 22 ③如图3，当∠GCQ=90°时， 则∠GQC=45°， ∴GQ∥y轴，QC⊥GC. ∵直线AC的解析式为y=-x-3， ∴直线GC的解析式为y=x-3. 当x-3=x2+2x-3时， 解得x1=0，x2=-1， ∴点G的坐标为(-1，-4). 当x=-1时，y=-(-1)-3=-2， ∴点Q的坐标为(-1，-2). 综上所述，点Q的坐标为(-2，-1)或(-1，-2). 23 变式5 探究含有一个动点的直角三角形存在性问题 在核心母题条件下，如图，在y轴上是否存在一点E，使得△ADE是直角三角形？若存在，求出点E的坐标;若不存在，请说明理由. 24 解：存在. ∵A(-3，0)，D(-1，-4)， ∴AD2=(-3+1)2+(0+4)2=20. 设E(0，m)，则AE2=(-3-0)2+(0-m)2=9+m2， DE2=(-1-0)2+(-4-m)2=m2+8m+17. ①当AE为斜边时，由AE2=AD2+DE2得 9+m2=20+m2+8m+17，解得m=-; 25 ②当DE为斜边时，由DE2=AE2+AD2得 m2+8m+17=9+m2+20，解得m=; ③当AD为斜边时，由AD2=ED2+AE2得 20=m2+8m+17+9+m2，解得m=-1或-3. 综上所述，点E的坐标为(0，-)或(0，)或(0，-1)或(0，-3). 26 变式6 探究确定斜边的直角三角形存在性问题 在核心母题条件下，如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由. 27 解：存在. 如图，取AC的中点F，过点F作抛物线对称轴的垂线，垂足为G. 在Rt△OAC中，由勾股定理得AC==3. ∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形， ∴∠APC=90°，PF=AC=. 易求F(-，-)，抛物线的对称轴为直线x=-1， 28 ∴设点P的坐标为(-1，n)， ∴FG=-1-(-)=， PG=|n+|， 由PG2+FG2=PF2得(n+)2+()2=()2， 解得n1=，n2=， ∴点P的坐标为(-1，)或(-1，). 29 变式7 探究相似三角形存在性问题 在核心母题条件下，如图，在线段AC上是否存在点M，使得△AOM与△ABC相似？若存在， 求出点M的坐标;若不存在，请说明理由. 30 解：存在. 由(1)知抛物线的解析式为y=x2+2x-3，A(-3，0)，C(0，-3). 当y=0时，x2+2x-3=0，解得x1=-3，x2=1， ∴B(1，0). 31 当△AOM与△ABC相似时，分2种情况： ①当△AOM∽△ABC时，∠AOM=∠ABC，∴OM∥BC. 由点A(-3，0)，C(0，-3)可求得直线AC的解析式为y=-x-3， 由点B(1，0)，C(0，-3)可求得直线BC的解析式为y=3x-3， ∴直线OM的解析式为y=3x. 设点M(m，3m)，点M为直线AC与直线OM的交点， ∴3m=-m-3，解得m=-，∴M(-，-); 32 ②当△AOM∽△ACB时，∴=， 即=，∴AM=2，∴M(-1，-2). 综上所述，点M的坐标为(-，-)或(-1，-2). 33 建议用时：15分钟 1.(2024·眉山)如图，抛物线y=-x2+bx+c 与x轴交于点A(-3，0)和点B，与y轴交于 点C(0，3)，点D在抛物线上. (1)求该抛物线的解析式; (2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标; (3)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由. 1 题序 2 34 解：(1)把点A(-3，0)，C(0，3)分别代入y=-x2+bx+c得 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3. 1 题序 2 35 (2)如图，过点D作DK∥y轴交AC于点K. 由点A(-3，0)，C(0，3)得直线AC的解析式为y=x+3. 设D(t，-t2-2t+3)，则K(t，t+3)， ∴DK=-t2-2t+3-(t+3)=-t2-3t. ∵△ACD的面积为3， ∴DK·|xA-xC|=3，即(-t2-3t)×3=3， 解得t=-1或t=-2，∴点D的坐标为(-1，4)或(-2，3). (3)点P的坐标为(0，3)或()或()或(，-). 1 题序 2 36 2.(2023·随州)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点 A(-1，0)，B(2，0)和C(0，2)，连接BC，点P(m，n)(m>0)为抛物线上一 动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N. 1 题序 2 37 (1)直接写出抛物线和直线BC的解析式; (2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值; (3)点P在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以点O，P，Q为顶点的三角形与以点B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)？若存在，直接写出点P和点Q的坐标;若不存在，请说明理由. 1 题序 2 38 解：(1)抛物线的解析式为y=-x2+x+2，直线BC的解析式为y=-x+2. (2)∵点M在直线BC上，且P(m，n)， ∴点M的坐标为(m，-m+2)， ∴OC=2，CM2=(m-0)2+(-m+2-2)2=2m2， OM2=m2+(-m+2)2=2m2-4m+4. 当△OCM为等腰三角形时， 1 题序 2 39 ①若CM=OM，则CM2=OM2， 即2m2=2m2-4m+4，解得m=1; ②若CM=OC，则CM2=OC2， 即2m2=4，解得m=或m=-(舍去); ③若OM=OC，则OM2=OC2， 即2m2-4m+4=4，解得m=0(舍去)或m=2. 综上所述，m的值为1或或2. 1 题序 2 40 (3)点P和点Q的坐标分别为P()，Q(0，-1)或P()，Q(0，)或P(1+，-1-)，Q(0，1)或P(1+，-3-)，Q(0，-2). 1 题序 2 41 $$