第1章 三角形（基础类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（苏科版2024）

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第1章 三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、添加条件证全等 【解惑】如图，已知点，，，在同一条直线上， ，，添加下列条件后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在与中，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，与相交于点A，与相交于点B，，垂足为P．现要推理得出，若只添加一个条件，这个条件可以是 ，其判定依据为 ．（不作辅助线，写出一个即可）． 3．如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 类型二、三边关系 【解惑】下列各组数中，能构成三角形三边长的是（   ） A．1，1，2 B．2，3，6 C．1，2，2 D．3，4，7 【融会贯通】 1．一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 2．已知某三角形的三边长分别为，，，其中为正整数，则满足条件的值的和为 ． 3．已知是的三边，则化简： ． 类型三、全等三角形的性质 【解惑】如图，，且，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，已知，若，，则的长为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 3．如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 类型四、角平分线的性质 【解惑】如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．如图，在中，平分交于点D，于点E，若，，则的长为 ． 3．如图，平行，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，，求四边形的面积？ 类型五、垂直平分线的性质 【解惑】如图，DE垂直平分AC，△ABD的周长是，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，是的垂直平分线，，若的周长为，则 ． 3．如图，在中，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E．若，，求的长． 类型六、等腰三角形的性质 【解惑】如图，在中，，为边上两点，且满足，，连结，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在等腰三角形中，，点E，F在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，，则 ． 3．如图，在中，，点为中点，点在边上，连接． (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，已知．若点在边上，，求的长． 类型七、等边三角形的性质 【解惑】如图，点O是边长为3的等边一边上的一点，分别与两边垂直，则（    ） A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2 【融会贯通】 1．如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，和均为等边三角形，点在同一直线上，若，则的度数为 ． 3．如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，求的度数． 类型八、两个斜边一半——斜中定理 【解惑】如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6千米，则M，C两点间的距离为（    ） A．3千米 B．4千米 C．12千米 D．距离不确定 【融会贯通】 1．如图，在中，，，为边的中点，连接，过点作的平行线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为 ． 3．如图，在中，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明， 类型九、两个斜边一半——30°对应的直角边 【解惑】如图，在中，，垂直平分，分别交，于点，，平分，则的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【融会贯通】 1．如图，点P在的平分线上，于点C，，点D在边上，且，则线段的长度为（   ） A．3 B． C．1 D． 2．如图，在中，，点是的角平分线上一点，点在的内部，连接，使．若，，则 ． 3．如图，在中，，，于点D，如果，求的长． 类型十、尺规作图 【解惑】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 【融会贯通】 1．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，已知，作边的垂直平分线，交边于点M，交边于点N； (2)如图②，已知，作的平分线． 2．如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 3．阅读与思考 下面是果果同学的数学日记片段，请认真阅读并完成相应的任务． 3月28日   星期五   晴 对含角的三角形的进一步探索 在复习第一章《三角形的证明》时，我发现在基本的几何图形中，通过增加新的几何元素，会出现新的结论．下面是我对含角的三角形进行的一些探究．如图1，在中，，． 【初步探究】 如图2，在图1的基础上，作的角平分线，可以得到． 如图3，在图1的基础上，作边的垂直平分线分别交边于点D，E，也可以得到． 【深入探究】 如图4，在图1的基础上，作的高线，发现了线段与的数量关系． 【拓展延伸】 如图5，在中，，，我发现利用上面的探究结论可以用尺规作图找到边的三等分点． 任务： (1)求证：（从图2、图3中选择一个进行证明即可）； (2)请直接写出图4中线段与的数量关系； (3)请在图5中找到边的一个三等分点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、添加条件证全等 【解惑】如图，已知点，，，在同一条直线上， ，，添加下列条件后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理并能正确寻找全等三角形全等的条件．据此即可作出判断． 【详解】解：∵，， ∴， A．添加，根据可推出，故此选项不符合题意； B．添加，根据可推出，故此选项不符合题意； C．添加，可得，根据可推出，故此选项不符合题意； D．添加，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故此选项符合题意． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在与中，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等． 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．，不符合全等三角形的判定定理，不能推出与全等，故本选项符合题意； B．，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，符合两直角三角形全等的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，与相交于点A，与相交于点B，，垂足为P．现要推理得出，若只添加一个条件，这个条件可以是 ，其判定依据为 ．（不作辅助线，写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据已知条件，得到，且，根据全等三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，； 故答案为：，（答案不唯一） 3．如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（或或） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴即 又∵ 当时， 当时， 当时， 故答案为：或或． 类型二、三边关系 【解惑】下列各组数中，能构成三角形三边长的是（   ） A．1，1，2 B．2，3，6 C．1，2，2 D．