21.2.1 解一元二次方程——配方法（第2课时）（导学案）数学人教版九年级上册

21.1配方法第二课时导学案 （1）理解配方法，能用配方法去解数字系数的一元二次方程。 （2）使学生认识到本节课学习的配方法解一元二次方程是后续学习（求根公式、二次函数）的重要基础，激发进一步学习的兴趣，在学习过程中体会数学的严谨性与逻辑性。 重点：配方法解一元二次方程。 难点：怎样配方。 第一环节 自主学习 温故知新： 1 解一元二次方程的基本策略和方法：解一元二次方程的基本策略是 ，方法是将一元二次方程通转化为两个可以解的 。 ②和两种形式的方程都可以直接 转化为两个一元一次方程。 ③方程的解讨论如下： 一般地，对于方程(I)： 当时，根据平方根的意义，方程(I)有两个 的实数根 ； 当时，根据平方根的意义，方程(I)有两个 的实数根 ； 当时，因为对任意实数，都有 ，所以方程(I) 。 【学法指导】 自研课本P6-7页内 思考 课本P6页问题 我们如何来解方程呢？ 我们已经会解方程，因为它的左边是含有的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程。那么，能否将方程转化为可以直接降次的形式再求解呢? （1）要使方程的左边含有的完全平方式，右边是常数，首先需要怎样变形？ （2)要使方程的左边变为完全平方式的形式，需要进行怎样变形？ （3）左边写成完全平方式，右边是一个非负数，我们可以怎样降次求解？ （1）将常数项移到 。 （2）需要将方程两边都 ，即 的平方（）。 （3）方程可以写成 的形式解方程。 上述解答过程如下： （常数项移到 ） →（两边同加上 ，即两边同加 ） →（写成 的形式，即 的形式） →（降次，化为 ） →， 即或（解一元一次方程） →，。 可以验证，是方程的解。 归纳总结： 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。 例1．解下列方程 （1） （2） （3） 自研课本P6页内容 问题 前面我们学习了解的情况，类似地我们来讨论方程的解的情况. 归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(Ⅱ)的形式，那么就有: (1)当时，方程(Ⅱ)有两个 的实数根 ， ； (2)当时，方程(Ⅱ)有两个 的实数根 ； (3)当时，因为对任意实数，都有 ，所以方程(Ⅱ) 实数根. 第二环节 合作探究 1.讨论方程的解情况； 2.配方法难点；配方法难点的基本步骤； 3.例2．用配方法求当m取何值时，关于的方程有两个相等的实数根． 4.例3．配方法解一元二次方程． 下面是某同学的解题过程，请认真阅读并完成任务 ． 解：．    第一步 ．    第二部 ．    第三步     第四步     第五步 ，．    第六步 任务一：该同学解答第________步出现了错，错误的原因是________________．做这一步的依据是________________________ 任务二：写出用配方法解方程的正确过程． 6.合作解决问题：1.下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得，① 二次项系数化为1，得，② 配方，得，，③ 由此可得，④ ，⑤ 整个解答过程是否正确？若不正确，第__________步开始出现错误， 错误的原因是____________________，这种方法解方程． 1.（课本练习）填空： 2.（课本练习）解下列方程： 1．（2020•泰安）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 2.(2024·江苏连云港·中考真题)关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为____. 3.（2022•徐州）解方程： 1.讨论方程的解情况： 2.配方法难点： 3.配方法的基本步骤： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1配方法第二课时导学案 （1）理解配方法，能用配方法去解数字系数的一元二次方程。 （2）使学生认识到本节课学习的配方法解一元二次方程是后续学习（求根公式、二次函数）的重要基础，激发进一步学习的兴趣，在学习过程中体会数学的严谨性与逻辑性。 重点：配方法解一元二次方程。 难点：怎样配方。 第一环节 自主学习 温故知新： ①解一元二次方程的基本策略和方法：解一元二次方程的基本策略是降次，方法是将一元二次方程通转化为两个可以解的一元一次方程。 ②和两种形式的方程都可以直接开方转化为两个一元一次方程。 ③方程的解讨论如下： 一般地，对于方程(I)： 当时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根； 当时，根据平方根的意义，方程(I)有两个相等的实数根； 当时，因为对任意实数，都有，所以方程(I)无实数根。 【学法指导】 自研课本P6-7页内 思考 课本P6页问题 我们如何来解方程呢？ 我们已经会解方程，因为它的左边是含有的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程。那么，能否将方程转化为可以直接降次的形式再求解呢? （1）要使方程的左边含有的完全平方式，右边是常数，首先需要怎样变形？ （2)要使方程的左边变为完全平方式的形式，需要进行怎样变形？ （3）左边写成完全平方式，右边是一个非负数，我们可以怎样降次求解？ （1）将常数项移到左边。 （2）需要将方程两边都加上9，即一次项系数一半的平方（）。 （3）方程可以写成的形式解方程。 上述解答过程如下： （常数项移到左边） →（两边同加上一次项系数一半的平方，即两边同加9） →（写成完全平方的形式，即的形式） →（降次，化为一元一次方程） →， 即或（解一元一次方程） →，。 