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2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第21章 二次根式 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．当时，二次根式的值是（　　） A．2 B． C．4 D． 2．的倒数是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算中，正确的是（  ） A． B． C． D． 4．函数中自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 5．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 6．若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则（   ） A． B． C． D． 7．如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近(　  　) A．A B．B C．C D．D 8．若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 9.已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．如图1，点为正方形中边的中点．动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则当点运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．4 C． D．2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是 ． 12．若的小数部分为，则的值为 ． 13．若，则 ． 14．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则 ． 15.请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴＝11；同样：∵1112＝12321，∴＝111；…由此猜想＝ ． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16．计算： (1)； (2)． 17．如图，已知实数在数轴上的对应点，请化简：． 18．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是 的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根 19．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． (1)大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． (2)求图中阴影部分的周长． 20．若 x，y 为实数，且 ． 求的值． 21．已知Rt△ABC的三边长分别为a，b，c，且a和b满足+b2-4b+4=0． （1）求a、b的长； （2）求△ABC的面积． 22．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度 h（单位：m）近似满足公式 t=（不考虑风速的影响） （1）从 50m 高空抛物到落地所需时间 t1 是多少 s，从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t2 是多少 s； （2）t2 是 t1 的多少倍？ （3）经过 1.5s，高空抛物下落的高度是多少？ 23．【规律探究题】观察下列运算： ①由，得； ②由，得； …… 问题： (1)______；______； (2)利用（1）中发现的规律计算： ． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第21章 二次根式 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．当时，二次根式的值是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了二次根式的求值，将代入所求二次根式，再求解即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：A． 2．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】倒数、分母有理化 【分析】此题考查倒数，分母有理化，根据乘积是1的两个数互为倒数，即可求解． 【详解】解：∵的倒数是 故选：A． 3．下列计算中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的除法，根据二次根式的性质、二次根式的除法法则逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4．函数中自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件.根据二次根式的性质和分式的意义即可求出x的范围． 【详解】解：由函数有意义，得： ， 解得且． 故选：B． 5．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较二次根式的大小、二次根式的乘法 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 6．若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】根据一次函数图象经过的象限确定a、b的符号，再利用绝对值的性质化简表达式． 本题考查了一次函数的图象分布，绝对值的化简，二次根式的化简，熟练掌握图象分布，二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， ∴ ， 7．如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近(　  　) A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、不等式的性质、实数与数轴、复合二次根式的化简 【分析】先估算出，再根据不等式的性质，得到，即可得到答案，此题考查了无理数的估算，实数与数轴，不等式的性质，熟练掌握方法是解题关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点C表示的数与最接近， 故选：C． 8．若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键． 由完全平方公式可得，再代入计算即可． 【详解】解：当时 ． 故选C． 9.已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 10．如图1，点为正方形中边的中点．动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则当点运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．4 C． D．2 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、根据正方形的性质求线段长、二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．结合两个图先求出，此时，即可得出答案． 【详解】解：由图可知，当动点P从点A出发运动到点B处时，运动路程为， 则正方形的边长为4， ， 当点P运动到中点时，E为边的中点， ， 此时， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是 ． 【答案】4 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】根据同类二次根式的概念列式计算，得到答案． 【详解】解：当5m+8=7时，m=-，不合题意， 当=2，即5m+8=28时，m=4， ∴与是同类二次根式，那么m的最小正整数是4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，把各二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，这样的二次根式称为同类二次根式． 12．若的小数部分为，则的值为 ． 【答案】5 【知识点】已知条件式，化简求值、无理数整数部分的有关计算 【分析】由已知求出a=，再将a的值代入所求式子即可． 【详解】解：∵的整数部分为3， ∴a=， ∴ 故答案为：5． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用及整式的混合运算，关键是求出a的值． 13．若，则 ． 【答案】10 【知识点】已知字母的值，化简求值、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值．先分母有理化求出，再根据完全平方公式变形，得到，最后整体代入求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：10． 14．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质、根据正方形的性质与判定求线段长、利用二次根式的性质化简、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，由全等三角形的性质可得，，， 即得，，进而得四边形是正方形，再利用勾股定理解答即可求解，掌握正方形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ∴， 15.请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴＝11；同样：∵1112＝12321，∴＝111；…由此猜想＝ ． 【答案】111111111 【知识点】二次根式的应用 【分析】被开方数是从1到n再到1（n≥1的连续自然数），算术平方根就等于几个1． 【详解】解：∵=111111111． 故答案为111111111． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算 【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，完全平方公式，平方差公式，准确计算． 17．如图，已知实数在数轴上的对应点，请化简：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、实数与数轴 【分析】本题考查了数轴上点的特点、绝对值和实数的运算与二次根式化简，根据数轴上点的位置判断出二次根式被开放数的正负与绝对值内的正负是解答本题的关键． 【详解】解：由题图可知， 所以原式 ． 18．