1.4绝对值 【题型1】基于绝对值定义的单一数值求解 1.核心知识点总结 绝对值的几何定义：数轴上表示数的点与原点的距离，记作； 绝对值的代数性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0(即)。 2.高频考点梳理 求具体有理数的绝对值(如负整数、分数、小数)； 特殊数的绝对值(如、(按有理数近似值处理))。 3.易错点警示 混淆“负数的绝对值”与“绝对值的负数”(如误将算成)； 忽略“0的绝对值是0”，误将归为正数或负数。 4.解题技巧拆解 第一步：判断目标数的正负性(正数/0/负数)； 第二步：根据代数性质直接求解(正数/0取本身，负数取相反数)。 【例题1】．（2024-2025•大庆）﹣2025的绝对值是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【变式1-1】．（2024-2025•岳西县期末）|﹣2024|的值是（　　） A． B．2024 C． D．﹣2024 【变式1-2】．（2024-2025•攀枝花）2的绝对值是（　　） A．﹣2 B．2 C． D．±2 【变式1-3】．（2024-2025•平舆县校级期末）若一个数的绝对值是4，则这个数是（　　） A．4 B．或 C．4或﹣4 D． 【题型2】结合相反数的绝对值关联判断 1.核心知识点总结 相反数的定义：只有符号不同的两个数(如与)； 关键关联：互为相反数的两个数绝对值相等(即)。 2.高频考点梳理 判断两个数是否互为相反数且绝对值相等(如与、与)； 已知一个数的相反数，求其绝对值(如已知的相反数是，求)。 3.易错点警示 误将“绝对值相等的数”等同于“互为相反数”(如，但与不是相反数)； 忽略“0的相反数是0”，误将的相反数归为非0数。 4.解题技巧拆解 若判断“互为相反数”：先验证符号相反，再验证绝对值相等； 若已知相反数求绝对值：先求原数(相反数的相反数)，再求绝对值。 【例题2】．（2024-2025•滁州校级模拟）若一个有理数满足：它的绝对值大于它的相反数，则这个有理数可以是（　　） A．0 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【变式2-1】．（2024-2025•成华区校级月考）若a与3互为相反数，则|a|＝（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【变式2-2】．（2024-2025•洪雅县期末）如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是（　　） A．负数 B．负数或零 C．正数或零 D．正数 【变式2-3】．（2024-2025•铁岭县期末）如果的相反数恰好是有理数a的绝对值，那么a的值是　 　 ． 【题型3】绝对值在实际质量/误差问题中的应用 1.核心知识点总结 实际意义：绝对值表示“与标准值的偏差程度”，绝对值越小，越接近标准； 应用逻辑：超过标准记为正数，不足记为负数，通过比较绝对值大小判断偏差。 2.高频考点梳理 零件/食品质量偏差比较(如零件直径误差、，判断最接近标准的零件)； 体育用品(如排球、足球)重量误差分析(如误差、，选择质量最优的)。 3.易错点警示 关注偏差的“正负”而非绝对值(如误将当作比更接近标准，实际)； 单位混淆(如误将“毫米”当作“厘米”，导致偏差判断错误)。 4.解题技巧拆解 第一步：提取所有误差数据，计算每个数据的绝对值； 第二步：比较绝对值大小，绝对值最小的即为最接近标准的选项。 【例题3】．（2024-2025•潮阳区模拟）某工厂加工一种精密零件，图纸上对其直径的要求标注为“40±0.05mm”，则下列零件不合格的是（　　） A．40mm B．39.95mm C．40.15mm D．40.02mm 【变式3-1】．（2024-2025•皇姑区二模）一实验室检测A，B，C，D四个零件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的零件是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】．（2024-2025•中山市期末）如果实际值为a，测量值为b，我们把|a﹣b|称为绝对误差，称为相对误差．若有一种零件实际长度为10.0cm，测量得9.9cm，则测量所产生的相对误差是 　 　 ． 【变式3-3】．（2024-2025•鄂尔多斯一模）如图，检测5袋面粉的质量，其中质量超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数．小明根据下面检测过的五袋面粉上方标注的数字，很快确定了其中质量最接近标准的一袋，能对小明的判断作出最好解释的数学概念是（　　） A．负数 B．相反数 C．正数 D．绝对值 【题型4】含字母的绝对值代数化简 1.核心知识点总结 分类讨论依据：根据字母的正负性(、、)确定绝对值化简结果； 化简规则：时，时，时。 2.高频考点梳理 已知字母范围的化简(如，化简、)； 含简单代数式的化简(如，化简；，化简)。 3.易错点警示 未判断字母范围直接化简(如默认，忽略时应为)； 化简“”时，误将的正负等同于的正负(如、，，)。 4.解题技巧拆解 第一步：明确字母或代数式的取值范围(题目直接给出或隐含推导)； 第二步：判断绝对值内式子的正负性； 第三步：根据正负性去绝对值符号(正数/0取本身，负数取相反数)。 【例题4】．（2024-2025•河东区期末）若x≤﹣2，则化简|x+2|﹣|x﹣3|结果为（　　） A．5 B．﹣5 C．2x﹣1 D．1﹣2x 【变式4-1】．（2024-2025•房山区期末）若1＜a＜4，则化简|1﹣a|+|4﹣a|的结果为（　　） A．2a﹣5 B．5﹣2a C．3 D．﹣3 【变式4-2】．（2024-2025•汾阳市期末）如图a，b在数轴上的位置如图所示．化简：|c﹣a|+|a+b|﹣|b|结果是（　　） A．c B．c﹣2a C．﹣c D．c+2b 【变式4-3】A．2b B．2a C．2a﹣2c D．2a+2b 【题型5】绝对值与有理数大小比较的综合(提升) 1.核心知识点总结 大小比较法则：正数>0>负数；两个负数，绝对值大的反而小； 结合逻辑：先通过绝对值判断负数的大小，再整合正数、0排序。 2.高频考点梳理 多个有理数混合比较(如比较、、、的大小，先算绝对值、，得)； 含绝对值的数比较(如比较与、与)。 3.易错点警示 比较两个负数时忽略“绝对值大的反而小”(如误将当作比大，实际，故)； 混淆“绝对值的大小”与“原数的大小”(如误将当作)。 4.解题技巧拆解 第一步：将所有数分类(正数、0、负数)； 第二步：正数内部直接比较，负数内部先算绝对值再反向比较； 第三步：按“负数<0<正数”的顺序整合，用“<”或“>”连接。 【例题5】．（2024-2025•阳谷县校级月考）如果|a|＝6，|b|＝8，比较a，b的大小． 【变式5-1】．（2024-2025•常州期中）比较大小：﹣（﹣1 ） 　 　 ﹣|﹣1.35|．（填“＜”、“＞”或“＝”） 【变式5-2】．（2024-2025•乐清市校级月考）已知|a|，|b|，求a，b的值，并比较它们的大小． 【变式5-3】．（2024-2025•明水县校级期中）比较、、﹣|﹣1|的大小关系，再按从大到小的顺序用“＞”连起来为　 　 ． 【题型6】多重符号与绝对值的混合化简(提升) 1.核心知识点总结 多重符号化简规则：“负负得正，正负得负”，最终符号由负号的个数决定(奇数个负号为负，偶数个为正)； 混合逻辑：先化简多重符号，再求绝对值；或先求内层绝对值，再化简外层符号。 2.高频考点梳理 内层为单一数的化简(如、)； 内层含代数式的化简(如，已知)。 3.易错点警示 符号化简顺序错误(如化简时，先算，再算，最后算，误直接算)； 忽略内层代数式的正负(如时，，误将化简为)。 4.解题技巧拆解 第一步：从最内层开始，先化简括号内的符号(多重符号)； 第二步：计算内层结果的绝对值； 第三步：化简绝对值外层的符号(若有负号，最终结果取相反数)。 【例题6】．（2024-2025•灵丘县校级月考）化简下列各式： （1）﹣|﹣8|； （2）﹣（﹣0.78）； （3）； （4）+[﹣（﹣3.5）]． 【变式6-1】．（2024-2025•利津县月考）化简： （1）+|﹣5|； （2）|﹣（+7）|； （3）﹣|﹣8|； （4）﹣|﹣a|（a＜0）． 【变式6-2】．（2024-2025•琼中县校级月考）化简： ①+（+2）＝　 　 ； ②﹣（+6）＝　 　 ； ③﹣|﹣9|＝　 　 ； ④﹣[﹣（﹣5）]＝　 　 ． 【变式6-3】．（2024-2025•乐至县校级月考）化简下列各数： （1）﹣（）＝　 　 ； （2）﹣[﹣（+9）]＝　 　 ； （3）﹣（）＝　 　 ； （4）﹣[﹣（﹣3）]＝　 　 ； （5）﹣{+[﹣（+3）]}＝　 　 ； （6）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}＝　 　 ． 【题型7】绝对值非负性的进阶求值(提升) 1.核心知识点总结 非负性定义：对任意有理数，(绝对值为正数或0)； 核心性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0(如，则且)。 2.高频考点梳理 两个非负数和为0的求值(如，求)； 含简单代数式的非负性应用(如，求)。 3.易错点警示 忽略“非负数”的范围(如误将当作非负数，实际本身是非负数，是时的化简结果)； 漏解“多个非负数和为0”的条件(如，只令、，忽略)。 4.解题技巧拆解 第一步：识别所有非负项(绝对值项均为非负)； 第二步：根据“和为0则每项为0”，列方程求解每个字母(如得，得)； 第三步：代入目标代数式计算(如)。 【例题7】．（2024-2025•镇坪县校级月考）已知|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|＝0，求式子a+b+c的值． 【变式7-1】．（2024-2025•赛罕区校级月考）若|a﹣3|+|b﹣2|＝0，求a+b的值． 【变式7-2】．（2024-2025•汉川市校级月考）已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x，y的值； （2）求2|x|﹣|y|的值． 【变式7-3】．（2024-2025•雷州市校级期中）已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x+y的值． （2）求2x﹣y的值． 【题型8】多个绝对值和的最值分析(培优) 1.核心知识点总结 几何意义：()表示数轴上到、两点的距离和，最小值为(在、之间时取得)； 拓展：三个绝对值和()，最小值为(时取得)。 2.高频考点梳理 两个绝对值和的最值(如求的最小值)； 结合实际场景的最值(如求“到两个地点的距离和最小”的位置)。 3.易错点警示 误认为“越大，距离和越大”(实际超过后，距离和随增大而增大；小于时，随减小而增大)； 三个绝对值和的最值点错误(如，误将或当作最值点，实际时最小)。 4.解题技巧拆解 第一步：在数轴上标出绝对值内常数对应的点(如、)； 第二步：判断的取值范围： 两个绝对值和：在、之间(含端点)时，距离和最小，最小值为； 三个绝对值和：取中间点()时，距离和最小，最小值为。 【例题8】．（2024-2025•肇源县期中）式子|x+1|+2取最小值时，x等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【变式8-1】．（2024-2025•贵港期末）如果x为有理数，式子|x+1|﹣2025存在最小值，则这个最小值是（　　） A．﹣2025 B．﹣2024 C．﹣2023 D．﹣2022 【变式8-2】．（2024-2025•东西湖区校级月考）式子|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是　 　 ． 