复数数列立体知识点及例题总结讲义-2026届高三数学一轮复习

"该高中数学讲义覆盖复数、数列、空间几何等高考核心考点，按“必备知识+关键能力”架构系统梳理知识，如数列模块整合等差等比性质、通项与求和方法，空间几何涵盖表面积体积、线面关系及空间向量应用。通过考点梳理、方法总结、典例精讲、分层练习环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。\n讲义以专题化方法指导和素养培养为特色，如数列求通项的累加法专题训练，结合典例解析培养数学思维，空间向量求角距离强化逻辑推理能力。设置基础巩固与能力提升分层练习，即时反馈巩固，助力学生高效掌握解题通法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。"

《复数基本知识》 1． 复数概念 形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 2． 复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数 3． 复数几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 《关键能力》 【典例1】若复数z满足，则复数z的虚部是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【练习】复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【典例2】若复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 已知为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 《数列》必备知识 1.等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 2.等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 3.等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （10）．数列是等差数列⇔（为常数）． （11）等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 4.等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： 5.等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 6.等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 关键能力 《数列的概念》 【典例1】数列满足，则； 答案：-1 【典例2-1】数列是递增数列，对任意，都有恒成立，则的取值范围是______________. 答案： 【典例2-2】已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案 【典例3】已知数列的通项公式是，求数列中的最大项． 答案最大项为 《等差数列及其前项和》 【典例1】在等差数列中，若，则等于（ ） A. 4 B. 6 C.8 D. 10 答案 【典例2】在数列中，，，且满足 （1） 求数列的通项公式； （2）设，求 答案： 【典例3】 （1）等差数列的前项和为，若，，则 答案 ：72 （2） 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数的和为261.求此数列中间一项的值以及项数. 答案 ：中间项为29，项数为19 （3）若两个等差数列，的前项和和，满足，则的值是（ ） A. B. C. D. 答案： （4）设是等差数列的前项和，且，，则 答案： 0 《等比数列及其前项和》 【典例1】 （1）在等比数列中，，，，则 答案： 3 （2）记等比数列的前项积为，已知，且，则的值为___________. 答案 ：4 （3）设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么 答案： 2048 （4）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，，给出下列结论：（1）；（2）；（3）的值是中最大的；（4）使成立的最大自然数等于．其中正确的结论序号是 答案 （1）（2）（4） 专题一 数列的通项方法 类型一：形如（），其中是可求和的，处理方法：累加法． 【典例1】数列中，若，，则 答案： 类型二：形如（），其中是可相消的．处理方法：累乘法 【典例1】已知数列中，，（），求数列的通项公式 答案： 类型三：形如（）处理方法：待定系数构造等比数列． 【典例1】已知数列中，，（），求数列的通项公式． 答案： 类型四：由与的关系求通项 【精讲】 1.定义： 2.方法：化为同名（1）消：用公式法或递推关系求的通项公式 （2）消：先求的通项公式，再求的通项公式 3.注意：（1），要单独检验；（2）区分的范围与构造的新数列的起始项。 【典例】 （1）已知数列的前项和为，若，求 答案 ： （2）数列的前项和满足，求的通项公式 答案 ：） （3）在数列中，，当时，成等比数列，求的通项公式。 类型五：（1）连加型：与数列各项相关的和的形式．处理方法：角标降一次作差. （2）连乘型：与数列各项相关的积的形式．处理方法：角标降一次作商 【典例1】数列满足：，求数列的 通项公式. 答案： 【典例2】数列， ，，求数列的通项公式 答案： 专题二 数列的求和方法 类型一：分组求和法 【典例1】设是数列的前项和，，求 答案 ： 【典例2】数列的通项公式，求数列的前项和 答案 ） 类型二：错位相减法 【精讲】通项公式：等差等比 步骤：乘以等比数列的公比，错一位写，再相减 【典例】设数列的前项和为，且 （1） 求数列的通项公式； （2） 设，求数列的前项和 （学案80页例6 答案 （1） （2） 类型三：裂项相消法 (1) (2) (2) (4) (5) (6) (7) 类型五：并项求和法 【典例】，求数列的前项和 答案: ） 【练习】求和： 答案: ） 类型六：倒序相加法 【典例】已知函数，若等比数列满足 ，则 答案 :2019 【练习】设数列的通项公式为，该数列的前项和，则 答案: 《必备知识》 1． 空间几何体表面积与体积公式 （一）几何体的表面积 圆柱的侧面积 圆柱的表面积 圆锥的侧面积 圆锥的表面积 圆台的侧面积 圆台的表面积 球体的表面积 （二）几何体的体积 圆柱的体积 圆锥的体积 圆台的体积 球体的体积 （三）常用结论 多面体的内切球与外接球常用的结论 (1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝. (2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝. (3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝，内切球半径r＝H＝，外接球半径R＝H＝. 二．外接球与内切球半径的求法 （一）外接球半径的求法： （1）勾股定理法 （2）补体法 （3）定球心 （4）面面垂线交点法 （二）内切球半径的求法：等体积法 三．平行与垂直判定定理性质定理总结 …… 判定定理 性质定理 线面 线线平行线面平行 ∥，，∥ 线面平行线线平行 面面 线面平行面面平行 面面平行线线平行 线面 线线垂直线面垂直 ∥ 线线垂直线线平行 面面 线面垂直面面垂直 面面垂直线面垂直 四．证明垂直与平行的方法总结 （一）证明线面平行方法： （1）利用中位线证线线平行 （2）构造平行四边形证明线线平行 （3）平行截比定理证明线线平行 （4）利用面面平行 （二）证明垂直方法 （1）利用等腰三角形中线垂直于底边 （2）利用勾股定理 （3）利用相似 （4）利用线面垂直 五．空间向量公式汇总 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 《关键能力》 一．