4.2.2指数函数的图像和性质导学案（第二课时）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2.2指数函数的图像和性质导学案（第二课时） 1、 学习目标 1.理解指数函数的概念和意义，会画指数函数的图像。 2.探索并理解指数函数的单调性和特殊点。 3.理解指数函数的图像与性质，能运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题。 二、学习重难点 教学重点：指数函数的图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质及其应用。 三、知识点自主预习填空 1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a≠1 2、指数函数的图象和性质 0<a<1 a>1 图 像 性质 定义域R , 值域（0，+∞） （1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1 (2)在R上是减函数 (2)在R上是增函数 （3）当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 （3）当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 图象特征 函数性质 共性 向x轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+ 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 过定点（0，1） 0<a<1 自左向右看，图象逐渐下降 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 当x>0时,0<y<1; 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当x<0时,y>1 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快， 到了某一值后减小速度较慢； a>1 自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当x>0时,y>1; 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当x<0时,0<y<1 图象上升趋势是越来越陡 函数值开始增长较慢， 到了某一值后增长速度极快； 注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x 指数型函数： y=kax 3 考点：（1）ab=N, 当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的 异侧。 （2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。 （3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 （4）分辨不同底的指数函数图象利用a1=a，用x=1去截图象得到对应的底数 四、典例详解 4.2指数函数 考点01：求指数型复合函数的定义域 例1：1．函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶次方根的被开方数必须大于等于零，建立不等式可解. 【详解】由题意得 所以， 即， 又指数函数为上的单调减函数， 所以，解得. 故选：C. 2．函数的定义域为M，值域为，则M= ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据值域列出关系式，求解指数不等式即可求得答案. 【详解】因为函数的值域为，所以，所以， 即，故，所以，则函数的定义域为． 实际上，只要即可满足条件，即可以为并上任意一个的子集均可. 故答案为：（答案不唯一） 考点02：求指数型复合函数的值域 例2：1．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数求出指数的取值范围，再根据指数函数的单调性求出函数的值域. 【详解】设，则且，根据反比例函数性质， 从而，所以． 故答案为：. 2．已知函数的值域为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求函数出在上的值域，当时，要使函数的值域为， 则，进而可得出答案. 【详解】当时，，而函数在上单调递增， 又是增函数， 因此函数在上单调递增， ，即函数在上的值域为， 当时，函数的值域为，而函数的值域为， 因此， 而当时，， 必有，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 考点03：根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 例3：1．已知的值域为，则x的取值范围可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据值域解不等式组可得t的范围，然后解指数不等式可得. 【详解】令，则， 由题知，，解得或， 即或，解得或. 故选：D 2．已知函数在区间上的值域为，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】根据图象的变换得到函数，然后根据函数图象求即可. 【详解】    作出函数的图象如图，函数在上单减， 在上为增函数，又，，， 若函数在区间上的值域为，则实数. 故答案为：3. 考点04：判断指数型复合函数的单调性 例4：1．设函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递增， 则有函数在区间上单调递增，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 2．函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，在结合复合函数单调性分析求解. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为， 因为开口向下，对称轴为， 可知在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递增区间为. 故选：B. 考点05：含参指数函数的最值 例5：1．若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性的性质，结合存在性质的定义进行求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 显然在上单调递减， 所以，即实数a的取值范围为. 故选：D 2．设函数是定义域为R的偶函数. (1)求p的值； (2)若在上最小值为，求k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数的定义可得，结合恒等式的性质可得的值； （2）求得的解析式，设，可得，设，对称轴为，讨论对称轴与区间的关系，可得最小值，求得的值； 【详解】（1）函数是定义域为的偶函数， 可得，即为， 化为， 由，可得，即； （2）， 设，由，递增，可得， 设，对称轴为， 当时，在,递增，可得的最小值为， 解得，舍去； 当时，在处取得最小值，且为， 解得舍去）， 综上可得，； 考点06：求指数函数最值和不等式的综合问题 例6：1．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解. 【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，， 因为，① 所以， 所以，② ①②得，， 因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，又， 若恒成立，则恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以只需， 因为，，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以（当且仅当时，取等号）， 所以， 所以的取值范围为. 