【变式8-3】．（2024-2025•朝阳区校级期中）阅读下列材料． 我们知道|x|，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1． ∴|x+1|+|x﹣2|，通过以上阅读，解决问题： （1）|x﹣3|的零点值是x＝　 　 （直接填空）； （2）化简|x﹣3|+|x+4|； （3）直接写出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值． 【题型9】含参数的绝对值等式分析(培优) 1.核心知识点总结 参数定义：等式中除未知数外的字母(如中的)； 分析逻辑：根据绝对值方程的解的情况(有一解、两解、无解)，反推参数的取值范围。 2.高频考点梳理 已知解的个数求参数(如有两个解，求的范围)； 已知解的范围求参数(如的解为正数，求的范围)。 3.易错点警示 忽略参数的正负性(如，误将当作，忽略时只有一解)； 解的范围验证不完整(如的解为或，要求解为正数，需同时满足和，误只验证一个)。 4.解题技巧拆解 第一步：将绝对值方程化为“”的形式； 第二步：根据解的个数确定参数范围(两解→参数>0，一解→参数=0，无解→参数<0)； 第三步：若已知解的范围，先求方程的解(用参数表示)，再列不等式求解参数范围，最后验证。 【例题9】．（2024-2025•武安市二模）若|a﹣3|+3＝a，则a的可能取值为（　　） A．﹣4 B．0 C．2 D．4 【变式9-1】．（2024-2025•扶沟县期中）已知|x|＜π，且x是非负整数，则所有x值的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式9-2】．（2024-2025•鼓楼区校级期末）若|﹣2x|＝9，则x的值为 　 　 ． 【变式9-3】．（2024-2025•金牛区期末）若|a﹣b|＝3，|a﹣c|＝5，则|b﹣c|＝ 　 　 ． 【题型10】数轴背景下的绝对值几何意义应用(培优) 1.核心知识点总结 几何意义延伸：表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离； 数轴关联：通过数轴确定点的位置，间接判断绝对值内式子的正负或距离。 2.高频考点梳理 已知数轴上点的位置求绝对值(如点表示，点表示，求)； 数轴上点与原点距离的应用(如点到原点距离为，求点表示的数为)。 3.易错点警示 混淆“两点距离”与“点的坐标”(如误将点到点的距离算成，但步骤中忽略绝对值符号，实际应为)； 数轴单位长度误读(如单位长度为2，误当作1，导致距离计算错误)。 4.解题技巧拆解 第一步：在数轴上标出已知点的位置，明确坐标； 第二步：若求两点距离，用“右点坐标-左点坐标”(或直接计算)； 第三步：若已知距离求点的坐标，分“原点左侧”和“右侧”两种情况(除距离为0时)。 【例题10】．（2024-2025•孝南区期中）数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（　　） A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D．不能确定 【变式10-1】．（2024-2025•金平区校级期中）在数轴上表示数a的点到原点的距离为7，则a+|﹣a|＝　 　 ． 【变式10-2】．（2024-2025•松阳县期末）我们知道，|3﹣1|可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|a+5|也可理解为a与﹣5两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成： （1）若|x﹣2|＝3，则x＝　 　 ； （2）求|x﹣1|+|x+2|+|x+5|的最小值 　 　 ． 【变式10-3】．（2024-2025•湛江校级期末）大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　 　 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　 　 ； （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|＝2，求x的值． （3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围． 【题型11】绝对值的规律探究（培优） 1.核心知识点总结 常见规律类型：多重符号化简规律（负号个数决定结果）、绝对值和的循环规律、绝对值数列规律； 探究逻辑：通过前3-5个具体实例归纳共性，验证n项（一般项）是否符合。 2.高频考点梳理 多重符号规律（如化简，当n为奇数时结果为，偶数时为）； 绝对值和的规律（如求，结果恒为）。 3.易错点警示 忽略“n=0”或“n=1”的特殊情况（如n=0时，多重符号化简结果为，误按n为偶数处理）； 循环周期判断错误（如将“|x-1|+|x-2|”的规律误套入“|x-1|+|x-2|+|x-3|”）。 4.解题技巧拆解 第一步：计算前2-3个具体值（如n=1、2、3时的结果）； 第二步：对比结果找共性（符号、数值变化规律）； 第三步：用n=4验证规律，确定一般表达式； 第四步：代入特殊值（如n=0、n=5）检验正确性。 【例题11】．（2024-2025•洛南县期中）根据绝对值的概念，我们在一些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．请根据以上规律计算：． 【变式11-1】．（2015秋•建湖县校级月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7﹣21|＝　 　 ；②|0.8|＝　 　 ；③||＝　 　 ； ④|a﹣b|＝　 　 （a＜b）； （2）用合理的方法计算：||﹣||+||． 【变式11-2】．完成下列填空，并思考有什么规律？ ①如果|m|＝0，那么m＝　 　 ； ②如果|m|+|n|＝0，那么m＝　 　 ，n＝　 　 ； ③如果|m﹣2|+|n﹣5|＝0，那么m＝　 　 ，n＝　 　 ； 结论：　 　 ． 尝试应用： ①已知|x﹣2|+|4﹣y|＝0，则x＝　 　 ，y＝　 　 ． ②若数a、b满足|3a﹣1|+|b﹣2|＝0，求（a+b）的值． 【变式11-3】．（2024-2025•项城市月考）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉．例如： |7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；；． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不算出结果）： ①|6﹣9|＝　 　 ； ②|3﹣π|＝　 　 ． （2）如果有理数a＜b，则|a﹣b|＝　 　 ； （3）请利用你探究的结论计算：． 【题型12】绝对值的新定义与材料阅读题（培优） 1.核心知识点总结 新定义本质：基于绝对值定义衍生的新规则（如“|a⊗b|=|a|+|b|”“a※b=|a-b|”）； 材料题逻辑：提取材料中绝对值的新性质（如“绝对值的三角不等式|a+b|≤|a|+|b|”），结合已知求解。 2.高频考点梳理 新定义运算（如定义“a△b=|a|×|b|-|a+b|”，求3△(-2)的值）； 材料信息应用（如材料给出“|a-b|≥||a|-|b||”，证明|5-(-3)|≥||5|-|-3||）。 3.易错点警示 误解新定义符号（如将“a⊕b=|a|-|b|”误算为“|a+b|”）； 漏读材料关键条件（如材料限定“a、b同号时|a+b|=|a|+|b|”，忽略“同号”前提直接套用）。 4.解题技巧拆解 第一步：精读新定义/材料，圈画核心规则（如符号含义、限定条件）； 第二步：将新定义转化为“绝对值运算语言”（如“a※b=|a-b|”→用|a-b|计算）； 第三步：代入已知数值/代数式，按规则分步运算； 第四步：材料题需结合材料性质，验证结论或推导新结果，确保不脱离材料设定。 【例题12】．（2024-2025•如皋市期中）定义：如果两个有理数m，n满足2m＝3n，则称m，n为一对“相随数”．已知有理数a，b为一对“相随数”，若p＝|2a|+|3b﹣4|，则p的值可以为（　　） A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5 【变式12-1】．（2024-2025•滑县校级月考）阅读下列材料：根据绝对值的定义，|x|表示数轴上数x所在的点与原点的距离，那么当数轴上P，Q两点表示的数分别为x1，x2时，点P，Q之间的距离PQ＝|x1﹣x2|（P，Q两点之间的距离用PQ表示）． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上点A，B表示的数分别是﹣5，10，点M是数轴上一个动点，表示数m． （1）AB＝　 　 个单位长度； （2）①式子|m+5|+|m﹣10|表示的意义为 　 　 ； ②若点M在点A，B之间（含A，B两点），化简|m+5|+|m﹣10|； ③|m+5|+|m﹣10|是否有最小值？若有最小值，求出最小值；若没有，请说明理由． 【变式12-2】．（2024-2025•浦东新区期中）阅读理解： 对于有理数a、b，|a|的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．如：|x﹣2|的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： （1）我们知道|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，根据几何意义，若|x+2|＝3，那么x的值是 　 　 ． （2）利用数轴分析|x+2|+|x﹣3|的几何意义，|x+2|+|x﹣3|的最小值是 　 　 ． （3）|x+1|+|x|+|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣24|的最小值是 　 　 ． 【变式12-3】．（2024-2025•西城区校级期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道|x|，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2． 从而在化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3； ③x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1． 通过以上阅读，请你解决问题： （1）|x+2|和|x﹣4|的零点值是 　 　 ； （2）化简：|x+2|+|x﹣4|； （3）解方程：|x+2|+|x﹣4|＝10． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．我国有世界上唯一一座位于海平面以下的植物园——吐鲁番沙漠植物园，其海拔约为﹣81米，﹣81的绝对值是（　　） A．81 B． C．﹣81 D． 2．如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球最接近标准？（　　） A．﹣3.5 B．+0.7 C．﹣2.5 D．﹣0.6 3．如果|a|＝a，那么a是（　　） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 4．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则化简|a|﹣|b|正确的是（　　） A．b﹣a B．a﹣b C．a+b D．﹣a﹣b 5．||的相反数是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 6．