可以验证，是方程的解。 归纳总结： 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。 例1．解下列方程 （1） （2） （3） 【分析】(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法。 (2)先把方程化成，它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2。 (3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方. 【详解】解：(1)移项，得 配方，得 由此可得 ， (2)移项，得 二次项系数化为1，得 配方，得 由此可得 ，. (3)移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， ，方程无解. 自研课本P6页内容 问题 前面我们学习了解的情况，类似地我们来讨论方程的解的情况. 归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(Ⅱ)的形式，那么就有: (1)当时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根，； (2)当时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根； (3)当时，因为对任意实数，都有，所以方程(Ⅱ)无实数根. 第二环节 合作探究 1.讨论方程的解情况； 2.配方法难点；配方法难点的基本步骤； 3.例2．用配方法求当m取何值时，关于的方程有两个相等的实数根． 【分析】先配方，再求m的值． 【详解】解：移项，得 配方，得 当时，此方程有两个相等的实数根． 解 得：． 4.例3．配方法解一元二次方程． 下面是某同学的解题过程，请认真阅读并完成任务 ． 解：．    第一步 ．    第二部 ．    第三步     第四步     第五步 ，．    第六步 任务一：该同学解答第________步出现了错，错误的原因是________________．做这一步的依据是________________________ 任务二：写出用配方法解方程的正确过程． 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为1，继而边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．熟知配方法解一元二次方程的方法及一般步骤是解题的关键． 【详解】解：任务一：第三步开始出现错误；错误的原因是配方错误；等式的基本性质1； 故答案为：三；配方错误；等式的基本性质1； 任务二：配方法解方程的正确过程如下： ， ， ， ， ， ， 解得：，． 6.合作解决问题：1.下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得，① 二次项系数化为1，得，② 配方，得，，③ 由此可得，④ ，⑤ 整个解答过程是否正确？若不正确，第__________步开始出现错误， 错误的原因是____________________，这种方法解方程． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，由解题过程即可判断错误的步骤，根据配方法解一元二次方程即可得到答案，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：解答过程不正确，第①③步都出现错误，错误原因是右边没有除以2和右边没有加上1， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方，得：，即， 由此可得：， ， 故答案为：③，右边没有加上1． 1.（课本练习）填空： 2.（课本练习）解下列方程： 参考答案：1. 2. （5）无实数解； 1．（2020•泰安）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 【解析】∵， ∴， 则，即， ∴， 故选：A． 2.(2024·江苏连云港·中考真题)关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为____. 【详解]解:，配方，， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 故，． 3.（2022•徐州）解方程： 【详解]解：移项， 系数化为1， 配方， 由此，得， 方程解为： . 1.讨论方程的解情况： 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(Ⅱ)的形式，那么就有: (1)当时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根，； (2)当时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根； (3)当时，因为对任意实数，都有，所以方程(Ⅱ)无实数根. 2.配方法难点：将二次项系数化为1后方程两边同加上一次项系数一半的平方. 3.配方法的基本步骤： ①移项:将未知数和常数项分别移到等号的左右两边； ②系数化为1：将二次项系数化为1； ③配方：方程两边同加上一次项系数一半的平方，将方程化为的形式； ④转化：将一元二次方程降次转化为一元一次方程（当中时，方程无实数解）； ⑤写解：写出一元一次方程的解或说明无实数解。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$