3，4，7 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，属于基础题型，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键； 根据三角形的三边关系逐项判断即可得解. 【详解】解：A、因为，所以1，1，2的三个数不能构成三角形三边长； B、因为，所以2，3，6的三个数不能构成三角形三边长； C、因为，所以1，2，2的三个数能构成三角形三边长； D、因为，所以3，4，7的三个数不能构成三角形三边长； 故选：C. 【融会贯通】 1．一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．根据三角形的三边关系可得第三边长，再解可得第三边的范围，然后可得答案． 【详解】解：设第三边长为，由题意得： ， 解得：． 故选：B． 2．已知某三角形的三边长分别为，，，其中为正整数，则满足条件的值的和为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，8， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴的值为，，，，， ∴满足条件的值的和为， 故答案为：． 3．已知是的三边，则化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，整式化简，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可． 【详解】解：是的三边， ， ， 故答案为：． 类型三、全等三角形的性质 【解惑】如图，，且，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理以及三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，已知，若，，则的长为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 故选：C． 2．如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故答案为：． 3．如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）先根据全等三角形的性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得； （2）先根据平行线的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴． 类型四、角平分线的性质 【解惑】如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 【融会贯通】 1．如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线之间的距离， 作，可知点F，O，G三点共线，再根据角平分线的性质得，可得答案． 【详解】解：过点O作，分别交于点F，G， ∴， ∴点F，O，G三点共线． ∵分别是的平分线，且， ∴， ∴， ∴与两平行线之间的距离是6． 故选：C． 2．如图，在中，平分交于点D，于点E，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于H，先由三角形面积计算公式求出的长，再由角平分线的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 故答案为：2． 3．如图，平行，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，，求四边形的面积？ 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，过P作于Q，根据角平分线的性质可得出，根据证明，得出，同理得出，则，然后根据梯形面积公式求解即可． 【详解】解：过P作于Q， ∵平行，， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴四边形的面积为． 类型五、垂直平分线的性质 【解惑】如图，DE垂直平分AC，△ABD的周长是，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质定理，可得，从而得到，再由的周长为，可得到，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由作图可知：平分，由线段垂直平分线的性质得出，最后由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， 故选：B 2．如图，中，是的垂直平分线，，若的周长为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，进而由的周长为可得，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E．若，，求的长． 【答案】． 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得，根据角平分线的性质，求得的长，据此即可求解． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴，， ∵在中，，平分交于点D，， ∴， ∴． 类型六、等腰三角形的性质 【解惑】如图，在中，，为边上两点，且满足，，连结，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，设，，由等腰三角形性质得到，，在中，由三角形内角和定理可得①，再由得到②，解方程组即可得到答案．熟记等腰三角形性质、三角形内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解：设，， ，， ，， 在中，由三角形内角和定理可得， 即①， ， ，则②， 由②①得， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在中，分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义计算即可． 【详解】解：∵，是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 即的度数是． 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的中线和角平分线以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 2．如图，在等腰三角形中，，点E，F在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质．延长交于点G，延长交于点D，可得是等边三角形， ，进而可得，然后利用线段的和差关系可得，再利用等腰三角形的性质可得，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而在中，利用含30度角直角三角形的性质可得，据此进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点G，延长交于点D， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 3．如图，在中，，点为中点，点在边上，连接． (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，已知．若点在边上，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1或3 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证明，即可得出结论； （2）连接，过点O作于点G，于点H，由等腰直角三角形的性质得，平分，，则，，，得，，再分两种情况，①点F在线段上时，证明，得，则；②点F在线段上时，同理可证，得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H， 则， ∵，点O为中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： ①点F在线段上时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②点F在线段上时， 同理可证：， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或3． