增分微练4　空间中的动态问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

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增分微练4　空间中的动态问题 1.已知点P是正四面体ABCD内的动点,E是棱CD的中点,且点P到棱AB和棱CD的距离相等,则点P的轨迹被平面ABE所截得的图形为 (　 ) A.线段 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 2.如图,在正四棱锥S-ABCD中,E是BC的中点,点P在△SCD内及其边界上运动,并且总有PE⊥AC,则动点P的轨迹与△SCD组成的图形是 (　 ) A B C D 3.在△ABC中,BC=,AB=1,tan∠ABC=-2,将△ABC绕AB旋转至△ABP处,使平面ABP⊥平面ABC,则在旋转的过程中,点C的运动轨迹的长度为 (　 ) A.π B. C.2π D. 4.如图,在三棱锥A-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,∠A1B1C1=90°,A1B1=2A1A=2B1C1=2,P为棱AB1的中点,M,N分别为棱AC1和棱B1C1上任意一点,则PM+MN的最小值为 (　 ) A. B. C. D.2 5.(多选题)如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E为AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折至△A1DE(A1∉平面ABCD),若M为A1C的中点,则在△ADE翻折过程中,下列结论正确的是 (　 ) A.∶=1∶3 B.存在某个位置,使DE⊥A1C C.总有BM∥平面A1DE D.线段BM的长为定值 6.(多选题)如图所示的几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到的,设G是的中点,H是上的动点(含端点),则 (　 ) A.存在点H,使得EH⊥BG B.不存在点H,使得EH∥BD C.存在点H,使得EH∥平面BDG D.不存在点H,使得直线EH与平面BDG所成的角为30° 7.(多选题)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P在线段BD1上运动(包括端点),下列结论正确的有 (　 ) A.AP⊥B1C B.PD⊥BC C.直线PC1与平面A1BCD1所成角的最小值是 D.PC+PD的最小值为2 8.如图,在三棱锥P-ABC中,底面ABC是边长为2的正三角形,PA=PB=3,转动点P时,三棱锥P-ABC的最大体积为　　　　.  9.已知正四面体ABCD的棱长为3,底面BCD所在平面上一动点P满足AP=2,则点P的轨迹长度为　　　　.  10. 在平面四边形PBCD中,PB=PD=,BC=1,CD=2,BD=3,沿BD将△PBD向上翻折,得到四面体ABCD,则四面体ABCD体积的最大值为　　　　;若二面角A-BD-C的大小为120°,则AC2=　　　　. 参考答案 1.D　[解析] 由题易知平面ABE与CD垂直,则在平面ABE中,点P到棱AB和棱CD的距离即为点P到棱AB与点E的距离,由抛物线的定义,可知点P的轨迹被平面ABE所截得的图形是抛物线的一部分.故选D. 2.A　[解析] 分别取CD,CS的中点F,Q,连接BD,EQ,FQ,EF,∵E为BC的中点,∴EF∥BD,又EF⊄平面SBD,BD⊂平面SBD,∴EF∥平面SBD.同理,EQ∥平面SBD,又EF∩EQ=E,EF⊂平面EFQ,EQ⊂平面EFQ,∴平面EFQ∥平面SBD.易得AC⊥平面SBD,∴AC⊥平面EFQ,当点P∈FQ时,总有PE⊥AC,∴点P的轨迹是△SCD的中位线FQ.故选A. 3.A　[解析] 如图,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,连接PD,PC,则PD⊥AB,∵平面ABP⊥平面ABC,平面ABP∩平面ABC=AB,PD⊂平面ABP,∴PD⊥平面ABC,又CD⊂平面ABC,∴PD⊥CD,又BC=,AB=1,tan∠ABC=-2,∴tan∠CBD=2,∠CBD为锐角.∵tan∠PBD=tan∠CBD==2,PD2+BD2=BP2=5,∴PD=2,在旋转的过程中,点C的运动轨迹是以D为圆心,2为半径的圆的,其长度为×2π×2=π.故选A. 4.C　[解析] ∵AA1⊥平面A1B1C1,∴AA1⊥B1C1,又∠A1B1C1=90°,∴A1B1⊥B1C1,又∵AA1∩A1B1=A1,∴B1C1⊥平面AA1B1,∴B1C1⊥AB1.在Rt△AA1B1中,AB1==.