第5章 第19讲 多边形与平行四边形-（精练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

..BD2+BF2=DF2 '∠EAF=∠BAC=2a,∴.∠BAE=∠CAF,.△BAE∽△CAF， .∠BAC=90°，∠DAE=45°， ∴.∠CAE+∠BAD=45°， ÷E-AS-,∠AFC-∠AEB,∠ACF-∠B ∴.∠BAF+∠BAD=45°， ∴.CF=k·BE,∠ACB+∠ACF=∠ACB+∠B=180°-2a. .∠DAF=45°， ∴∠BCF=180°-2a. ∴.∠DAE=∠DAF, :∠BAC=2a,∠DAE=a,.∠BAE+∠DAC=a, ∴.△DAE≌△DAF(SAS), .∠CAF+∠DAC=a,.∠DAF=a, ..DF=DE, .∠DAF=∠DAE ∴.BD2+CE2=DE2」 :Ap .CE=BC-BD-DE=12-3-DE=9-DE, -AD=质A品E。 .32+(9-DE)2=DE2, 0-品0， ∴.DE=5 .△ADF∽△AED,∠AFD=∠ADE. :∠BEA-∠ADE=∠EAD=Q, ∴.∠AFC-∠AFD=a,∴.∠DFC=a, .∠CDF=180°-∠BCF-∠DFC=180°-(180°-2a)- a=a, 2 ∴∠CDF=∠CFD,∴.CD=CF=k·BE. (2)设DE=x, 第五章四边形（课程标准理念，单元整合设计） 如图②所示， 第19讲多边形与平行四边形 当D在BC上时，BE=BC-CD-DE=IO-x. 1.C2.C3.B4.B5.D 作∠EAF=120°，截取AF=AE,连接DF,作DG⊥CF于G 6.81°7.10 同(1)可得，△CAF≌△BAE,△DAE≌△DAF, 8.解：(1)①证明： ∴.CF=BE,∠ACF=∠B=30°，DF=DE, '∠B=∠AED, .∠DCF=∠ACB+∠ACF=60°， .BC//DE. .DG-CD-V3X2-5.CG-CD=1. 1 .AB∥CD 2 .四边形BCDE为平行四边形. ∴.FG=CF-CG=9-x. ②证明：，AE=BE,AE=CD, .∠DGF=90°， .BE=CD. ∴.FG2十DG2=DF2, .AB//CD, .(9-x)2+(W5)2=x2, ∴.四边形BCDE为平行四边形 (2)由(1)可知，四边形BCDE为平行四边形， ∴.DE=BC=10. DE-是 ,AD⊥AB, .∠A=90°， 如图③所示， 当点D在BC的延长线上时， AE=√DE2-AD=√102-82=6， 作∠EAF=120°，截取AF=AE,连接DF,作DG⊥CF于G, 即线段AE的长为6. 同上可得， 9.AB10.√4I DF=DE=x,CG=1,DG=√3，CF=BE=BC-CE=12- 11.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， (DE-CD)=12-(x-2)=14-x, .AD∥BC,∠BAD=∠BCD, ∴.FG=CF+CG=15-x, ∴.∠AEB=∠DAE. 由FG2+DG2=DF2,得 AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线， 1 (15-x)2+(W3)2=x2, ∴∠AEB=∠DAE= 1 ∠BAD,∠BCF=Z∠BCD, x38 ∴.∠AEB=∠BCF, .AE∥CF. DE- 又AFCE, ∴.四边形AECF是平行四边形 综上所述，DE 14.38 3或5 (2)如图所示，过点C作CH⊥AD于点H, 则∠CHD=90°， ,四边形ABCD是平行四 边形， ∴AD∥BC, .∠ADC+∠BCD=180°， .∠BCD=180°-∠ADC=180°-60°=120° ③ ④ ,CF是∠BCD的平分线， (3)CD=k·BE,理由如下：如图④所示， 作∠EAP=2a,使AF=k·AE,E-AB6. ∠DCF=2∠BCD=2×120=60, 69 .∠ADC=∠DCF=60°， 设C'T=PH=t,则AP=6-t, ∴△CDF是等边三角形， :'.AT=PT-PA=2+t. CD-DF-2.DH-DF-1 ∠CAD'=90°，C'D'⊥AB,∴.