满足不等式1＜|x|＜3的x的取值范围是　 　 ． 7．已知a，b是有理数，若|a﹣3|+|b+4|＝0，则2b﹣a＝　 　 ． 8．式子|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是　 　 ． 9．计算：|﹣2025|＝ 　 　 ． 10．若有理数x满足|x|+2024＝|x﹣2024|，则x的取值范围是 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 11．已知|x|＝3，y＝﹣（﹣2），求x+y的值． 12．一个数的绝对值是它本身，则这个数是　 　 ；一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是　 　 ． 13．若|a+2|＝11，|b|＝17，且|a+b|＝﹣（a+b），求a﹣b的值． 14．（1）已知y＝|x+1|+|x﹣2|，求y的最小值，并说出此时x的取值． （2）已知z＝|2x﹣1|+|x﹣2|，求z的最小值，并说出此时x的取值． 15．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|b+c|+|a﹣c|﹣|b﹣a|． 16．如图，数轴上的三个点分别表示数a，b，c，并将数轴分成①，②，③，④四个部分． （1）若a＜0，abc＞0，则原点落在　 　 段（填序号）； （2）若|a|＝3，|b|＝2，且|a+b|＝|a|﹣|b|，则a﹣b＝　 　 ． 17．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|． 回答下列问题： （1）数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离是　 　 ； （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝　 　 ； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值为一个固定的值是　 　 ； （4）探究：|x+1|+|x﹣7|的最小值是　 　 ；|x+1|+|x﹣7|+|x﹣15|的最小值为　 　 ． 18．对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数a，b，a+b与|a﹣b|两数中至少有一个在这组数中，则称这组有理数是“好数组”． （1）2，3，5 　 　 “好数组”，1，2，3，5 　 　 “好数组”；（填“是”或“不是”） （2）若2，4，8，x是“好数组”，求出x的所有可能值； （3）若含2025的5个正有理数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组”． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4绝对值 【题型1】基于绝对值定义的单一数值求解 1.核心知识点总结 绝对值的几何定义：数轴上表示数的点与原点的距离，记作； 绝对值的代数性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0(即)。 2.高频考点梳理 求具体有理数的绝对值(如负整数、分数、小数)； 特殊数的绝对值(如、(按有理数近似值处理))。 3.易错点警示 混淆“负数的绝对值”与“绝对值的负数”(如误将算成)； 忽略“0的绝对值是0”，误将归为正数或负数。 4.解题技巧拆解 第一步：判断目标数的正负性(正数/0/负数)； 第二步：根据代数性质直接求解(正数/0取本身，负数取相反数)。 【例题1】．（2024-2025•大庆）﹣2025的绝对值是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， ﹣2025的绝对值是2025． 故选：A． 【点评】本题主要考查了绝对值，熟知绝对值的定义是解题的关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•岳西县期末）|﹣2024|的值是（　　） A． B．2024 C． D．﹣2024 【答案】B 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果． 【解答】解：|﹣2024|＝2024． 故选：B． 【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•攀枝花）2的绝对值是（　　） A．﹣2 B．2 C． D．±2 【答案】B 【分析】利用绝对值的定义解答． 【解答】解：|2|＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 【变式题1-3】．（2024-2025•平舆县校级期末）若一个数的绝对值是4，则这个数是（　　） A．4 B．或 C．4或﹣4 D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义即可求得答案． 【解答】解：若一个数的绝对值是4， 则这个数是4或﹣4， 故选：C． 【点评】本题考查绝对值，熟练掌握其定义是解题的关键． 【题型2】结合相反数的绝对值关联判断 1.核心知识点总结 相反数的定义：只有符号不同的两个数(如与)； 关键关联：互为相反数的两个数绝对值相等(即)。 2.高频考点梳理 判断两个数是否互为相反数且绝对值相等(如与、与)； 已知一个数的相反数，求其绝对值(如已知的相反数是，求)。 3.易错点警示 误将“绝对值相等的数”等同于“互为相反数”(如，但与不是相反数)； 忽略“0的相反数是0”，误将的相反数归为非0数。 4.解题技巧拆解 若判断“互为相反数”：先验证符号相反，再验证绝对值相等； 若已知相反数求绝对值：先求原数(相反数的相反数)，再求绝对值。 【例题2】．（2024-2025•滁州校级模拟）若一个有理数满足：它的绝对值大于它的相反数，则这个有理数可以是（　　） A．0 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【答案】C 【分析】利用相反数和绝对值得意义判断即可． 【解答】解：∵0的绝对值是0，0的相反数也是0， ∴0的绝对值等于它的相反数； ∵﹣4的绝对值是4，﹣4的相反数也是4， ∴﹣4的绝对值等于它的相反数； ∵2的绝对值是2，2的相反数是﹣2， ∴2的绝对值大于它的相反数； ∵﹣2的绝对值是2，﹣2的相反数是2， ∴﹣2的绝对值等于它的相反数； 故选：C． 【点评】本题考查了相反数和绝对值的意义，学生必须熟练掌握． 【变式题2-1】．（2024-2025•成华区校级月考）若a与3互为相反数，则|a|＝（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【答案】A 【分析】根据相反数、绝对值的定义解答即可求得答案． 【解答】解：∵a和3互为相反数， ∴a+3＝0， ∴a＝﹣3， ∴|a|＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了相反数、绝对值，掌握相反数、绝对值的定义是解答此题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•洪雅县期末）如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是（　　） A．负数 B．负数或零 C．正数或零 D．正数 【答案】B 【分析】一个有理数的绝对值等于它的相反数，那么这个有理数必为非正数，可据此进行判断． 【解答】解：设这个有理数是a，则根据题意有：|a|＝﹣a，因此a≤0，即这个有理数是非正数． 故选：B． 【点评】本题主要考查了绝对值的定义，对选项一一验证即可，要注意解题时，不要漏解0这个特殊的数字，比较简单． 【变式题2-3】．（2024-2025•铁岭县期末）如果的相反数恰好是有理数a的绝对值，那么a的值是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据相反数和绝对值的有关概念解答即可． 【解答】解：的相反数是， 所以|a|， 解得：a， 故答案为： 【点评】此题考查绝对值问题，关键是根据相反数和绝对值的有关概念解答． 【题型3】绝对值在实际质量/误差问题中的应用 1.核心知识点总结 实际意义：绝对值表示“与标准值的偏差程度”，绝对值越小，越接近标准； 应用逻辑：超过标准记为正数，不足记为负数，通过比较绝对值大小判断偏差。 2.高频考点梳理 零件/食品质量偏差比较(如零件直径误差、，判断最接近标准的零件)； 体育用品(如排球、足球)重量误差分析(如误差、，选择质量最优的)。 3.易错点警示 关注偏差的“正负”而非绝对值(如误将当作比更接近标准，实际)； 单位混淆(如误将“毫米”当作“厘米”，导致偏差判断错误)。 4.解题技巧拆解 第一步：提取所有误差数据，计算每个数据的绝对值； 第二步：比较绝对值大小，绝对值最小的即为最接近标准的选项。 【例题3】．（2024-2025•潮阳区模拟）某工厂加工一种精密零件，图纸上对其直径的要求标注为“40±0.05mm”，则下列零件不合格的是（　　） A．40mm B．39.95mm C．40.15mm D．40.02mm 【答案】C 【分析】根据正负数的意义，求得合格零件的直径的范围，再进一步分析． 【解答】解：|±0.05|＝0.05， A、|40﹣40|＝0＜0.05，所以该零件合格，故本选项不合题意； B、|39.95﹣40|＝0.05，所以该零件合格，故本选项不合题意； C、|40.15﹣40|＝0.15＞0.05，所以该零件不合格，故本选项符合题意； D、|40.02﹣40|＝0.02＜0.05，所以该零件合格，故本选项不合题意； 故选：C． 【点评】此题考查了正、负数在实际生活中的意义，±0.05mm表示最多超过标准0.05mm或最多比标准少0.05mm都是合格的． 【变式题3-1】．（2024-2025•皇姑区二模）一实验室检测A，B，C，D四个零件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的零件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【解答】解：∵|+1.3|＝1.3，|+0.3|＝0.3，|﹣0.9|＝0.9，|﹣2.9|＝2.9， 又∵0.3＜0.9＜1.3＜2.9， ∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项B中的零件． 故选：B． 【点评】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•中山市期末）如果实际值为a，测量值为b，我们把|a﹣b|称为绝对误差，称为相对误差．若有一种零件实际长度为10.0cm，测量得9.9cm，则测量所产生的相对误差是 　0.01．　 ． 【答案】0.01． 【分析】直接利用绝对值误差的定义代入得出答案． 【解答】解：由题意可得：0.01． 故答案为：0.01． 【点评】此题主要考查了绝对值以及新定义，正确理解题意是解题关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•鄂尔多斯一模）如图，检测5袋面粉的质量，其中质量超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数．小明根据下面检测过的五袋面粉上方标注的数字，很快确定了其中质量最接近标准的一袋，能对小明的判断作出最好解释的数学概念是（　　） A．负数 B．相反数 C．正数 D．绝对值 【答案】D 【分析】根据绝对值的定义即可解答． 【解答】解：∵﹣0.15的绝对值最小， ∴标注﹣0.15这袋面粉的质量是最接近标准的一袋， 故能对小明的判断作出最好解释的数学概念是“绝对值”． 故选：D． 