如图,在Rt△AB1C1中,过点M分别作MM'⊥AB1,MN'⊥B1C1,垂足分别为M',N',∵△C1MN'∽△C1AB1,∴=,∴C1N'=,∴PM+MN=≥=(MM'+C1N')=.故选C. 5.ACD　[解析] 设点A1到平面BEDC的距离为h,点D到AB的距离为h',则∶=×S△ADE×h∶S梯形EBCD×h=S△ADE∶S梯形EBCD=×AE×h'∶×h'=1∶3,故A正确;连接CE,假设存在某个位置,使DE⊥A1C,设AD=1,则DE=,CE=,DC=2,∴DE2+CE2=DC2,即DE⊥CE,又A1C∩CE=C,∴DE⊥平面A1CE,又A1E⊂平面A1CE,∴DE⊥A1E,与∠DEA1=45°矛盾,∴假设不成立,故B错误;取CD的中点F,连接MF,BF,则MF∥A1D且MF=A1D,BF∥ED且BF=ED,由MF∥A1D与BF∥ED,易证平面MFB∥平面A1DE,又BM⊂平面MFB,∴总有BM∥平面A1DE,故C正确;∠MFB=∠A1DE,由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF·FB·cos∠MFB是定值,即BM的长为定值,故D正确.故选ACD. 6.ABC　[解析] 由题意可将图形补全为一个正方体ADMF-BCNE,如图所示.对于A,因为EF⊥平面BCNE,BG⊂平面BCNE,所以EF⊥BG,所以当F,H重合时,EH⊥BG,故A正确;对于B,连接EM,易知BD∥EM,假设EH∥BD,则EH∥EM,又EH∩EM=E,所以EH,EM重合,又H是上的动点,所以EH,EM不可能重合,所以EH∥BD不成立,故B正确;对于C,以A为坐标原点,AD,AF,AB所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=2,则A(0,0,0),D(2,0,0),B(0,0,2),E(0,2,2),F(0,2,0),G(,,2),设H(m,n,0),所以=(2,0,-2),=(,,0),=(m,n-2,-2),设n=(x,y,z)为平面BDG的法向量,则即令x=1,得n=(1,-1,1),假设EH∥平面BDG,则n·=m-n+2-2=0,所以m=n,因为m2+n2=4,m>0,n>0,所以m=n=,即H是的中点,符合题意,所以存在点H,使得EH∥平面BDG,故C正确;对于D,当点H与点F重合时,直线EH与平面BDG所成角最大,因为==(0,0,-2),所以cos<n,>===-,此时直线EH与平面BDG所成角的正弦值为,由>,得直线EH与平面BDG所成的最大角大于30°,所以存在点H,使得直线EH与平面BDG所成的角为30°,故D错误.故选ABC. 7.ACD　[解析] 连接AD1,BC1,则B1C⊥BC1,B1C⊥C1D1,又BC1∩C1D1=C1,所以B1C⊥平面ABC1D1,因为AP⊂平面ABC1D1,所以AP⊥B1C,故A正确;连接BD,B1D1,假设PD⊥BC,又BC⊥DD1,PD∩DD1=D,所以BC⊥平面BDD1B1,则BC⊥BD,由题可知∠CBD=,故假设不成立,故B错误;连接C1D,则C1D⊥D1C,C1D⊥A1D1,又D1C∩A1D1=D1,所以DC1⊥平面A1BCD1,设D1C∩ DC1=O,连接PO,则∠C1PO为直线PC1与平面A1BCD1所成的角,且0<∠C1PO<,sin∠C1PO==,当P在B处时,C1P取到最大值2,此时sin∠C1PO=,故∠C1PO的最小值为,故C正确;连接PA1,A1C,则PC+PD=PC+PA1≥A1C=2,故D正确.故选ACD. 8.　[解析] 当点P到平面ABC的距离最大时,三棱锥P-ABC的体积最大,此时平面PAB⊥平面ABC,取AB的中点D,连接PD,则PD⊥平面ABC,且PD=2,此时三棱锥P-ABC的体积V=××4×2=,故三棱锥P-ABC的最大体积为. 9.2π　[解析] 因为正四面体ABCD的棱长为3,所以侧面ABC上BC边上的高为<2,所以点P的轨迹为圆.因为点A到平面BCD的距离为=,所以点P的轨迹是半径为=的圆,所以点P的轨迹长度为2π. 10.　3+　[解析] 取BD的中点O,连接AO,由题知,当平面ABD⊥平面BCD时,四面体ABCD的体积最大,∵BC=1,CD=2,BD=3,∴BC2+CD2=BD2,∴∠BCD=90°,∴S△BCD=BC·CD=.∵AB=AD=,BD=3,∴△ABD为等腰三角形,则AO⊥BD,∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,∴AO⊥平面BCD,又AO=,∴四面体ABCD体积的最大值为××=.如图,过点O作OF⊥BD交CD于点F,过点C作CE⊥BD于点E,∴OF∥CE,易知EC=,DE=,OE=,∴与的夹角即为二面角A-BD-C的平面角,∴<,>=120°.∵=++,∴AC2=||2=(++)2=+++2·+2·+2·=+++2×××=+++=3+. 学科网（北京）股份有限公司 $$