第19章 一次函数 一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系专项练习 2024~2025学年人教版八年级数学下册

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专项练习：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系 类型一：一次函数与一元一次方程的关系 【例1】若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣0.5 C．x＝﹣3 D．x＝﹣4 【分析】根据图象得出一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标的横坐标，即可得出方程的解． 【解答】解：∵从图象可知：一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0）， ∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2， 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用kx+b＝0解答． 【变式】若一次函数y＝ax+b（a，b为常数且a≠0）满足如表，则方程ax+b＝0的解是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4 A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝3 【分析】方程ax+b＝0的解为y＝0时函数y＝ax+b的x的值，根据图表即可得出此方程的解． 【解答】解：由表格可得：当y＝0时，x＝1， ∴方程ax+b＝0的解是x＝1 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系：方程ax+b＝0的解为函数值y＝0时函数y＝ax+b自变量x的取值． 【例2】如图所示，已知点A（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b（k≠0）图象上的一点，则方程kx+b＝2的解是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．无法确定 【分析】直接利用函数图象结合点的坐标得出答案． 【解答】解：∵点A（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b（k≠0）图象上的一点， ∴方程kx+b＝2的解是：x＝﹣1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合是解题关键． 【例3】如图，已知一次函数y＝ax﹣1与y＝mx+4的图象交于点A（3，1），则关于x的方程ax﹣1＝mx+4的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝4 【分析】根据方程的解即为函数图象的交点坐标解答． 【解答】解：∵一次函数y＝ax﹣1与y＝mx+4的图象交于点P（3，1）， ∴ax﹣1＝mx+4的解是x＝3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程的解． 【变式1】如图，函数y＝mx+n和y＝﹣2x的图象交于点A（a，4），则方程mx+n＝﹣2x的解是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝﹣4 D．不确定 【分析】把A（a，4）代入y＝﹣2x求得a的值，得出A（﹣2，4），根据方程的解就是两函数图象交点的横坐标即可得出答案． 【解答】解：∵y＝﹣2x的图象过点A（a，4）， ∴4＝﹣2a，解得a＝﹣2， ∴A（﹣2，4）， ∵函数y＝mx+n和y＝﹣2x的图象交于点A（﹣2，4）， ∴方程mx+n＝﹣2x的解是x＝﹣2． 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一次函数与一元一次方程的关系． 【变式2】如图，已知一次函数y＝kx﹣b与y＝x的图象相交于点A（a，1），则关于x的方程（k﹣）x＝b的解x＝　3　． 【分析】把A（a，1）代入y＝求出a，根据A点的横坐标，即可求出答案． 【解答】解：把A（a，1）代入y＝得：1＝a， 解得a＝3， ∴A（3，1）， ∴根据图象信息可得关于x的方程kx﹣b＝x的解为3， ∴关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝3． 故答案为3． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中． 类型二：一次函数与二元一次方程组的关系 【例4】如图，函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据两图象的交点坐标满足方程组，方程组的解就是交点坐标． 【解答】解：由图可知，交点坐标为（﹣3，﹣2）， 所以方程组的解是． 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先将点A的横坐标代入y＝x+3求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解． 【解答】解：∵直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b）， ∴当x＝﹣1时，b＝﹣1+3＝2， ∴点A的坐标为（﹣1，2）， ∴关于x、y的方程组的解是， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系． 类型三：一次函数与不等式的关系 【例5】如图，直线y＝kx﹣b与横轴、纵轴的交点分别是（m，0），（0，n），则关于x的不等式kx﹣b≥0的解集为（　　） A．x≥m B．x≤m C．x≥n D．x≤n 【分析】求kx﹣b≥0的解集，就是求函数值大于0时，x的取值范围． 【解答】解：∵要求kx﹣b≥0的解集， ∴从图象上可以看出等y＞0时，x≥m． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，解题时应结合函数和不等式的关系找出正确的答案． 【变式1】如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＜0的解集为（　　） A．x B．x＜ C．x＞3 D．x＜3 【分析】首先把A点坐标代入一次函数解析式，算出b的值，进而可求出B点坐标，再结合图象可得不等式﹣2x+b＜0的解集． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象过A（0，3）， ∴b＝3， ∴函数解析式为y＝﹣2x+3， 当y＝0时，x＝， ∴B（，0）， ∴不等式﹣2x+b＜0的解集为x＞， 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出B点坐标，掌握数形结合思想． 【变式2】若函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式﹣kx+b＜0的解集是（　　） A．x＜﹣6 B．x＞﹣6 C．x＜6 D．x＞6 【分析】观察函数图象得到即可． 