3.2平面直角坐标系—点坐标规律探索 专题提升训练 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

""

2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册《3.2平面直角坐标系—点坐标规律探索》专题提升训练（附答案） 一、单选题 1．已知点，且轴，则a的值为（    ） A． B． C．2 D．1 2．在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点 叫作点的青蓝点，已知的青蓝点为，点的青蓝点为，点的青蓝点为，⋯，这样依次得到点，，，，…，， 若点的坐标是， 则点P2025的坐标是 （   ） A． B． C． D． 3．如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点A（-2，3），将矩形ABCD沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为依此类推，经过3次翻滚后点A对应点的坐标为（    ） A．（8，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（5，0） 4．如图，平面直角坐标系中，已知点，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2029次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．如图，一个点在第一象限及x轴，y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点，然后按照图中箭头所示方向移动，即→→→→→…，且每秒移动一个单位，那么第20秒时，点所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆、、，，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．如图，平面直角坐标系内，动点按照图中箭头所示的方向依次运动，第次从点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，，按照这样的运动规律，动点第次运动到点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若点在x轴上，则m的值为 ． 9．点关于轴对称的点的坐标为 ． 10．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“3级关联点”为，即．若点的5级关联点为，则点坐标为 ． 11．天文学家以流星雨辐射所在的天空区域中的星座给流星命名，狮子座流星雨就是流星雨辐射点在狮子座中，如图，小明将自己绘制的狮子座的星座图放在网格中，若点A的坐标是，点C的坐标是，则点B的坐标是 ． 12．如图，小球开始时位于处，沿如图所示的方向击球，小球碰到球桌边会改变轨迹，其运动轨迹如图所示．如果小球开始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，当小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是 ． 13．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走，到达点，再向正北走到达点，再向正西走到达点，再向正南走，到达点，再向正东方向走到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，，，，……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……，根据这个规律，点的坐标为 三、解答题 15．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在y轴上，则点P的坐标是______； (2)若点P在过点且与x轴平行的直线上，则点P的坐标______； (3)若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标； 16．探索规律：点，，，，…，按此规律，求： (1)点的坐标； (2)点的坐标(为正整数)； (3)若点到轴的距离为，求的值． 17．如图，智能机器猫从平面上的点出发，按下列规律走：由向东走到，再由向北走到，由向西走到，由向南走到，由向东走到，，问：智能机器猫到达点与点的距离是多少？ 18．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：(________，________)，(________，________)，(________，________)； (2)求点的坐标； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 19．如下图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，依此变换下去．已知． (1)求出三角形各个顶点的坐标． (2)按此图形的变化规律，请你求出三角形的面积与三角形的面积的大小关系． 20．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义： 点的“第I类变换”：将点向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度； 点的“第II类变换”：将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． (1)①已知点，对点进行1次“第类变换”后得到的点的坐标是_____； ②点为平面内一点，若对点进行1次“第II类变换”后得到点，则点的坐标是_____． (2)已知点，若对点连续进行5次“第I类变换”，再连续进行4次“第II类变换”后得到点，求点的坐标（用含，的式子表示）． (3)已知点的坐标，对点进行“第类变换”和“第II类变换”共计20次后得到点，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点恰好在轴上？如果存在，请求出此时点的坐标；如果不存在，请说明理由． 参考答案 1．