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是 的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根 【答案】(1)，， (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，根据立方根和算术平方根求原数，无理数的估算，化简二次根式： （1）根据立方根和算术平方根的定义列出关于a、b的方程求出a、b的值，再根据无理数的估算方法求出c的值即可； （2）根据（1）所求先求出的值，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是3， ∴， ∴； ∵的算术平方根是4， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 19．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． (1)大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． (2)求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)5， (2) 【知识点】算术平方根的实际应用、二次根式的应用 【分析】（1）根据正方形的性质，利用求算术平方根的方法解答即可． （2）根据周长的定义，二次根式的乘法，加减混合计算解答即可． 【详解】（1）解：∵长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， 故答案为：5，． （2）解：根据题意，得阴影的周长为： ． 20．若 x，y 为实数，且 ． 求的值． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、已知条件式，化简求值 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可． 【详解】解：依题意得：且， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 21．已知Rt△ABC的三边长分别为a，b，c，且a和b满足+b2-4b+4=0． （1）求a、b的长； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）a=3，b=2；（2）3或． 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）根据完全平方公式整理，然后利用非负数的性质列式求解即可得到a、b的值； （2）分a是直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求出另一直角边，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）b2﹣4b+4＝0，配方得：（b﹣2）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝3，b＝2； （2）分两种情况讨论： ①a＝3是直角边时，2是直角边，△ABC的面积3×2＝3； ②a＝3是斜边时，另一直角边，△ABC的面积． 综上所述：△ABC的面积为3或． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，非负数的性质，配方法的应用以及勾股定理，难点在于（2）要分情况讨论． 22．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度 h（单位：m）近似满足公式 t=（不考虑风速的影响） （1）从 50m 高空抛物到落地所需时间 t1 是多少 s，从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t2 是多少 s； （2）t2 是 t1 的多少倍？ （3）经过 1.5s，高空抛物下落的高度是多少？ 【答案】（1）t1=（秒）；t2=2（秒）；（2）t2 是 t1 的倍；（3）下落的高度是 11.25 米． 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）将h=50代入t1=进行计算即可；将h=100代入t2=进行计算即可； （2）计算t2与t1的比值即可得出结论； （3）将t=1.5代入公式t=进行计算即可． 【详解】（1）当 h=50 时，t1= =（秒）； 当 h=100 时，t2===2（秒）； （2）∵=， ∴t2 是 t1 的倍． （3）当 t=1.5 时，1.5=， 解得 h=11.25， ∴下落的高度是 11.25 米． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 23．【规律探究题】观察下列运算： ①由，得； ②由，得； …… 问题： (1)______；______； (2)利用（1）中发现的规律计算： ． 【答案】(1)；（n为正整数） (2)2024 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律即可； （2）根据（1）中得出的规律进行变形，再根据二次根式的加法法则进行计算，最后根据平方差公式求出答案即可． 【详解】（1）， （n为正整数） （2）原式 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第21章 二次根式（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A D B D A C C B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．4 12．5 13．10 14． 15．111111111 三、解答题（共9小题，共72分） 16．（10分） 【解析】（1）解： （2分） （2分） （1分）； （2）解： （2分） （1分） （1分） ．（1分） 17．（9分） 【解析】解：由题图可知，（2分） 所以原式 ．（7分） 18．（9分） 【解析】 （1）解：∵的立方根是3， ∴， ∴；（2分） ∵的算术平方根是4， ∴， ∴；（2分） ∵， ∴， ∴；（2分） （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为．（3分） 19．（9分） 【解析】 （1）解：∵长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． ∴大正方形的边长为，（2分） 小正方形的边长为，（2分） （2）解：根据题意，得阴影的周长为： （2分） （2分） ．（1分） 20．（9分） 【解析】 解：依题意得：且， ∴， ∴，（4分） ∴，（1分） ∴，（1分） ∴．（3分） 21．（9分） 【解析】（1）b2﹣4b+4＝0，配方得：（b﹣2）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣2＝0， 解得：a＝3，b＝2；（4分） （2）分两种情况讨论： ①a＝3是直角边时，2是直角边，△ABC的面积3×2＝3；（2分） ②a＝3是斜边时，另一直角边，△ABC的面积．（2分） 综上所述：△ABC的面积为3或．（1分） 22．（10分） 【解析】（1）当 h=50 时， t1= =（秒）；（2分） 当 h=100 时， t2===2（秒）；（2分） （2）∵=， ∴t2 是 t1 的倍．（3分） （3）当 t=1.5 时，1.5=， 解得 h=11.25， ∴下落的高度是 11.25 米．（3分） 23．（10分） 【解析】（1），（2分） （n为正整数）（3分） （2）原式 （5分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第21章 二次根式 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．当时，二次根式的值是（　　） A．2 B． C．4 D． 2．的倒数是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算中，正确的是（  ） A． B． C． D． 4．函数中自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 5．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 6．若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则（   ） A． B． C． D． 7．如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近(　  　) A．A B．B C．C D．D 8．若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 9.已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．如图1，点为正方形中边的中点．动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则当点运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．4 C． D．2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是 ． 12．若的小数部分为，则的值为 ． 13．若，则 ． 14．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则 ． 15.请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴＝11；同样：∵1112＝12321，∴＝111；…由此猜想＝ ． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16．计算： (1)； (2)． 17．如图，已知实数在数轴上的对应点，请化简：． 18．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是 的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根 19．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． (1)大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． (2)求图中阴影部分的周长． 20． 若 x，y 为实数，且 ． 求的值． 21．已知Rt△ABC的三边长分别为a，b，c，且a和b满足+b2-4b+4=0． （1）求a、b的长； （2）求△ABC的面积． 22．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度 h（单位：m）近似满足公式 t=（不考虑风速的影响） （1）从 50m 高空抛物到落地所需时间 t1 是多少 s，从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t2 是多少 s； （2）t2 是 t1 的多少倍？ （3）经过 1.5s，高空抛物下落的高度是多少？ 23．【规律探究题】观察下列运算： ①由，得； ②由，得； …… 问题： (1)______；______； (2)利用（1）中发现的规律计算： ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$