△ATD'∽△C'TA, 在Rt△CHD中，由勾股定理得CH=√CD一DH= 部-7r-CT:Tm √22-1平=5， .(2+t)2=t(12-t),化简得t2-4t+2=0,解得t=2士√2， Same=2DF·CH=×2Xwg=5. ∴.BP=BH+HP=8士√2. 情况三：当以D'为直角顶点时，点P落在BA的延长线上，不 由(1)得四边形AECF是平行四边形， 符合题意 CE=AF=2DF= ×2=1. 综上所述，BP=6或8士√. 第20讲矩形、菱形、正方形的判定 :AD/BC,△DGFn△EGC,CGCE=i' FG DF 2 1.ABC2.A3.AB=AD(答案不唯一) 4.AC=BD(答案不唯一) 2 5.证明：，O是边AB的中点，.OA=OB. 12.解：(1)在□ABCD中，BC=AD=10, I∠AOD=∠BOC, 在△AOD和△BOC中，{OA=OB, 在Rt△BCH中，HC=BCsin B=10X号-8， ∠A=∠B, (2)①如图①所示，作CH⊥BA于点H, .△AOD≌△BOC(ASA),∴.DA=CB ∠A=∠B=90°，∴.DA∥CB, 由(1)得BH=√BC2-CH=√102-82=6， .四边形ABCD是平行四边形 作C'Q⊥BA交BA的延长线于点Q,则∠CHP 又，∠A=90°，∴.四边形ABCD是矩形 ∠PQC'=90°， 6.解：(1)四边形OCDE是菱形，理由如下： ∴.∠C'PQ+∠PC'Q=90°. ,CD∥OE,∴.∠FDC=∠FOE ,∠C'PQ+∠CPH=90°， :CE是线段OD的垂直平分线，.FD=FO,ED=OE, .∠PC'Q=∠CPH. CD-CO 由旋转知PC'=PC,∴.△PQC'≌△CHP(AAS). 在△FDC和△FOE中， 设BP=x,则PQ=CH=8,C'Q=PH=6-x,QA=PQ I∠FDC=∠FOE, PA=x-4. FD=FO, ,C'Q⊥AB,CH⊥AB,.CQ∥CH， ∠DFC=∠OFE, ∴.△AQC'∽△AHC, ∴.△FDC≌△FOE(ASA),∴CD=OE. CH-HA8 又ED=OE,CD=CO,∴.ED=OE=CD=CO, .四边形OCDE是菱形. (2),四边形ABCD为矩形， .∠BCD=∠CDA=90°，DO=CO. ,CE是线段OD的垂直平分线，.CD=CO ..CD=CO-DO, .△ODC为等边三角形，∴.DO=CD=4,∠ODC=60°， 4 ∴DF=D0=2.在Rt△CDF中，CD=4,DF=2,由勾股定 理，得CF=√CD-DF2=2√3， ⑨ 由(1)可知：四边形OCDE是菱形，.EF=CF=23. ②由旋转，得△PCD≌△PC'D',CD=C'D',CD⊥CP, .∠GDF=∠CDA-∠ODC=30°， 又AB∥CD,.C'D'⊥AB. GF 情况一：当以C为直角顶点时，如图②所示 tan∠GDF=DF C'D'⊥AB,.C'落在线段BA的延长线上. PC⊥PC',PC⊥AB,由(1)知，PC=8, GF=DF·tan∠GDF=2tan30°=3，EG=EF-GE→ ∴BP=6. 情况二：当以A为直角顶点时，如图③所示， 2w5-23_43 3 3 设C'D'与射线BA的交点为T,作 D 7.A8.83 CH⊥AB于点H..PC⊥PC, 9.解：(1)45 ∴.∠CPH+∠TPC'=90°. (2)①证明：过点A作AG⊥EF于点G,如 CD'⊥AT, C 图所示，则∠AGE=∠AGF=90°. ∴.∠PC'T+∠TPC=90°， AB⊥CE,AD⊥CF,∠B=∠D= ∴.∠CPH=∠PC'T. 90°=∠C, .∠CHP=∠PTC'=90°，PC=C'P, ∴.四边形ABCD是矩形 .△CPH≌△PCT(AAS),∴.CT= ,∠CEF,∠CFE外角平分线交于点A, PH,PT-CH-8. ..AB=AG,AD=AG,..AB=AD, 70第五章 四边形（课程标准理念，单元整合设计） 第19讲多边形与平行四边形（答案P69) 考点达标训练 若以上解答过程正确，①，②应分别为() 1.