D 【分析】本题考查点的坐标规律，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解答的关键． 平行于x轴的直线上的点的坐标特征：纵坐标相等，据此进行解答即可． 【详解】解：∵点，且轴， ∴， 解得， 故选：D． 2．A 【分析】本题为新定义问题，根据新定义进行计算，发现其中规律是解题关键．根据“青蓝点”的定义求出，，，，…；即可发现点的坐标每4个一个循环，据此即可求解． 【详解】解：∵把点 叫作点的青蓝点，已知的青蓝点为，点的青蓝点为，点的青蓝点为，⋯， ∴，即； ∴，即； 同理可得，，…； ∴点的坐标每4个一个循环， ∵， ∴的坐标与的坐标相同，即． 故选：A． 3．D 【分析】根据A点坐标可知长方形的长和宽，根据长方形的长和宽分析每次翻滚后A点的落点，由此可解决本题． 【详解】解：∵A点坐标为（-2，3）， ∴AB=DC=3，AD=BC=2， 第一次翻滚后点坐标为：（3，2）， 第二次翻滚后点的坐标为（5，0）， 第三次翻滚是以点为中心进行翻滚，故（5，0）， 故选：D． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中的点，能够根据题意分析出图形的运动过程是解决本题的关键． 4．A 【分析】本题考查的是坐标系内点坐标规律问题，利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴经过1秒钟时，P与Q在处相遇， 接下来两个点走的路程和为10的倍数时，则每过2秒，两点相遇， ∵第二次相遇在的中点， 第三次相遇在， 第四次相遇在， 第五次相遇在， 第六次相遇在B点， ∴每五次相遇点重合一次， ∵， 即第2029次相遇点的坐标与第四次相遇点的坐标重合，即． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的移动规律，核心是对平面直角坐标系内点的运动规律与时间关系的探究． 通过观察点的移动规律，计算出到各个关键位置所用的时间，从而确定第 20 秒时点的坐标． 【详解】解：点从原点开始，先向右移动1秒到， 然后向上移动1秒到，接着向左移动1秒到，再向上移动1秒到， ∴可知到达点用了（秒）； 然后向右移动2秒到，向下移动2秒到， 向右移动1秒到， ∴可知到达点用了（秒）； ∴当点离开x轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y轴时的纵坐标为时间的平方， 此时时间为奇数的点在x轴上，时间为偶数的点在y轴上 ∵， 第16秒时，点的坐标为， 故在第20秒时，动点向右平移4秒，点所在位置的坐标是． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查图形坐标规律探究，理解题意，由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为秒，点的横坐标为运动时间的倍，纵坐标以，，，四个数为一个循环，根据规律即可求得第秒点位置，得到点的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为（秒）， 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点， ； ∴点的横坐标为运动时间的倍，纵坐标以，，，四个数为一个循环， ∴当时间为秒时，点的横坐标为，由，则点的纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：． 7．B 【分析】本题考查了规律型—点的坐标规律探究，由此可以得到规律每四次运动为一个循环，点的纵坐标依次为，，，，横坐标为运动次数减，又，故有动点第次运动到点的横坐标为，纵坐标与第次运动后的点的纵坐标相同为，从而求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵第次从点运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， ， 由此可以得到规律，每四次运动为一个循环，点的纵坐标依次为，，，，横坐标为运动次数减， ∵， ∴动点第次运动到点的横坐标为，纵坐标与第次运动后的点的纵坐标相同，为， ∴动点第次运动到点的坐标为， 故选：． 8．2 【分析】本题主要考查点的坐标，掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键． 直接根据x轴上的点的纵坐标为0求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：2． 9． 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了点的坐标，理解题中所给定义是解题的关键．解题时，根据题中所给定义直接求解即可． 【详解】解：∵的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”且的5级关联点为 ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 故答案为：． 11． 【分析】根据已知点确定坐标轴的方向和单位长度，即水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向．根据点C和点B的位置关系来确定点B的坐标，再由点A与点B的位置确定点B坐标的正确性． 【详解】​解：点B相对于点：横向跨2格（x方向），纵向跨2格（y方向）， ，， ​点B的坐标为 验证：从点向左2格（），y向下2（），结论一致， 故答案为： 【点睛】本题考查​平面直角坐标系的应用​（坐标定义、方向判断），​点的平移变换​（通过网格移动确定坐标变化），​坐标与位置对应​（将实际网格位置转化为数值坐标）．​结合两个已知点的坐标双重验证移动距离​（点C出发计算点A出发验证）是解题的关键． 12． 【分析】本题考查点坐标规律探索，解题关键是发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．根据题意，可以画出相应的图形，然后发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2026次碰到球桌边时小球的位置． 【详解】解：由图可得，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第七次碰到球桌边时，小球的位置是， …… 观察发现，小球位置每6次为一个周期依次循环， ， 当小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是， 故答案为： 13． 