【点评】本题考查了正负数的应用、绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 【题型4】含字母的绝对值代数化简 1.核心知识点总结 分类讨论依据：根据字母的正负性(、、)确定绝对值化简结果； 化简规则：时，时，时。 2.高频考点梳理 已知字母范围的化简(如，化简、)； 含简单代数式的化简(如，化简；，化简)。 3.易错点警示 未判断字母范围直接化简(如默认，忽略时应为)； 化简“”时，误将的正负等同于的正负(如、，，)。 4.解题技巧拆解 第一步：明确字母或代数式的取值范围(题目直接给出或隐含推导)； 第二步：判断绝对值内式子的正负性； 第三步：根据正负性去绝对值符号(正数/0取本身，负数取相反数)。 【例题4】．（2024-2025•河东区期末）若x≤﹣2，则化简|x+2|﹣|x﹣3|结果为（　　） A．5 B．﹣5 C．2x﹣1 D．1﹣2x 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质化简即可． 【解答】解：∵x≤﹣2， ∴x+2≤0，x﹣3＜0， ∴|x+2|﹣|x﹣3|＝﹣x﹣2﹣（3﹣x）＝﹣x﹣2﹣3+x＝﹣5， 故选：B． 【点评】本题考查绝对值的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【变式题4-1】．（2024-2025•房山区期末）若1＜a＜4，则化简|1﹣a|+|4﹣a|的结果为（　　） A．2a﹣5 B．5﹣2a C．3 D．﹣3 【答案】C 【分析】先根据题意判断出1﹣a与4﹣a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【解答】解：由条件可知1﹣a＜0，4﹣a＞0， ∴原式＝a﹣1+4﹣a＝3． 故选：C． 【点评】本题考查的是绝对值，整式的加减计算，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•汾阳市期末）如图a，b在数轴上的位置如图所示．化简：|c﹣a|+|a+b|﹣|b|结果是（　　） A．c B．c﹣2a C．﹣c D．c+2b 【答案】B 【分析】根据数轴上的点可得，a＜b＜0＜c，由此可得c﹣a＞0，a+b＜0，结合绝对值的性质即可求解． 【解答】解：根据a，b在数轴上的位置可知a＜b＜0＜c，c＞a， ∴c﹣a＞0，a+b＜0，b＜0， ∴|c﹣a|+|a+b|﹣|b| ＝c﹣a﹣（a+b）+b ＝c﹣2a， 故选：B． 【点评】本题考查了数轴的特点，绝对值的化简，理解数轴上点表示的字母的大小及符号，掌握绝对值的性质化简是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•侯马市期末）若a，b，c是△ABC的三边，试化简|a﹣b﹣c|+|a+b﹣c|＝（　　） A．2b B．2a C．2a﹣2c D．2a+2b 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系定理，确定绝对值内表达式的符号，进而化简绝对值表达式即可． 【解答】解：根据题意可知，a＜b+c，a+b＞c， 即a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0 ∴原式＝（﹣a+b+c）+（a+b﹣c） ＝﹣a+b+c+a+b﹣c ＝2b． 故选：A． 【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键． 【题型5】绝对值与有理数大小比较的综合(提升) 1.核心知识点总结 大小比较法则：正数>0>负数；两个负数，绝对值大的反而小； 结合逻辑：先通过绝对值判断负数的大小，再整合正数、0排序。 2.高频考点梳理 多个有理数混合比较(如比较、、、的大小，先算绝对值、，得)； 含绝对值的数比较(如比较与、与)。 3.易错点警示 比较两个负数时忽略“绝对值大的反而小”(如误将当作比大，实际，故)； 混淆“绝对值的大小”与“原数的大小”(如误将当作)。 4.解题技巧拆解 第一步：将所有数分类(正数、0、负数)； 第二步：正数内部直接比较，负数内部先算绝对值再反向比较； 第三步：按“负数<0<正数”的顺序整合，用“<”或“>”连接。 【例题5】．（2024-2025•阳谷县校级月考）如果|a|＝6，|b|＝8，比较a，b的大小． 【答案】当a＝6，b＝8时，a＜b， 当a＝6，b＝﹣8时，a＞b， 当a＝﹣6，b＝8时，a＜b， 当a＝﹣6，b＝﹣8时，a＞b． 【分析】求出a、b的值，再根据有理数大小比较的方法进行解答即可． 【解答】解：∵|a|＝6，|b|＝8， ∴a＝6或a＝﹣6，b＝8或b＝﹣8， 当a＝6，b＝8时，a＜b， 当a＝6，b＝﹣8时，a＞b， 当a＝﹣6，b＝8时，a＜b， 当a＝﹣6，b＝﹣8时，a＞b． 【点评】本题考查绝对值，有理数的大小比较，理解绝对值的定义，掌握有理数大小的比较方法是正确解答的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•常州期中）比较大小：﹣（﹣1 ） 　＞　 ﹣|﹣1.35|．（填“＜”、“＞”或“＝”） 【答案】见试题解答内容 【分析】分别化简后，再根据有理数大小的比较方法进行解答即可． 【解答】解：﹣（）＝1.6，而﹣|﹣1.35|＝﹣1.35， 由于1.6＞﹣1.35， 所以﹣（﹣1 ）＞﹣|﹣1.35|． 故答案为：＞． 【点评】本题考查绝对值，相反数，理解绝对值、相反数的定义是正确解答的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•乐清市校级月考）已知|a|，|b|，求a，b的值，并比较它们的大小． 【答案】见试题解答内容． 【分析】先依据绝对值的性质求得a、b的值，然后再比较大小即可． 【解答】解：∵|a|，|b|， ∴a＝±，b＝±． 当a时，a＞b； 当a时，a＜b． 【点评】本题主要考查的是绝对值的性质、比较有理数的大小，掌握比较有理数的大小的方法是解题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•明水县校级期中）比较、、﹣|﹣1|的大小关系，再按从大到小的顺序用“＞”连起来为　　 ． 【答案】． 【分析】根据绝对值化简后比较大小即可． 【解答】解：∵，，﹣|﹣1|＝﹣1， ∴， 故答案为：． 【点评】此题考查绝对值问题，关键是根据绝对值化简后比较大小解答． 【题型6】多重符号与绝对值的混合化简(提升) 1.核心知识点总结 多重符号化简规则：“负负得正，正负得负”，最终符号由负号的个数决定(奇数个负号为负，偶数个为正)； 混合逻辑：先化简多重符号，再求绝对值；或先求内层绝对值，再化简外层符号。 2.高频考点梳理 内层为单一数的化简(如、)； 内层含代数式的化简(如，已知)。 3.易错点警示 符号化简顺序错误(如化简时，先算，再算，最后算，误直接算)； 忽略内层代数式的正负(如时，，误将化简为)。 4.解题技巧拆解 第一步：从最内层开始，先化简括号内的符号(多重符号)； 第二步：计算内层结果的绝对值； 第三步：化简绝对值外层的符号(若有负号，最终结果取相反数)。 【例题6】．（2024-2025•灵丘县校级月考）化简下列各式： （1）﹣|﹣8|； （2）﹣（﹣0.78）； （3）； （4）+[﹣（﹣3.5）]． 【答案】（1）﹣8；（2）0.78；（3）；（4）3.5． 【分析】（1）根据绝对值的概念直接进行化简即可； （2）根据相反数的概念直接进行化简即可； （3）根据相反数的概念直接进行化简即可； （4）根据相反数的概念直接进行化简即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣8； （2）原式＝0.78； （3）原式； （4）原式＝3.5． 【点评】本题考查了绝对值，相反数，掌握绝对值，相反数的定义是关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•利津县月考）化简： （1）+|﹣5|； （2）|﹣（+7）|； （3）﹣|﹣8|； （4）﹣|﹣a|（a＜0）． 【答案】（1）5；（2）7；（3）﹣8；（4）a． 【分析】（1）根据绝对值的性质化简即可； （2）根据绝对值的性质化简即可； （3）根据绝对值的性质化简即可； （4）根据绝对值的性质化简即可． 【解答】解：（1）+|﹣5|＝5； （2）|﹣（+7）|＝|﹣7|＝7； （3）﹣|﹣8|＝﹣8； （4）∵a＜0， ∴﹣|﹣a|＝﹣（﹣a）＝a． 【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•琼中县校级月考）化简： ①+（+2）＝　2　 ； ②﹣（+6）＝　﹣6　 ； ③﹣|﹣9|＝　﹣9　 ； ④﹣[﹣（﹣5）]＝　﹣5　 ． 【答案】2；﹣6；﹣9；﹣5． 【分析】根据绝对值以及相反数的定义解决此题． 【解答】解：①+（+2）＝2； ②﹣（+6）＝﹣6； ③﹣|﹣9|＝﹣9； ④﹣[﹣（﹣5）]＝﹣5． 故答案为：2；﹣6；﹣9；﹣5． 【点评】本题主要考查绝对值以及相反数，熟练掌握绝对值以及相反数的定义是解决本题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•乐至县校级月考）化简下列各数： （1）﹣（）＝　　 ； （2）﹣[﹣（+9）]＝　9　 ； （3）﹣（）＝　　 ； （4）﹣[﹣（﹣3）]＝　﹣3　 ； （5）﹣{+[﹣（+3）]}＝　﹣3　 ； （6）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}＝　3　 ． 【答案】（1）； （2）9． （3）； （4）﹣3； （5）3； （6）3． 【分析】（1）根据相反数的定义解决此题． （2）根据相反数的定义解决此题． （3）根据相反数的定义解决此题． （4）根据相反数的定义解决此题． （5）根据相反数的定义解决此题． （6）根据绝对值的定义、相反数的定义解决此题． 【解答】解：（1）﹣（）； 故答案为：； （2）﹣[﹣（+9）]＝9； 故答案为：9． （3）﹣（）； 故答案为：； （4）﹣[﹣（﹣3）]＝﹣3； 故答案为：﹣3． （5）﹣{+[﹣（+3）]}＝3； 故答案为：3． （6）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查绝对值、相反数，熟练掌握绝对值的定义、相反数的定义是解决本题的关键． 【题型7】绝对值非负性的进阶求值(提升) 1.核心知识点总结 非负性定义：对任意有理数，(绝对值为正数或0)； 核心性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0(如，则且)。 2.高频考点梳理 两个非负数和为0的求值(如，求)； 含简单代数式的非负性应用(如，求)。 3.易错点警示 忽略“非负数”的范围(如误将当作非负数，实际本身是非负数，是时的化简结果)； 漏解“多个非负数和为0”的条件(如，只令、，忽略)。 4.解题技巧拆解 第一步：识别所有非负项(绝对值项均为非负)； 第二步：根据“和为0则每项为0”，列方程求解每个字母(如得，得)； 第三步：代入目标代数式计算(如)。 【例题7】．（2024-2025•镇坪县校级月考）已知|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|＝0，求式子a+b+c的值． 【答案】9． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0， ∴a＝2，b＝3，c＝4， ∴a+b+c＝2+3+4＝9． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•赛罕区校级月考）若|a﹣3|+|b﹣2|＝0，求a+b的值． 【答案】5． 【分析】根据非负数的性质，可得a﹣3＝0，b﹣2＝0，求出a、b的值，据此即可求解． 