【解答】解：由图象可知函数y＝kx+b与x轴的交点为（6，0），则函数y＝﹣kx+b与x轴的交点为（﹣6，0），且y随x的增大而增大， ∴当x＜﹣6时，﹣kx+b＜0， 所以关于x的不等式﹣kx+b＜0的解集是x＜﹣6， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【例6】如图，直线y＝kx+b分别交x轴、y轴于点A、C，直线y＝mx+n分别交x轴、y轴于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，2），则不等式kx+b≤mx+n的解集为（　　） A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≥2 D．x≤2 【分析】结合函数图象，写出直线y＝kx+b不在直线y＝mx+n的上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：根据函数图象，当x≤﹣1时，kx+b≤mx+n， 所以不等式kx+b≤mx+n的解集为x≤﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【变式1】如图，直线y＝2x+1和y＝kx+3相交于点A（m，），则不等式关于x的不等式kx+3≤2x+1的解集为（　　） A．x≥ B．x≥ C．x≤ D．x≤ 【分析】先把点A（m，）代入直线y＝2x+1求出m的值，故可得出A点坐标，再根据函数图象进行解答即可． 【解答】解：∵直线y＝2x+1和y＝kx+3相交于点A（m，）， ∴＝2m+1，解得m＝， ∴A（，）， 由函数图象可知，当x≥时，直线y＝2x+1的图象不在直线y＝kx+3的图象的下方， ∵当x≥时，kx+3≤2x+1． 故选：B． 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 【变式2】如图，一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象相交于A（3，2），则不等式（k2﹣k1）x+b2﹣b1＞0的解集为　x＜3　． 【分析】将所求不等式进行变形，可得：（k2﹣k1）x+b2﹣b1＞0⇒k2x+b2﹣（k1x+b1）＞0，即y2＞y1；然后根据图象观察，得出符合条件的x的取值范围． 【解答】解：由图知：x＜3时，y1＜y2，即y2﹣y1＞0； ∴当x＜3时，k2x+b2﹣（k1x+b1）＞0； 化简得：（k2﹣k1）x+b2﹣b1＞0； 因此所求不等式的解集为：x＜3． 【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 类型四：一次函数与不等式组的关系 【例7】如图，已知直线y＝mx过点A（﹣2，﹣4），过点A的直线y＝nx+b交x轴于点B（﹣4，0），则关于的不等式组nx+b≤mx＜0的解集为（　　） A．x≤﹣2 B．﹣4＜x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣2≤x＜0 【分析】由图象可求解． 【解答】解：由图象可知，当﹣2≤x＜0时，直线y＝nx+b在直线直线y＝mx下方，且都在x轴下方， ∴当﹣2≤x＜0时，nx+b≤mx＜0，故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，理解图象是本题的关键． 【变式】如图，直线y＝x+m与y＝nx﹣5n（n≠0）的交点的横坐标为3，则关于x的不等式x+m＞nx﹣5n＞0的整数解为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】令y＝0可求出直线y＝nx﹣5n与x轴的交点坐标，根据两函数图象与x轴的上下位置关系结合交点横坐标即可得出不等式x+m＞nx﹣5n＞0的解，找出其内的整数即可． 【解答】解：当y＝0时，nx﹣5n＝0， 解得：x＝5， ∴直线y＝nx﹣5n与x轴的交点坐标为（5，0）． 观察函数图象可知：当3＜x＜5时，直线y＝x+m在直线y＝nx﹣5n的上方，且两直线均在x轴上方， ∴不等式x+m＞nx﹣5n＞0的解为3＜x＜5， ∴不等式x+m＞nx﹣5n＞0的整数解为4． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项练习：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系 类型一：一次函数与一元一次方程的关系 【例1】若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣0.5 C．x＝﹣3 D．x＝﹣4 【变式】若一次函数y＝ax+b（a，b为常数且a≠0）满足如表，则方程ax+b＝0的解是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4 A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝3 【例2】如图所示，已知点A（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b（k≠0）图象上的一点，则方程kx+b＝2的解是 . 【例3】如图，已知一次函数y＝ax﹣1与y＝mx+4的图象交于点A（3，1），则关于x的方程ax﹣1＝mx+4的解是 . 【变式1】如图，函数y＝mx+n和y＝﹣2x的图象交于点A（a，4），则方程mx+n＝﹣2x的解是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝﹣4 D．不确定 【变式2】如图，已知一次函数y＝kx﹣b与y＝x的图象相交于点A（a，1），则关于x的方程（k﹣）x＝b的解x＝　 　． 类型二：一次函数与二元一次方程组的关系 【例4】如图，函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝mx+n交于点 A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为　 　． 类型三：一次函数与不等式的关系 【例5】如图，直线y＝kx﹣b与横轴、纵轴的交点分别是（m，0），（0，n），则关于x的不等式kx﹣b≥0的解集为（　　） A．x≥m B．x≤m C．x≥n D．x≤n 【变式1】如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＜0的解集为（　　） A．x B．x＜ C．x＞3 D．x＜3 【变式2】若函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式﹣kx+b＜0的解集是（　　） A．x＜﹣6 B．x＞﹣6 C．x＜6 D．x＞6 【例6】如图，直线y＝kx+b分别交x轴、y轴于点A、C，直线y＝mx+n分别交x轴、y轴于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，2），则不等式kx+b≤mx+n的解集为（　　） A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≥2 D．x≤2 【变式1】如图，直线y＝2x+1和y＝kx+3相交于点A（m，），则不等式关于x的不等式kx+3≤2x+1的解集为（　　） A．x≥ B．x≥ C．x≤ D．x≤ 【变式2】如图，一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象相交于A（3，2），则不等式（k2﹣k1）x+b2﹣b1＞0的解集为　 　． 类型四：一次函数与不等式组的关系 【例7】如图，已知直线y＝mx过点A（﹣2，﹣4），过点A的直线y＝nx+b交x轴于点B（﹣4，0），则关于的不等式组nx+b≤mx＜0的解集为 . 【变式】如图，直线y＝x+m与y＝nx﹣5n（n≠0）的交点的横坐标为3，则关于x的不等式x+m＞nx﹣5n＞0的整数解为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2 学科网（北京）股份有限公司 $$