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 类型七、等边三角形的性质 【解惑】如图，点O是边长为3的等边一边上的一点，分别与两边垂直，则（    ） A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，由题意求出，利用直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵是边长为3的等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】过点D作，交于F，先证是等边三角形，再证，得，设，则，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可． 【详解】解：如下图，过点D作，交于F，   是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 点P为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明． 2．如图，和均为等边三角形，点在同一直线上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，由等边三角形的性质得到，则可证明，得到． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点． 先根据证明，再由三角形的外角性质即求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ． 类型八、两个斜边一半——斜中定理 【解惑】如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6千米，则M，C两点间的距离为（    ） A．3千米 B．4千米 C．12千米 D．距离不确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6千米， ∴千米， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，为边的中点，连接，过点作的平行线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．先证明是等边三角形，得出，根据，可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，为边的中点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据直角三角形的性质可知，再根据已知条件即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：． 3．如图，在中，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键， （1）根据题意补全图形即可； （2）证明即可得到结论； （3）延长到点G，使，连接．证明．得到．证明．得到，根据直角三角形的性质即可得到结论， 【详解】（1）解：补全图形如图． （2）证明：在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）．证明如下： 如图，延长到点G，使，连接． ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴ 在中，，F为的中点， ∴． ∴． 类型九、两个斜边一半——30°对应的直角边 【解惑】如图，在中，，垂直平分，分别交，于点，，平分，则的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【融会贯通】 1．如图，点P在的平分线上，于点C，，点D在边上，且，则线段的长度为（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含的直角三角形的性质等知识．正确掌握相关性质内容是解题的关键．如图，作于，则，，由，可得，则，，即可作答． 【详解】解：如图，作于， ∵点P在的平分线上，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即线段的长度为， 故选：C． 2．如图，在中，，点是的角平分线上一点，点在的内部，连接，使．若，，则 ． 【答案】14 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点G，根据已知易得：是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得，，进而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，，从而可得，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点G， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14． 3．如图，在中，，，于点D，如果，求的长． 【答案】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质，由题意可得，和中均含30度角，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型十、尺规作图 【解惑】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的判定，线段的垂直平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，作线段的垂直平分线交的角平分线于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 【融会贯通】 1．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，已知，作边的垂直平分线，交边于点M，交边于点N； (2)如图②，已知，作的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本作图，作一条线段的垂直平分线，作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握基本作图步骤． （1）根据作一条线段垂直平分线的基本作图方法作图即可； （2）根据作一个角的平分线的基本作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求； （2）解：如图②，射线即为所求． 2．如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线及等腰三角形的判定， （1）过点B作的垂线即可； （2）先证明，进而证明，即可证明结论； 【详解】（1）解：下图即为所求作． （2）解：为等腰三角形． 理由：在中，， ∴． ∵分别为边上的高线， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形． 3．阅读与思考 下面是果果同学的数学日记片段，请认真阅读并完成相应的任务． 3月28日   星期五   晴 对含角的三角形的进一步探索 在复习第一章《三角形的证明》时，我发现在基本的几何图形中，通过增加新的几何元素，会出现新的结论．下面是我对含角的三角形进行的一些探究．如图1，在中，，． 【初步探究】 如图2，在图1的基础上，作的角平分线，可以得到． 如图3，在图1的基础上，作边的垂直平分线分别交边于点D，E，也可以得到． 【深入探究】 如图4，在图1的基础上，作的高线，发现了线段与的数量关系． 【拓展延伸】 如图5，在中，，，我发现利用上面的探究结论可以用尺规作图找到边的三等分点． 任务： (1)求证：（从图2、图3中选择一个进行证明即可）； (2)请直接写出图4中线段与的数量关系； (3)请在图5中找到边的一个三等分点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线线的性质； （1）选择图2，过点D作，垂足为点E，根据角平分线的性质得到，然后根据的直角三角形的性质解答即可；选择图3，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后根据的直角三角形的性质解答即可； （2）根据的直角三角形的性质解答即可； （3）作边的垂直平分线或过点A作交于点P，根据的直角三角形的性质即可得到． 【详解】（1）选择图2 证明：过点D作，垂足为点E． 在中，， ． 又是的角平分线，， ． 在中，， ． ． ， ． 选择图3 证明：连接． 在中，， ． 是的垂直平分线， ． ． ． 在中，， ． ． ． ． （2）解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，点即为所求． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$