【解答】解：∵|a﹣3|+|b﹣2|＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣2＝0， ∴a＝3，b＝2， ∴a+b＝3+2＝5． 【点评】本题考查绝对值的非负数的性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•汉川市校级月考）已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x，y的值； （2）求2|x|﹣|y|的值． 【答案】（1）x＝2，y＝﹣3； （2）1． 【分析】（1）根据非负数的性质列式计算即可得解； （2）根据绝对值的性质进行计算即可得解． 【解答】解：（1）由题意得，x﹣2＝0，y+3＝0， 解得x＝2，y＝﹣3； （2）2|x|﹣|y|＝2|2|﹣|﹣3|＝4﹣3＝1． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 【变式题7-3】．（2024-2025•雷州市校级期中）已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x+y的值． （2）求2x﹣y的值． 【答案】（1）﹣1； （2）7． 【分析】（1）根据已知等式，利用非负数的性质列出方程，求出方程的解即可得到答案； （2）根据已知等式，利用非负数的性质列出方程，求出方程的解即可得到答案． 【解答】解：（1）∵|x﹣2|+|y+3|＝0， ∴x﹣2＝0，y+3＝0， ∴x＝2，y＝﹣3， ∴x+y＝2+（﹣3）＝﹣1； （2）∵|x﹣2|+|y+3|＝0， ∴x﹣2＝0，y+3＝0， ∴x＝2，y＝﹣3， ∴2x﹣y＝4﹣（﹣3）＝7． 【点评】此题考查了绝对值的非负性，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【题型8】多个绝对值和的最值分析(培优) 1.核心知识点总结 几何意义：()表示数轴上到、两点的距离和，最小值为(在、之间时取得)； 拓展：三个绝对值和()，最小值为(时取得)。 2.高频考点梳理 两个绝对值和的最值(如求的最小值)； 结合实际场景的最值(如求“到两个地点的距离和最小”的位置)。 3.易错点警示 误认为“越大，距离和越大”(实际超过后，距离和随增大而增大；小于时，随减小而增大)； 三个绝对值和的最值点错误(如，误将或当作最值点，实际时最小)。 4.解题技巧拆解 第一步：在数轴上标出绝对值内常数对应的点(如、)； 第二步：判断的取值范围： 两个绝对值和：在、之间(含端点)时，距离和最小，最小值为； 三个绝对值和：取中间点()时，距离和最小，最小值为。 【例题8】．（2024-2025•肇源县期中）式子|x+1|+2取最小值时，x等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【答案】D 【分析】直接利用绝对值的性质得出x的值． 【解答】解：∵|x+1|≥0， ∴当x+1＝0时，式子|x+1|+2取最小值， 解得：x＝﹣1． 故选：D． 【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•贵港期末）如果x为有理数，式子|x+1|﹣2025存在最小值，则这个最小值是（　　） A．﹣2025 B．﹣2024 C．﹣2023 D．﹣2022 【答案】A 【分析】根据|x+1|≥0得出当x＝﹣1时，式子|x+1|﹣2025存在最小值． 【解答】解：由绝对值的非负性可得|x+1|≥0， ∴当x＝﹣1时，式子|x+1|﹣2025存在最小值，这个最小值是﹣2025， 故选：A． 【点评】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值性质是关键． 【变式题8-2．（2024-2025•东西湖区校级月考）式子|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是　8　 ． 【答案】8． 【分析】由绝对值的几何意义可知当1≤x≤5时，|x﹣1|+|x﹣5|有最小值，同理可知当2≤x≤4时，|x﹣2|+|x﹣4|有最小值，当x＝3时，|x﹣3|有最小值，最小值为0，则当x＝3时，|x﹣1|+|x﹣5|，|x﹣2|+|x﹣4|，|x﹣3|能同时取到最小值，进而可得当x＝3时，|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5|有最小值，据此求解即可． 【解答】解：根据题意可知，当1≤x≤5时，|x﹣1|+|x﹣5|有最小值，最小值为x﹣1+5﹣x＝4， 同理可知当2≤x≤4时，|x﹣2|+|x﹣4|有最小值，最小值为x﹣2+4﹣x＝2， ∵|x﹣3|≥0， ∴当x＝3时，|x﹣3|有最小值，最小值为0， 综上所述，当x＝3时，|x﹣1|+|x﹣5|，|x﹣2|+|x﹣4|，|x﹣3|能同时取到最小值， ∵|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5| ＝（|x﹣1|+|x﹣5|）+2（|x﹣2|+|x﹣4|）+3|x﹣3|， ∴当x＝3时，|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5|有最小值，最小值为4+2×2+0＝8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的化简，分类讨论是解决问题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•朝阳区校级期中）阅读下列材料． 我们知道|x|，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1． ∴|x+1|+|x﹣2|，通过以上阅读，解决问题： （1）|x﹣3|的零点值是x＝　3　 （直接填空）； （2）化简|x﹣3|+|x+4|； （3）直接写出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值． 【答案】（1）3； （2）|x﹣3|+|x+4|； （3）2． 【分析】（1）根据“零点值”的定义进行计算即可； （2）根据题目提供的方法，分三种情况进行解答即可； （3）当x＝﹣1时|x﹣1|﹣4|x+1|的值最大，代入计算即可． 【解答】解：（1）由“零点值”的定义可知，x﹣3＝0， 解得x＝3， 故答案为：3； （2）①当x＜﹣4时，|x﹣3|+|x+4|＝﹣x+3﹣x﹣4＝﹣2x﹣1； ②﹣4≤x≤3时，|x﹣3|+|x+4|＝﹣x+3+x+4＝7； ③x＞3时，|x﹣3|+|x+4|＝x﹣3+x+4＝2x+1； 所以|x﹣3|+|x+4|； （3）|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．即|x+1|的“零点值”， 即当x＝﹣1时，|x﹣1|﹣4|x+1|＝2， 答：|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值是2． 【点评】本题考查绝对值、相反数，理解“零点值”的定义是正确解答的前提． 【题型9】含参数的绝对值等式分析(培优) 1.核心知识点总结 参数定义：等式中除未知数外的字母(如中的)； 分析逻辑：根据绝对值方程的解的情况(有一解、两解、无解)，反推参数的取值范围。 2.高频考点梳理 已知解的个数求参数(如有两个解，求的范围)； 已知解的范围求参数(如的解为正数，求的范围)。 3.易错点警示 忽略参数的正负性(如，误将当作，忽略时只有一解)； 解的范围验证不完整(如的解为或，要求解为正数，需同时满足和，误只验证一个)。 4.解题技巧拆解 第一步：将绝对值方程化为“”的形式； 第二步：根据解的个数确定参数范围(两解→参数>0，一解→参数=0，无解→参数<0)； 第三步：若已知解的范围，先求方程的解(用参数表示)，再列不等式求解参数范围，最后验证。 【例题9】．（2024-2025•武安市二模）若|a﹣3|+3＝a，则a的可能取值为（　　） A．﹣4 B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用绝对值的性质可得a﹣3≥0，据此即可得出答案． 【解答】解：若|a﹣3|+3＝a， 则|a﹣3|＝a﹣3， 那么a﹣3≥0， 因此a≥3， 那么a的可能取值为4， 故选：D． 【点评】本题考查绝对值，熟练掌握其性质是解题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•扶沟县期中）已知|x|＜π，且x是非负整数，则所有x值的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据绝对值的定义进行计算即可． 【解答】解：∵|x|＜π，而π≈3.14，且x是非负整数， ∴x可以为0，1，2，3，共4个， 故选：B． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•鼓楼区校级期末）若|﹣2x|＝9，则x的值为 　　 ． 【答案】． 【分析】根据绝对值的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为|﹣2x|＝9， 所以﹣2x＝9或﹣2x＝﹣9， 解得x或， 即x的值为：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了绝对值，熟知绝对值的性质是解题的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•金牛区期末）若|a﹣b|＝3，|a﹣c|＝5，则|b﹣c|＝ 　2或8　 ． 【答案】2或8． 【分析】根据绝对值的定义进行计算即可． 【解答】解：|a﹣b|＝3表示数轴上表示数a与表示数b之间的距离为3，|a﹣c|＝5表示数轴上表示数a与表示数c之间的距离为5，如图， 则|b﹣c表示数轴上表示数b与表示数c之间的距离，所以|b﹣c|＝2或|b﹣c|＝8， 故答案为：2或8． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义以及数轴表示数的定义是正确解答的关键． 【题型10】数轴背景下的绝对值几何意义应用(培优) 1.核心知识点总结 几何意义延伸：表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离； 数轴关联：通过数轴确定点的位置，间接判断绝对值内式子的正负或距离。 2.高频考点梳理 已知数轴上点的位置求绝对值(如点表示，点表示，求)； 数轴上点与原点距离的应用(如点到原点距离为，求点表示的数为)。 3.易错点警示 混淆“两点距离”与“点的坐标”(如误将点到点的距离算成，但步骤中忽略绝对值符号，实际应为)； 数轴单位长度误读(如单位长度为2，误当作1，导致距离计算错误)。 4.解题技巧拆解 第一步：在数轴上标出已知点的位置，明确坐标； 第二步：若求两点距离，用“右点坐标-左点坐标”(或直接计算)； 第三步：若已知距离求点的坐标，分“原点左侧”和“右侧”两种情况(除距离为0时)。 【例题10】．（2024-2025•孝南区期中）数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（　　） A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D．不能确定 【答案】C 【分析】数轴上到原点的距离是5的点有2个，分别表示5和﹣5． 【解答】解：数轴上到原点的距离是5的点有2个，分别表示5和﹣5，则M表示5或﹣5． 故选：C． 【点评】由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 【变式题10-1】．