(2024·资阳中考)已知一个多边形的每个外 A.∠1=∠3，AAS B.∠1=∠3，ASA 角都等于60°，则该多边形的边数是( C.∠2=∠3，AAS D.∠2=∠3，ASA A.4 B.5 C.6 D.7 2.(2024·遂宁中考)佩佩在“黄娥古镇”研学时 学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正 多边形图案，这个正多边形的每个外角 为() 第5题图 第6题图 A.36°B.40° C.45° D.60° 6.(2024·宁夏中考)如图所示，在正五边形 3.几何直观◆(2024·河北中考)直线1与正六边 ABCDE的内部，以CD为边作正方形 形ABCDEF的边AB,EF分别相交于点 CDFH,连接BH,则∠BHC= M,N,如图所示，则a+B=() 7.(2023·福建中考)如图所示，在□ABCD中， A.115°B.120 C.135 D.144° O为BD的中点，EF过点O且分别交AB, CD于点E,F.若AE=10,则CF的 X/M 长为 第3题图 第4题图 4.(2024·巴中中考)如图所示，□ABCD的对角 线AC,BD相交于点O,点E是BC的中点， 8.推理能力(2024·湖南中考)如图所示，在四边 AC=4.若□ABCD的周长为12，则△COE的 形ABCD中，AB/CD,点E在边AB上， 周长为() 请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE= A.4 B.5 C.6 D.8 CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填 5.推理能力(2024·河北中考)下面是嘉嘉作业 在横线上（填序号），再解决下列问题： 本上的一道习题及解答过程： (I)求证：四边形BCDE为平行四边形 已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC,AE平分 △ABC的外角∠CAN,点M是AC的中点，连接 (2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE BM并延长交AE于点D,连接CD. 的长 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明：，AB=AC,∴∠ABC=∠3. ,∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2， ∠1=∠2， .① 又∠4=∠5，MA=MC, .△MAD≌△MCB(② 、 '.MD=MB.∴.四边形ABCD是平行四边形 数学·精练册潍坊专用 57 素养拓展提升 12.(2023·绍兴中考)在平行四边形ABCD中 9.(多选题)如图所示，在平行四边形ABCD中， (顶点A,B,C,D按逆时针方向排列)，AB= AB≠BC,点F是BC上一点，AE平分 12,AD=10,∠B为锐角，且smB=号 ∠FAD并交CD于点E,且点E是CD的中 (1)如图①所示，求AB边上的高CH的长. 点，则下列结论正确的是() (2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕 A.AE⊥EF B.AF-CF+AD 点P按逆时针方向旋转90°得点C',D', C.∠BAF=2∠FAED.EC=FC ①如图②所示，当C'落在射线CA上时，求 BP的长 ②当△AC'D是直角三角形时，求BP的长， B M 第9题图 第10题图 10.(2024·广安中考)如图所示，在□ABCD中， AB=4,AD=5,∠ABC=30°，点M为直线BC 备用图 上一动点，则MA十MD的最小值为 11.推理能力(2024·大庆中考)如图所示，在平 行四边形ABCD中，AE,CF分别是∠BAD, ∠BCD的平分线，且点E,F分别在边BC, AD上. (1)求证：四边形AECF是平行四边形 (2)若∠ADC=60°，DF=2AF=2,求△GDF 的面积. 58 优学系赢在中考