【分析】本题考查了点的坐标，根据题意写出坐标即可得解，理解题意，找准运动方向，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：依题意得点坐标为， 点坐标为，即， 点坐标为，即， 点坐标为，即， 点坐标为，即， ∴点坐标为，即， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律．根据各个点的位置关系，可得点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，且，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，……， 由此发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点在第三象限的角平分线上， ∴点． 故答案为：． 15．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了各个象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据点在y轴上，横坐标为0进行求解即可； （2）根据与轴平行的直线上所有点的纵坐标都相等求解即可； （3）根据点到两坐标轴距离相等，则其横、纵坐标的绝对值相等进行求解． 【详解】（1）解：若点P在y轴上，则， 解得， ∴， ∴点P的坐标是， 故答案为：； （2）解：根据题意得，， 解得， ∴， ∴点P的坐标是， 故答案为：； （3）解：根据题意得，， ∴或， 解得或 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； ∴点P的坐标为或． 16．(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，求一个数的算术平方根，找到纵坐标是横坐标的平方，是解题的关键； （1）根据规律直接写出点的坐标； （2）根据纵坐标是横坐标的平方写出点的坐标； （3）根据到轴的距离为纵坐标的绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：点，，，， ∴ （2）解：依题意，点的坐标为 （3）解：由（2）可得 ∴． 又∵为正整数， ∴ 17． 【分析】本题考查了点的坐标变化规律问题，勾股定理，由题意可知每移动一次，移动的距离比原来移动的距离多，据此求出点，再根据勾股定理解答即可求解，由题意找出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意知，每移动一次，移动的距离比原来移动的距离多， ∵向东走到，再由向北走到，由向西走到，由向南走到，由向东走到， ∴，，，，， ∴由规律得，， ∴， 即智能机器猫到达点与点的距离是． 18．(1)2，0；5，1；7，0 (2) (3)向上 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． （1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可； （2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，再由，可得的纵坐标为1，横坐标为．据此可得答案； （3）由可知从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上 ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，，， ∴，，， 故答案为：2，0；5，1；7，0； （2）观察可知，每四次移动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为，依次出现． ， 的纵坐标为1，横坐标为， ． （3）， ∴从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，为向上． 19．(1)点O的坐标是，点的坐标是，点的坐标是 (2) 【分析】本题考查了点坐标规律探索，解题的关键是找出点的规律； （1）先得到A的横坐标是，而纵坐标都是3，点的横坐标是，纵坐标是0即可作答； （2）根据三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】（1）解：由图可知，点O的坐标是． 已知，从点，，…，的坐标中找规律，发现点的横坐标是，而纵坐标都是3． 同理，点也一样找规律，发现点的横坐标是，纵坐标是0． 由上述规律可知，点的坐标是，点的坐标是． （2）解：根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高都是3． 由（1），得，所以． 又因为， 所以． 20．(1)①；② (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）①根据题目新定义再结合坐标平移特点得出结果即可；②根据题目新定义再结合坐标平移特点得出结果即可； （2）对点连续进行5次“第I类变换”后，得到的点的坐标，再进行4次“第II类变换”后，得到的点的坐标是 ，化简即可； （3）设点P经过m次“第I类变换”，经过n次“第II类变换，得到点Q的坐标为，根据题意得到，解出、为非负整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：①点向左平移2个单位长度，得到；再向上平移1个单位长度得到； ∴点，对点进行1次“第类变换”后得到的点的坐标是； 故答案为：． ②点，向左平移1个单位长度得到，再向上平移3个单位长度得到； ∴对点进行1次“第II类变换”后得到点，则点的坐标； 故答案为：． （2）解：对点连续进行5次“第I类变换”后， 得到的点的坐标是，化简得（，）， 再进行4次“第II类变换”后，得到的点的坐标是 ， 化简得； ； （3）解：不存在， 理由如下：， 设点P经过m次“第I类变换”，经过n次“第II类变换， 得到点Q的坐标为 点恰好在轴上， ， 解得， 、为非负整数， 不合题意舍去， 不存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上． 学科网（北京）股份有限公司 $