（2024-2025•金平区校级期中）在数轴上表示数a的点到原点的距离为7，则a+|﹣a|＝　0或14　 ． 【答案】0或14． 【分析】根据数轴表示数的方法得到a＝7或﹣7，然后分别代入计算即可． 【解答】解：∵数轴上表示数a的点到原点的距离为7， ∴a＝7或﹣7， ∴a+|﹣a|＝7+|﹣7|＝7+7＝14或a+|﹣a|＝﹣7+|﹣（﹣7）|＝﹣7+7＝0． 故答案为：0或14． 【点评】本题考查绝对值、数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式题10-2】．（2024-2025•松阳县期末）我们知道，|3﹣1|可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|a+5|也可理解为a与﹣5两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成： （1）若|x﹣2|＝3，则x＝　﹣1或5　 ； （2）求|x﹣1|+|x+2|+|x+5|的最小值 　6　 ． 【答案】（1）﹣1或5； （2）6． 【分析】（1）根据|x﹣2|表示的意义解答即可； （2）首先明确|x﹣1|+|x+2|+|x+5|表示x到1、﹣2、﹣5的距离之和，然后再确定当﹣5≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|+|x+5|的值最小，解答即可． 【解答】解：（1）|x﹣2|＝3表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为3， ∴2+3＝5或2﹣3＝﹣1， 即x为﹣1或5， 故答案为：﹣1或5； （2）|x﹣1|+|x+2|+|x+5|表示x到1、﹣2、﹣5的距离之和， ∴当x＝﹣2时，|x﹣1|+|x+2|+|x+5|的值最小， ∴1﹣（﹣5）＝1+5＝6， 即|x﹣1|+|x+2|+|x+5|的最小值为6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了绝对值，理解题意，明确绝对值的意义是解题的关键． 【变式题10-3】．（2024-2025•湛江校级期末）大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　3　 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　3　 ； （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|＝2，求x的值． （3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是：|（﹣2）﹣（﹣5）|＝3． （2）①根据点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1，可得表示A、B两点之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|． ②如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，据此求出x的值是多少即可． （3）根据题意，可得代数式|x+1|+|x﹣4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣1所对应的两点距离之和，所以当﹣1≤x≤4时，代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是表示4的点与表示﹣1的点之间的距离，即代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是5． 【解答】解：根据分析，可得 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3； 数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是： |（﹣2）﹣（﹣5）|＝|﹣2+5|＝|3|＝3． （2）①|AB|＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|． ②如果|AB|＝2， 则|x+1|＝2， x+1＝2或x+1＝﹣2， 解得x＝1或x＝﹣3． （3）∵代数式|x+1|+|x﹣4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣1所对应的两点距离之和， ∴当﹣1≤x≤4时，代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是：|4﹣（﹣1）|＝5， 即代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是5，x的取值范围是﹣1≤x≤4． 故答案为：5，﹣1≤x≤4． 【点评】（1）此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零． （2）解答此题的关键是要明确：|x﹣a|既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【题型11】绝对值的规律探究（培优） 1.核心知识点总结 常见规律类型：多重符号化简规律（负号个数决定结果）、绝对值和的循环规律、绝对值数列规律； 探究逻辑：通过前3-5个具体实例归纳共性，验证n项（一般项）是否符合。 2.高频考点梳理 多重符号规律（如化简，当n为奇数时结果为，偶数时为）； 绝对值和的规律（如求，结果恒为）。 3.易错点警示 忽略“n=0”或“n=1”的特殊情况（如n=0时，多重符号化简结果为，误按n为偶数处理）； 循环周期判断错误（如将“|x-1|+|x-2|”的规律误套入“|x-1|+|x-2|+|x-3|”）。 4.解题技巧拆解 第一步：计算前2-3个具体值（如n=1、2、3时的结果）； 第二步：对比结果找共性（符号、数值变化规律）； 第三步：用n=4验证规律，确定一般表达式； 第四步：代入特殊值（如n=0、n=5）检验正确性。 【例题11】．（2024-2025•洛南县期中）根据绝对值的概念，我们在一些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．请根据以上规律计算：． 【答案】． 【分析】首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简即可． 【解答】解： ＝1 ＝1 ． 【点评】此题考查了绝对值，有理数的加减混合运算，做题时，要注意多观察各项之间的关系． 【变式题11-1】．（2015秋•建湖县校级月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7﹣21|＝　21﹣7　 ；②|0.8|＝　0.8　 ；③||＝　　 ； ④|a﹣b|＝　b﹣a　 （a＜b）； （2）用合理的方法计算：||﹣||+||． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0． （2）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简． 【解答】解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7； ②|0.8|＝0.8； ③||； ④|a﹣b|＝b﹣a（a＜b）； （2）原式 ． 故答案为：（1）21﹣7；0.8；；b﹣a． 【点评】考查了绝对值，此题的难点在第（2）小题，把互为相反的两个数相加，使运算简便．做题时，要注意多观察各项之间的关系． 【变式题11-2】．完成下列填空，并思考有什么规律？ ①如果|m|＝0，那么m＝　0　 ； ②如果|m|+|n|＝0，那么m＝　0　 ，n＝　0　 ； ③如果|m﹣2|+|n﹣5|＝0，那么m＝　2　 ，n＝　5　 ； 结论：　几个非负数的和为0，它们同时为0　 ． 尝试应用： ①已知|x﹣2|+|4﹣y|＝0，则x＝　2　 ，y＝　4　 ． ②若数a、b满足|3a﹣1|+|b﹣2|＝0，求（a+b）的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：①如果|m|＝0，那么m＝0； ②如果|m|+|n|＝0，那么m＝0，n＝0； ③如果|m﹣2|+|n﹣5|＝0，那么m＝2，n＝5； 结论：几个非负数的和为0，它们同时为0． 尝试应用： ①已知|x﹣2|+|4﹣y|＝0，则x＝2，y＝4． ②∵|3a﹣1|+|b﹣2|＝0， ∴3a﹣1＝0，b﹣2＝0， 解得，b＝2， ∴（a+b）． 故答案为：0；0；0；2；5；几个非负数的和为0，它们同时为0；2；4 【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键． 【变式题11-3】．（2024-2025•项城市月考）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉．例如： |7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；；． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不算出结果）： ①|6﹣9|＝　9﹣6　 ； ②|3﹣π|＝　π﹣3　 ． （2）如果有理数a＜b，则|a﹣b|＝　b﹣a　 ； （3）请利用你探究的结论计算：． 【答案】（1）①9﹣6，②π﹣3； （2）b﹣a； （3）． 【分析】（1）根据题干中的例子，通过判断绝对值内数的正负，从而得到结果； （2）因为3﹣π＜0，从而得到结果； （3）根据示例，去掉绝对值符号后，对相邻各项进行相消运算，从而得到结果． 【解答】解：（1）①∵6﹣9＜0， ∴|6﹣9|＝9﹣6， 故答案为：9﹣6； ②∵3﹣π＜0， ∴|3﹣π|＝π﹣3， 故答案为：π﹣3； （2）∵a＜b， ∴a﹣b＜0， ∴|a﹣b|＝b﹣a， 故答案为：b﹣a； （3）原式 ． 【点评】本题考查了绝对值，有理数混合运算，关键要理解绝对值的意义，解决问题． 【题型12】绝对值的新定义与材料阅读题（培优） 1.核心知识点总结 新定义本质：基于绝对值定义衍生的新规则（如“|a⊗b|=|a|+|b|”“a※b=|a-b|”）； 材料题逻辑：提取材料中绝对值的新性质（如“绝对值的三角不等式|a+b|≤|a|+|b|”），结合已知求解。 2.高频考点梳理 新定义运算（如定义“a△b=|a|×|b|-|a+b|”，求3△(-2)的值）； 材料信息应用（如材料给出“|a-b|≥||a|-|b||”，证明|5-(-3)|≥||5|-|-3||）。 3.易错点警示 误解新定义符号（如将“a⊕b=|a|-|b|”误算为“|a+b|”）； 漏读材料关键条件（如材料限定“a、b同号时|a+b|=|a|+|b|”，忽略“同号”前提直接套用）。 4.解题技巧拆解 第一步：精读新定义/材料，圈画核心规则（如符号含义、限定条件）； 第二步：将新定义转化为“绝对值运算语言”（如“a※b=|a-b|”→用|a-b|计算）； 第三步：代入已知数值/代数式，按规则分步运算； 第四步：材料题需结合材料性质，验证结论或推导新结果，确保不脱离材料设定。 【例题12】．（2024-2025•如皋市期中）定义：如果两个有理数m，n满足2m＝3n，则称m，n为一对“相随数”．已知有理数a，b为一对“相随数”，若p＝|2a|+|3b﹣4|，则p的值可以为（　　） A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5 【答案】D 【分析】根据“相随数”的定义得出2a＝3b，即可得到p＝|2a|+|3b﹣4|＝|3b|+|3b﹣4|，再分当b时；当0＜b时；当b≤0时；分别化简绝对值进行判断即可． 