课时作业(5) 等差数列的前n项和（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

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c [基础达标练] 1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　 ) A．230　　　　　　　　 B．420 C．450 D．540 解析：选B　S20＝20×2＋×2＝420． 2．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于(　　 ) A．18 B．27 C．36 D．45 解析：选C　S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36． 3．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　 ) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：选B　由题意奇数项和S 奇＝＝＝(n＋1)an＋1＝165，① 偶数项和S偶＝＝＝nan＋1＝150，② 可得＝，解得n＝10．故选B． 4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________． 解析：设{an}的公差为d，则 解得于是an＝2＋(n－1)×2＝2n． 答案：2n 5．《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)． 解析：由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30＝390，设其公差为d，则S30＝30×5＋d＝390，解得d＝．故该女子织布每天增加尺． 答案： 6．若等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝________． 解析：＝＝＝＝ ＝＝． 答案： 7．已知等差数列{an}满足：a3＝6，a2＋a5＝14，{an}的前n项的和为Sn，求an及Sn． 解：由得 解得 所以an＝2＋(n－1)×2＝2n， Sn＝na1＋d＝2n＋n(n－1)＝n2＋n． 8．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an>0，且Sn＝a＋an－． (1)证明：{an}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－， 解得a1＝3或a1＝－1(舍去)． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)． 所以4an＝a－a＋2an－2an－1， 即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝2(n≥2)． 所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1． [能力提升练] 9．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　 ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：选B　等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝An2＋Bn， ∴λ＝－1． 10．在等差数列{an}中，a1＝－2 020，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 020的值等于(　　 ) A．－2 020 B．－2 019 C．2 019 D．2 020 解析：选A　∵－＝2， ∴－＝2， 故a14－a12＝4，∴2d＝4，d＝2． ∴S2 020＝2 020a1＋×2＝－2 020． 11．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________． 解析：当n＝1时，S1＝a1＝－1，所以＝－1．因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以－＝1，即－＝－1，所以是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝(－1)＋(n－1)·(－1)＝－n，所以Sn＝－． 答案：－ 12．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________． 解析：因为{an}是等差数列， 所以am－1＋am＋1＝2am． 由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0． 由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2． 又S2m－1＝38，即＝38， 即(2m－1)×2＝38，解得m＝10． 答案：10 13．已知等差数列{an}的公差d >0，设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36． (1)求d及Sn； (2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65． 解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36， 将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5． 因为d>0，所以d＝2． 从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)． (2)由(1)得，am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)， 所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65． 由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1， 故解得 即所求m的值为5，k的值为4． [素养拓展练] 14．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值． 解：(1)∵S4＝28，∴＝28， a1＋a4＝14，a2＋a3＝14，又a2a3＝45，公差d>0， ∴a2<a3，∴a2＝5，a3＝9， ∴解得∴an＝4n－3． (2)由(1)，知Sn＝2n2－n， ∴bn＝＝， ∴b1＝，b2＝，b3＝． 又{bn}也是等差数列，∴b1＋b3＝2b2， 即2×＝＋， 解得c＝－(c＝0舍去)． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$