故选：B． 2．已知函数，． (1)若，解关于的不等式； (2)若函数的最小值为-4，求m的值． 【答案】(1) (2)-3 【分析】（1）因式分解得到，结合，得到，求出解集； （2）变形得到，，结合函数对称轴，分两种情况，由函数最小值列出方程，求出m的值. 【详解】（1）时，由得， ，， 因为，所以，解得， 所以原不等式的解集为． （2）因为， 令，因为， 所以，（当且仅当时取得等号） 则，， ①当，即时，在上单调递增， 当，即时，， 所以，解得，符合题意； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 当，， 所以，解得，不合题意，舍去． 综上，的值为-3． 考点07：指数函数综合应用 例7：1．（多选）若m，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数单调性可得m,n关系，特值法判断A,D选项，基本不等式求出B,C 选项. 【详解】， 单调递减，， 当时满足，A选项错误； ，B正确； ，C正确； ， 当时取等号，与已知矛盾，D选项错误. 故选：BC. 2．若函数. (1)讨论函数的奇偶性，说明理由； (2)若函数在上为减函数，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析，理由见解析； (2). 【分析】（1）.根据，可得当时，为奇函数；根据，可得当时，为偶函数； （2），且.由已知可得，进而可推出，根据的范围可得. 【详解】（1）解：由已知可得，函数的定义域为R， 对于，有， 因为， 当时，有，即，此时函数为R上的奇函数； 当时，，即，此时函数不是奇函数， 因为， 当时，有，即，此时函数为R上的偶函数； 当时，，即，此时函数不是偶函数. 综上所述，当时，为R上的奇函数；当时，为R上的偶函数；当时，既不是奇函数，也不是偶函数； （2）解：，且. 因为函数在上为减函数，所以，即， 因为， 因为，所以，所以， 则由可得，即， 因为，，且，所以，则， 所以， 所以实数a的取值范围为. 5、 练习提升 1．设命题，，则的真假与否定形式分别为（   ） A．假命题，， B．真命题，， C．假命题，， D．真命题，， 【答案】C 【分析】利用全称量词命题真假判断方法及否定判断即得. 【详解】命题是全称量词命题，取，得，命题是假命题， 命题的否定是，. 故选：C 2．已知函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数性质即可得到其单调性，则得到不等式，解出即可. 【详解】因为均为上的增函数，则为上的增函数， 所以若，则，解得. 故选：D. 3．若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用指数函数性质计算即可得. 【详解】由指数函数的性质知必是单调函数， 又， 因为值域为，所以函数在上单调递增，故， 即，解得，又，故. 故选：B. 4．若函数且是上的减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数单调性，结合指数函数单调性列式求解. 【详解】由函数且是上的减函数，得， 解得，所以实数的取值范围为. 故选：B 5．已知，，函数在R上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分在R上单调递增和单调递减两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】若在R上单调递增，需满足，解得； 若在R上单调递减，需满足，解得， 综上，a的取值范围是. 故选：A 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案. 【详解】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为， 故选：D 7．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【详解】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 8．已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可理解为三个函数的函数值相同时，对应的自变量的大小关系的可能情况. 【详解】    令，则等价于. 因此该题可理解为三个函数的函数值相同时，对应的自变量的大小关系. 根据图象分析的大小关系共有以下4种情况： ①；②；③；④；⑤. 故选：D. 9．（多选）下列结论正确的是（　　） A．的最小值为 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值是 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即当时，无最小值，A错； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最小值为，B对； 对于C选项，当时，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最小值为，C对； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，D对. 故选：BCD. 10．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】ABC 【分析】根据指数幂运算性质，结合指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确； B：， 因为，所以， 因此函数的值域为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以本选项说法正确； D：因为， 所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 11．（多选）若函数在上存在最大值，则的取值范围不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据二次函数与指数函数单调性，结合复合函数单调性可得在里必须存在，从而得的取值范围. 【详解】令，由函数图象的对称轴方程为，开口向下， 得在上单调递增，在上单调递减， 又指数函数在上单调递增， 所以在里必须存在，解得． 故选：ABD． 12．若函数的图象关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的图象关于原点对称可知函数为奇函数，再根据奇函数的定义可得解. 【详解】由已知函数的图象关于原点对称， 即函数为奇函数，且函数定义域为， 则， 解得， 当时，，则， 即当时，函数为奇函数，满足图象关于原点对称， 故答案为：. 13．纳皮尔精确的对数定义来源于一个运动的几何模型：假设有两个沿两平行直线运动的动点C和F，其中点C从线段的端点A向B运动，点F从射线的端点D出发向E运动，其中的长为的长无限大．若的长度满足在第秒时的长度满足在第t秒时，记，则x是关于y的一个对数函数．根据以上定义，当时，则 ． 【答案】18 【分析】第t秒时，令求出，再由可得答案. 【详解】由题意知，第t秒时， 令得，，解得， 又因为第t秒时， 所以当时，． 故答案为：18． 14．已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)是奇函数，证明见解析； (2)． 【分析】（1）应用奇偶性的定义判定证明函数的奇偶性即可； （2）根据解析式判断函数的单调性，再利用奇偶性、单调性得对一切成立，最后应用分类讨论及二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】（1）是奇函数，证明如下， 的定义域为，关于原点对称， ， 是奇函数； （2）是增函数， 是上的减函数， 原不等式可化为， 即对一切成立， ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 15．