【解答】解：∵有理数a，b为一对“相随数”， ∴2a＝3b， ∴p＝|2a|+|3b﹣4|＝|3b|+|3b﹣4|， 当b时，p＝3b+3b﹣4＝6b﹣4≥4； 当0＜b时，p＝3b+4﹣3b＝4； 当b≤0时，p＝﹣3b+4﹣3b＝4﹣6b≥4； 综上所述，p的最小值是4，故p的值可以为4.5， 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值，理解题中的新定义以及熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【变式题12-1】．（2024-2025•滑县校级月考）阅读下列材料：根据绝对值的定义，|x|表示数轴上数x所在的点与原点的距离，那么当数轴上P，Q两点表示的数分别为x1，x2时，点P，Q之间的距离PQ＝|x1﹣x2|（P，Q两点之间的距离用PQ表示）． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上点A，B表示的数分别是﹣5，10，点M是数轴上一个动点，表示数m． （1）AB＝　15　 个单位长度； （2）①式子|m+5|+|m﹣10|表示的意义为 　点M到A，B两点的距离之和　 ； ②若点M在点A，B之间（含A，B两点），化简|m+5|+|m﹣10|； ③|m+5|+|m﹣10|是否有最小值？若有最小值，求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）15； （2）①点M到A，B两点的距离之和；②15；③|m+5|+|m﹣10|有最小值，最小值为15． 【分析】（1）代入两点间的距离公式即可求得AB的长； （2）①根据绝对值的意义进行解答即可； ②根据绝对值的意义化简绝对值即可； ③根据|m+5|+|m﹣10|表示的意义进行解答即可． 【解答】解：（1）∵点A，B表示的数分别是﹣5，10， ∴AB＝|10﹣（﹣5）|＝|10+5|＝15； 故答案为：15； （2）①式子|m+5|+|m﹣10|表示的意义为：点M到A，B两点的距离之和； 故答案为：点M到A，B两点的距离之和； ②∵点M在A，B之间（含A，B两点）， ∴﹣5≤m≤10， ∴|m+5|＝m+5，|m﹣10|＝10﹣m， ∴|m+5|+|m﹣10| ＝m+5+10﹣m ＝15． ③|m+5|+|m﹣10|有最小值． ∵|m+5|+|m﹣10|表示点M到A，B两点的距离之和， ∴当M位于点A的左侧或者点B的右侧时，|m+5|+|m﹣10|＞15，当M位于点A，B之间（含A，B两点）时，|m+5|+|m﹣10|＝15， ∴|m+5|+|m﹣10|有最小值，且最小值为15． 【点评】此题考查了数轴的有关知识、绝对值的化简和数轴上两点间距离，熟练进行绝对值的化简、灵活应用数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键． 【变式题12-2】．（2024-2025•浦东新区期中）阅读理解： 对于有理数a、b，|a|的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．如：|x﹣2|的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： （1）我们知道|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，根据几何意义，若|x+2|＝3，那么x的值是 　1或﹣5　 ． （2）利用数轴分析|x+2|+|x﹣3|的几何意义，|x+2|+|x﹣3|的最小值是 　5　 ． （3）|x+1|+|x|+|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣24|的最小值是 　169　 ． 【答案】（1）1或﹣5； （2）5； （3）169． 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据绝对值的几何意义即可求解； （3）根据绝对值的几何意义即可求解． 【解答】解：（1）|x+2|的几何意义：数轴上表示x的点与表示﹣2的点之间的距离， 若|x+2|＝3，即x+2＝3或x+2＝﹣3， 解得x＝1或x＝﹣5， 则x的值是1或﹣5， 故答案为：1或﹣5； （2）|x+2|+|x﹣3|的几何意义：数轴上表示x的点与表示﹣2的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离之和， 当﹣2≤x≤3时，|x+2|+|x﹣3|的最小值是为3﹣（﹣2）＝5， 故答案为：5； （3）∵|x+1|+|x|+|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+⋯+|x﹣24|表示x到﹣1，0，1，2，3，•••24的点的距离的和， ∴当11≤x≤12时，|x+1|+|x|+|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+⋯+|x﹣24|最小， 最小值为（1+2+3++10+11+12）×2+（24﹣11）＝169， 故答案为：169． 【点评】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键． 【变式题12-3】．（2024-2025•西城区校级期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道|x|，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2． 从而在化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3； ③x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1． 通过以上阅读，请你解决问题： （1）|x+2|和|x﹣4|的零点值是 　﹣2和4　 ； （2）化简：|x+2|+|x﹣4|； （3）解方程：|x+2|+|x﹣4|＝10． 【答案】（1）﹣2和4； （2）当x＜﹣2时，原式＝﹣（x+2）﹣（x﹣4）＝﹣2x+2； 当﹣2≤x＜4时，原式＝（x+2）﹣（x﹣4）＝6； 当x≥4时，原式＝（x+2）+（x﹣4）＝2x﹣2； （3）x＝﹣4或x＝6． 【分析】（1）根据零点值定义列方程求解； （2）根据零点值，分类讨论求解； （3）根据（2）中结论列方程求解． 【解答】解：（1）令x+2＝0和x﹣4＝0， 解得：x＝﹣2和x＝4， 故答案为：﹣2和4； （2）由x+2＝0得x＝﹣2，由x﹣4＝0得x＝4， ①当x＜﹣2时，原式＝﹣（x+2）﹣（x﹣4）＝﹣2x+2； ②当﹣2≤x＜4时，原式＝（x+2）﹣（x﹣4）＝6； ③当x≥4时，原式＝（x+2）+（x﹣4）＝2x﹣2； （3）①当x＜﹣2时，方程可化为：﹣2x+2＝10，解得：x＝﹣4； ②当﹣2≤x＜4时，方程可化为：6＝10，无解； ③当x≥4时，方程可化为：2x﹣2＝10，解得：x＝6． 【点评】本题考查了绝对值，分类讨论是解题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 A D B D A 一．选择题（共5小题） 1．我国有世界上唯一一座位于海平面以下的植物园——吐鲁番沙漠植物园，其海拔约为﹣81米，﹣81的绝对值是（　　） A．81 B． C．﹣81 D． 【答案】A 【分析】根据“数轴上表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值”进行解答即可． 【解答】解：由绝对值的定义可得，|﹣81|＝81． 故选：A． 【点评】本题主要考查了绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键． 2．如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球最接近标准？（　　） A．﹣3.5 B．+0.7 C．﹣2.5 D．﹣0.6 【答案】D 【分析】由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球． 【解答】解：通过求五个排球的绝对值得： |﹣0.6|＝0.6，|+0.7|＝0.7，|﹣2.5|＝2.5，|﹣3.5|＝3.5，|5|＝5， ﹣0.6的绝对值最小． 所以最后一个球是接近标准的球． 故选：D． 【点评】此题考查学生对正负数及绝对值的意义掌握，解答此题首先要求出四个球标准的克数和低于标准的克数的绝对值进行比较． 3．如果|a|＝a，那么a是（　　） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 【答案】B 【分析】根据若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a进行解答即可． 【解答】解：∵|a|＝a， ∴a≥0， 即a为非负数， 故选：B． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键． 4．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则化简|a|﹣|b|正确的是（　　） A．b﹣a B．a﹣b C．a+b D．﹣a﹣b 【答案】D 【分析】根据数轴上A、B两点的位置可得，a＜0，b＞0，结合“负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于它本身”可得|a|＝﹣a，|b|＝b 进而求解即可． 【解答】解：由数轴可得，a＜0，b＞0， ∴|a|﹣|b| ＝（﹣a）﹣b ＝﹣a﹣b． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值，数轴，掌握相应的定义是关键． 5．||的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把所给的式子化简，再根据相反数的定义得出即可． 【解答】解：∵||， ∴||的相反数是， 故选：A． 【点评】本题主要考查相反数和绝对值的求法，先进行正确化简是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．满足不等式1＜|x|＜3的x的取值范围是　1＜x＜3或﹣3＜x＜﹣1　 ． 【答案】1＜x＜3或﹣3＜x＜﹣1 【分析】由1＜|x|＜3可以得出到原点的距离是在1和3之间，分原点左边和右边两种情况解答． 【解答】解：∵1＜|x|＜3， ∴x表示的点到原点的距离在1和3之间， 当x是原点左边的数时， ∴﹣3＜x＜﹣1， 当x是原点右边的数时， ∴1＜x＜3 故答案为：1＜x＜3或﹣3＜x＜﹣1 【点评】主要考查了绝对值的意义．根据绝对值的意义解答即可． 7．已知a，b是有理数，若|a﹣3|+|b+4|＝0，则2b﹣a＝　﹣11　 ． 【答案】﹣11． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a﹣3|+|b+4|＝0， ∴a﹣3＝0，b+4＝0， ∴a＝3，b＝﹣4， ∴2b﹣a＝2×（﹣4）﹣3＝﹣11． 故答案为：﹣11． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 8．式子|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是　8　 ． 【答案】8． 【分析】由绝对值的几何意义可知当1≤x≤5时，|x﹣1|+|x﹣5|有最小值，同理可知当2≤x≤4时，|x﹣2|+|x﹣4|有最小值，当x＝3时，|x﹣3|有最小值，最小值为0，则当x＝3时，|x﹣1|+|x﹣5|，|x﹣2|+|x﹣4|，|x﹣3|能同时取到最小值，进而可得当x＝3时，|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5|有最小值，据此求解即可． 