表面积与体积 《典例1》已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A 《典例2》若圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设圆锥的高为h， 因为母线与底面所成的角为，所以，解得． 圆锥的体积． 故选：B 《典例3》甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则， 所以， 又， 则， 所以， 所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高， 所以. 故选：C. 《练习1》在正四棱台中，，且四棱锥的体积为48，则该四棱台的体积为___________. 答案：399 2． 球的切接问题 《典例1》直三棱柱各顶点都在同一球面上，若，，则该球的表面积为 答案： 《典例2》正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，底面边长为4，侧棱长为，则球的表面积为________. 答案： 《典例3》 （1）某三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，此三棱锥的外接球的表面积为_______. 答案： (2) 已知三棱锥，，平面，其中，四点均在球的表面上，则球的表面积为____. 答案： 《典例4》矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体外接球的体积为______. 答案： 《典例5》三棱锥中，平面平面，若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________. 答案： 《练习1》在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是______． 答案：29 《练习2》在正四棱锥中，，，则该四棱锥内切球的表面积是________． 答案： 3． 平行与垂直 《典例1》如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． (1)证明：平面； (1) 证明：连接并延长交于点，连接、， 因为是三棱锥的高，所以平面，平面， 所以、， 又，所以，即，所以， 又，即，所以，， 所以 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面 《练习1》如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，是棱上一点． (1)若，求证：平面． (2)若，求点到平面的距离． 【解析】 (1) 连接，记与的交点为，连接． 由，得，，又，则， ∴，又平面，平面， ∴平面． (2)由已知易得，， 所以在等边中，边上的高为， 所以的面积为， 易知三棱锥的体积为， 又因为， 所以点到平面的距离为． 《典例2》如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点． (1)证明：平面平面 (1) 证明：因为底面ABCD，底面ABCD， 所以， 因为，， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为四边形为正方形，， 所以， 因为在中，，M为线段PC的中点， 所以， 因为， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 《练习2》在四棱锥中，为正三角形，四边形为等腰梯形，M为棱的中点，且，，. (1)求证：平面平面； (1) 若为中点，连接， 由且，故为平行四边形， 所以，又且，即为中点， 等腰△中，即， 又为正三角形，故， 因为分别为，中点，故，则， 由，面，故面， 而面，则平面平面； 必备知识》 空间向量公式汇总 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 《关键能力》 1． 异面直线所成角 【例1】正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【练习】已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用全等三角形证得，由余弦定理求出，再利用定义法求出直线与所成角的正弦值. 【详解】连结交于，连结，则为的中点，如图， 由底面为正方形，，得，即， 又，则，有，即， 在中，由余弦定理得，则为正三角形， 由，得是直线与所成的角，即，， 所以直线与所成角的正弦值为. 故选：A 2． 直线与平面所成角 【例题】如图，四棱柱的底面为正方形，平面，点在上，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， ， 故，即. （2）因为，所以， 因为底面为正方形，所以， 又平面，平面，所以， 又是平面内两条相交直线，故平面， 所以，由（1），又平面， 所以平面，即平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 【练习】如图，在直三棱柱中，，，，E是AB的中点，F是的中点.    (1)证明：平面. (2)求EF与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 三．平面与平面夹角 【例题】如图，在梯形中，，，，，，是梯形的中位线，将梯形沿翻折得到五面体，点为上靠近点的三等分点，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）如图，连接、， 翻折前，在梯形中，，，，是梯形的中位线， 所以，且，， 因为，所以，即，， 翻折后，因为点为上靠近点的三等分点，，所以， 又因为，，故四边形为菱形，则， 因为，，、平面，故平面， 又因为平面，所以， 因为，，、平面，故平面. （2）由（1）可得，平面，， 如图，以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则、，设，则， ，解得， 所以、、、， 则，， 设平面的一个法向量，则有， 取，可得， 由（1）可知平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【练习】如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，分别为的中点． (1)求证：直线平面； (2)若，求面与面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2). 四．点到面的距离 【例题】如图，在直三棱柱中，，，，点，分别为棱，的中点. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）证明：如图，建立以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以，， 因为， 所以，则. （2）设平面的一个法向量为， ，， 令，则，， 所以平面的一个法向量， 又， 点到平面的距离. 【练习】如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，. (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求到平面的距离. 【答案】(1) (2) 五．探索性问题 【例题】图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 【练习】如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，. (1)证明：平面平面. (2)线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 学科网（北京）股份有限公司 $