已知函数是上的奇函数，函数. (1)求实数的值； (2)若函数在上的最小值为11，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程来求得的值； （2）利用换元法，结合函数单调性和二次函数的性质来求实数的值. 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以， 即，整理得， 所以，， 所以，检验可知符合题意，所以. （2）由（1）知，，所以. 令， 因为函数和在上区间都单调递增， 所以函数在区间上单调递增，所以， 则（的最小值11就是的最小值），抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，，解得. 当，即时，， 解得，无解. 综上所述，实数的值为. 16．已知函数是定义域为的偶函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法给出证明； (3)令，，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）设，则，利用偶函数即可求的解析式，然后写出可得函数的解析式； （2）区间上任取，，且，作差，根据的符合证明单调性； （3）先确定函数在的单调性，再根据单调性解不等式得，然后解不等式组即可. 【详解】（1）设，则, ∵时，, ∴, ∵是定义域为的偶函数, ∴, ∴, ∴. （2）由（1）知，当时，, 所以函数在区间上单调递减, 证明如下： 在区间上任取，，且, 由, 又∵, ∴，, ∴, ∴, ∴, ∴函数在区间上单调递减. （3）∵当时, ∴在上单调递增, ∵, ∴, ∴, ∴不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2指数函数的图像和性质导学案（第二课时） 1、 学习目标 1.理解指数函数的概念和意义，会画指数函数的图像。 2.探索并理解指数函数的单调性和特殊点。 3.理解指数函数的图像与性质，能运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题。 二、学习重难点 教学重点：指数函数的图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质及其应用。 三、知识点自主预习填空 1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a≠1 2、指数函数的图象和性质 0<a<1 a>1 图 像 性质 定义域R , 值域（0，+∞） （1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1 (2)在R上是减函数 (2)在R上是增函数 （3）当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 （3）当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 图象特征 函数性质 共性 向x轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+ 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 过定点（0，1） 0<a<1 自左向右看，图象逐渐下降 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 当x>0时,0<y<1; 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当x<0时,y>1 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快， 到了某一值后减小速度较慢； a>1 自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当x>0时,y>1; 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当x<0时,0<y<1 图象上升趋势是越来越陡 函数值开始增长较慢， 到了某一值后增长速度极快； 注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x 指数型函数： y=kax 3 考点：（1）ab=N, 当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的 异侧。 （2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。 （3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 （4）分辨不同底的指数函数图象利用a1=a，用x=1去截图象得到对应的底数 四、典例详解 4.2指数函数 考点01：求指数型复合函数的定义域 例1：1．函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为M，值域为，则M= ． 考点02：求指数型复合函数的值域 例2：1．函数的值域为 ． 2．已知函数的值域为，则a的取值范围是 ． 考点03：根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 例3：1．已知的值域为，则x的取值范围可以为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间上的值域为，则实数的值为 . 考点04：判断指数型复合函数的单调性 例4：1．设函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 考点05：含参指数函数的最值 例5：1．若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设函数是定义域为R的偶函数. (1)求p的值； (2)若在上最小值为，求k的值. 考点06：求指数函数最值和不等式的综合问题 例6：1．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，． (1)若，解关于的不等式； (2)若函数的最小值为-4，求m的值． 考点07：指数函数综合应用 例7：1．（多选）若m，，，则（    ） A． B． C． D． 2．若函数. (1)讨论函数的奇偶性，说明理由； (2)若函数在上为减函数，求实数a的取值范围. 5、 练习提升 1．设命题，，则的真假与否定形式分别为（   ） A．假命题，， B．真命题，， C．假命题，， D．真命题，， 2．已知函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 4．若函数且是上的减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，函数在R上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）下列结论正确的是（　　） A．的最小值为 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值是 D．的最大值为 10．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 11．（多选）若函数在上存在最大值，则的取值范围不可能为（　　） A． B． C． D． 12．若函数的图象关于原点对称，则 ． 13．纳皮尔精确的对数定义来源于一个运动的几何模型：假设有两个沿两平行直线运动的动点C和F，其中点C从线段的端点A向B运动，点F从射线的端点D出发向E运动，其中的长为的长无限大．若的长度满足在第秒时的长度满足在第t秒时，记，则x是关于y的一个对数函数．根据以上定义，当时，则 ． 14．已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 15．已知函数是上的奇函数，函数. (1)求实数的值； (2)若函数在上的最小值为11，求实数的值. 16．已知函数是定义域为的偶函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法给出证明； (3)令，，求不等式的解集. 学科网（北京）股份有限公司 $