【解答】解：根据题意可知，当1≤x≤5时，|x﹣1|+|x﹣5|有最小值，最小值为x﹣1+5﹣x＝4， 同理可知当2≤x≤4时，|x﹣2|+|x﹣4|有最小值，最小值为x﹣2+4﹣x＝2， ∵|x﹣3|≥0， ∴当x＝3时，|x﹣3|有最小值，最小值为0， 综上所述，当x＝3时，|x﹣1|+|x﹣5|，|x﹣2|+|x﹣4|，|x﹣3|能同时取到最小值， ∵|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5| ＝（|x﹣1|+|x﹣5|）+2（|x﹣2|+|x﹣4|）+3|x﹣3|， ∴当x＝3时，|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5|有最小值，最小值为4+2×2+0＝8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的化简，分类讨论是解决问题的关键． 9．计算：|﹣2025|＝ 　2025　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答； 【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数可得： |﹣2025|＝2025， 故答案为：2025． 【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． 10．若有理数x满足|x|+2024＝|x﹣2024|，则x的取值范围是 　x≤0　 ． 【答案】x≤0． 【分析】利用绝对值的定义解答． 【解答】解：∵|x|+2024＝|x﹣2024|， ∴|x﹣2024| ＝﹣（x﹣2024） ＝﹣x+2024， ∴|x|＝﹣x， ∴x≤0． 故答案为：x≤0． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 三．解答题（共8小题） 11．已知|x|＝3，y＝﹣（﹣2），求x+y的值． 【答案】5或﹣1． 【分析】利用绝对值的性质得出x的值、化简多重符号得y＝2，进而得出答案． 【解答】解：∵|x|＝3，y＝﹣（﹣2）， ∴x＝±3，y＝2， ∴当x＝3，y＝2时，x+y＝3+2＝5． 当x＝﹣3，y＝2时，x+y＝﹣3+2＝﹣1． 综上所述：x+y的值为5或﹣1． 【点评】本题考查绝对值、相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 12．一个数的绝对值是它本身，则这个数是　非负数　 ；一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是　非正数　 ． 【答案】非负数；非正数． 【分析】绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．据此解答即可． 【解答】解：∵正数或0的绝对值是它本身， ∴非负数的绝对值是它本身； ∵负数或0的绝对值是它的相反数， ∴非正数的绝对值是它的相反数． 故答案为：非负数，非正数． 【点评】本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 13．若|a+2|＝11，|b|＝17，且|a+b|＝﹣（a+b），求a﹣b的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用绝对值的定义确定a、b的可能取值，再计算a﹣b的值． 【解答】解：∵|a+2|＝11，|b|＝17， ∴a+2＝±11，a＝9或﹣13， b＝±17， ∵|a+b|＝﹣（a+b）， ∴a+b＜0， ∴a＝9时，b＝﹣17， a﹣b ＝9﹣（﹣17） ＝9+17 ＝26， a＝﹣13时，b＝﹣17， a﹣b ＝﹣13﹣（﹣17） ＝﹣13+17 ＝4， ∴a﹣b的值为26或4． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 14．（1）已知y＝|x+1|+|x﹣2|，求y的最小值，并说出此时x的取值． （2）已知z＝|2x﹣1|+|x﹣2|，求z的最小值，并说出此时x的取值． 【答案】（1）当﹣1≤x≤2时，y取最小值，最小值为； （2）最小值为，此时． 【分析】（1）根据绝对值的几何意义进行计算； （2）需要对原式进行分区间讨论即可求解． 【解答】解：（1）∵表示的几何意义是数轴上表示的点到表示﹣1的点和表示2的点的距离之和， ∴当﹣1≤x≤2时，y取最小值，最小值为． （2）当2x﹣1＝0时，， 当x﹣2＝0时，x＝2， 当时：z＝﹣（2x﹣1）﹣（x﹣2）＝﹣3x+3， ∴z随x的增大而减小，最小值趋近于时，z＝1.5； 当时：z＝（2x﹣1）﹣（x﹣2）＝x+1， ∴z随x的增大而增大，最小值为时，z＝1.5； 当x≥2时：z＝（2x﹣1）+（x﹣2）＝3x﹣3， ∴z随x的增大而增大，最小值为x＝2时，z＝3； 综上：最小值为，此时． 【点评】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离公式和绝对值的分类讨论三大知识点，掌握好题型公式和分类讨论思想是解题的关键． 15．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|b+c|+|a﹣c|﹣|b﹣a|． 【答案】﹣2c． 【分析】根据数轴可知c＜b＜0＜a，再分别确定b+c＜0，a﹣c＞0，b﹣a＜0，最后运算求解即可． 【解答】解：∵c＜b＜0＜a， ∴b+c＜0，a﹣c＞0，b﹣a＜0， ∴|b+c|+|a﹣c|﹣|b﹣a| ＝﹣（b+c）+（a﹣c）+（b﹣a） ＝﹣b﹣c+a﹣c+b﹣a ＝﹣2c． 【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的定义是解题的关键． 16．如图，数轴上的三个点分别表示数a，b，c，并将数轴分成①，②，③，④四个部分． （1）若a＜0，abc＞0，则原点落在　③　 段（填序号）； （2）若|a|＝3，|b|＝2，且|a+b|＝|a|﹣|b|，则a﹣b＝　﹣5　 ． 【答案】（1）③； （2）﹣5． 【分析】（1）首先由a＜0，abc＞0，得到bc＜0，然后结合b在c的左边求解即可； （2）首先化简绝对值得到a＝±3，b＝±2，然后由|a+b|＝|a|﹣|b|，得到a＝3，b＝﹣2或a＝﹣3，b＝2，再结合a＜b得到a＝﹣3，b＝2，最后代入a﹣b求解即可． 【解答】解：（1）∵a＜0，abc＞0， ∴bc＜0， ∵b＜c， ∴b＜0＜c， ∴原点落在③段， 故答案为：③； （2）∵|a|＝3，|b|＝2， ∴a＝±3，b＝±2， ∵|a+b|＝|a|﹣|b|＞0， ∴|a|＞|b|， ∴a＝3，b＝﹣2或a＝﹣3，b＝2， ∵a＜b， ∴a＝﹣3，b＝2， ∴a﹣b＝﹣3﹣2＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了根据数轴上的点表示有理数，化简绝对值，有理数的乘法，代数式求值，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 17．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|． 回答下列问题： （1）数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离是　5　 ； （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝　﹣1或5　 ； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值为一个固定的值是　7　 ； （4）探究：|x+1|+|x﹣7|的最小值是　8　 ；|x+1|+|x﹣7|+|x﹣15|的最小值为　16　 ． 【答案】（1）5； （2）﹣1或5； （3）7； （4）8；16． 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据|a﹣b|的几何意义求解可得； （3）根据绝对值的性质解答便可； （4）当1≤x≤7时化简绝对值方程便可求得|x+1|+|x﹣7|的最小值．当x＝7时便可求得|x+1|+|x﹣7|+|x﹣15|的最小值． 【解答】解：（1）数轴上表示数2的点与数﹣3的点之间的距离的式子是|2﹣（﹣3）|＝|2+3|＝|5|＝5； 故答案为：5； （2）等式|x﹣2|＝3的几何意义是表示x到数2的距离为3的点， 则x的值为﹣1或5； 故答案为：﹣1或5； （3）∵表示x的点在﹣2与5之间移动时， ∴|x﹣5|+|x+2|＝5﹣x+x+2＝7， 故答案为：7； （4）当﹣1≤x≤7时，|x+1|+|x﹣7|＝x+1+7﹣x＝8，此时值最小，最小值为8； 当x＝7时，|x+1|+|x﹣7|+|x﹣15|有最小值为：8+0+8＝16； 故答案为：8；16． 【点评】本题考查了数轴，绝对值的性质，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． 18．对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数a，b，a+b与|a﹣b|两数中至少有一个在这组数中，则称这组有理数是“好数组”． （1）2，3，5 　是　 “好数组”，1，2，3，5 　不是　 “好数组”；（填“是”或“不是”） （2）若2，4，8，x是“好数组”，求出x的所有可能值； （3）若含2025的5个正有理数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组”． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据“好数组”的定义判断即可； （2）根据“好数组”的定义去一一分析即可得解； （3）根据“好数组”的定义，由五个正有理数组成的“好数组”，能且仅能表示成a，2a，3a，4a，5a（a是正有理数），即可求解． 【解答】解：（1）在2，3，5中， 对于2，3，2+3＝5，5在这组数中， 对于2，5，|5﹣2|＝3，3在这组数中， 对于3，5，|5﹣3|＝2，2在这组数中， ∴2，3，5这组有理数是“好数组”， 在1，2，3，5中， 对于1，5，1+5＝6，|5﹣1|＝4，6和4都不在这组数中， ∴.1，2，3，5不是“好数组”， 故答案为：是，不是； （2）∵2，4，8，x是“好数组”， ∴2+8或|2﹣8|，即10或6至少一个在这个数组中， ∴x＝10或 x＝6， 当 x＝10 时，对于4，10，4+10或|4﹣10|均不在这个数组中，与已知矛盾； 当 x＝6时，|2﹣4|，|2﹣6|，|2﹣8|，|4﹣8|，|4﹣6|，|8﹣6|均在这个数组中， ∴2，4，8，6是“好数组”， ∴x的值为6； （3）由（2）的解析过程，大胆猜想：由五个正有理数组成的“好数组”，能且仅能表示成a，2a，3a，4a，5a（a是正有理数）， 如果5a＝2025，这五个正有理数组成的“好数组”为：405、810、1215、1620、2025； 如果4a＝2025，这五个正有理数组成的“好数组”为506.25、1012.5、1518.75、2025、2531.25； 如果3a＝2025，这五个正有理数组成的“好数组”为675、1350、2025、2700、3375； 如果2a＝2025，这五个正有理数组成的“好数组”为1012.5、2025、3037.5、4050、5062.5； 如果a＝2025，这五个正有理数组成的“好数组”为2025、4050、6075、8100、10125． 【点评】本题考查了新定义下的数字规律，绝对值的意义，有理数的加减法等知识，掌握相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $