1.4 1.4.2 第2课时　用空间向量研究夹角问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

"本讲义聚焦用空间向量研究夹角问题，系统梳理异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面夹角的定义、范围及向量求法。通过问题引导、自主评测、例题解析与迁移运用，搭建从概念理解到方法应用的学习支架，帮助学生构建知识脉络。\n资料以握笔写字、大坝建造等生活情境导入，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过问题链驱动探究，引导学生从定义到向量解法逐步深入，发展数学思维。规范的解题步骤和几何与向量法对比，提升数学语言表达能力，课中助力教师引导教学，课后方便学生巩固查漏。"

第2课时　用空间向量研究夹角问题　► 对应学生用书P42 学习目标　1.理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角的向量表示，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点)　2.能用向量方法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角的大小，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点) 日常生活中，很多场景中都有直线与平面、平面与平面成一定角度的现象．例如，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度；在建造大坝时，为了加固大坝，大坝外侧的平面一般与水平面成一定角度． 问题1　 怎样刻画直线与平面、平面与平面所成的角呢？ 提示：直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的投影所成的角；平面α与平面β的夹角： 平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 问题2　如何用空间向量求两条异面直线所成的角？ 提示：两条异面直线所成角的问题的研究路径：两条异面直线所成的角的定义→两条异面直线所成的角的范围→两条异面直线所成的角的向量求法，具体如下： 第一步：求解两条直线的方向向量； 第二步：求解两条直线方向向量的夹角； 第三步：利用异面直线夹角与方向向量夹角的转化关系求解异面直线夹角． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P36～37，回答一下：异面直线所成的角、直线与平面所成角、两个平面的夹角的范围分别是多少？ 提示：异面直线所成角的范围是(]，直线与平面所成角的范围是[]，两个平面夹角的范围是[]. (2)设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v，平面的法向量为n，则θ与<v，n>有什么关系？ 提示：θ＝－<v，n>或θ＝<v，n>－. (3)设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，平面α1与平面α2的夹角为θ，则θ与〈n1，n2〉的关系是什么？ 提示：θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉． (4)两个向量a，b的夹角的余弦值是什么？ 提示：cos 〈a，b〉＝. (5)直线的方向向量与平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角吗？ 提示：不是． (6)如何用空间向量求直线和平面所成的角？ 提示：直线和平面所成的角问题的研究路径：直线和平面所成的角的定义→直线和平面所成的角的范围→直线和平面所成的角的向量求法． (7) 如图，图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？ 提示：图中有四个二面角，夹角与二面角相等或互补． (8)平面与平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？ 提示：两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等．(　　 ) (2)平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中小于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．(　　 ) (3)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)× 　 两异面直线所成角 如图所示，这是摩羯座的星图．将摩羯座的星图抽象成如图所示的空间四边形． 问题3　图中 BC与AD 是异面直线吗？ 提示：是． 问题4　若AB＝AD＝BC＝CD＝2，CD⊥AD，∠BAD＝60°，如何求直线BC与AD所成角的余弦值？ 提示：可用向量法求解，因为，所以＝·＝2， 所以cos 〈〉＝. 问题5　设直线a，b的夹角为θ，方向向量分别为a，b，那么夹角θ与方向向量的夹角〈a，b〉之间的关系是怎样的？对应的余弦值表达式是什么？ 提示：当0°≤〈a，b〉≤90°时，θ＝〈a，b〉；当90°<〈a，b〉≤180°时，θ＝180°－〈a，b〉．余弦值表达式为cos θ＝|cos 〈a，b〉|. 若异面直线 l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝． 温馨提示 两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系. 例1　(链接教材：人A版教材P36例7)在三棱锥P­ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P­BC­A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.法一　取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，从而平面PAO⊥平面ABC，且∠POA就是二面角P­BC­A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示． 设AB＝2，则A，C(0，－1，0)，B(0，1，0)，P， 所以＝＝， cos 〈〉＝， 所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为. 法二　 如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA， 因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P­BC­A的平面角． 设AB＝2，则， 故＝·＝， 所以cos 〈〉＝， 即异面直线PB与AC所成角的余弦值为. 类题通法 求异面直线所成角的关注点 (1)原理：空间向量的夹角公式； (2)方法：坐标法、基向量法； (3)注意：由于两异面直线所成角θ 的范围是(0，]，而两向量夹角α 的范围是[0，π]，故cos θ＝|cos α| . 【迁移运用】 1.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则直线AC与BD1所成角的余弦值为________. 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 因为D1(0，0，3)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， 所以＝(－2，－2，3)，＝(－2，2，0)． 因为＝0，所以⊥.所以AC⊥BD1. 故直线AC与BD1所成角的余弦值为0. 答案：0 　直线与平面所成的角 如图所示，设AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°. 问题6　如何求直线AC与平面BCD所成角的大小？ 提示：由已知得AB⊥平面BCD，所以∠ACB就是AC与平面BCD所成的角． 因为AB＝BC，则∠ACB＝45°，所以直线AC与平面BCD所成的角是45°. 问题7　用几何法如何求直线BD与平面ACD所成角的大小？ 提示： 如图，取AC的中点E，连接BE，DE.根据空间垂直的判定和性质可知，∠BDE即为直线BD与平面ACD 所成的角，解三角形可得直线BD与平面ACD所成的角为30°. 问题8　用向量法如何求直线BD与平面ACD所成角的大小？(只写方法，不用写结果) 提示： 以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量n及向量＝u，然后代入公式sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝求解．(其中θ为直线BD与平面ACD所成的角) 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|=＝． 温馨提示 (1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决． (2)线面角的范围为[0，]. (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角. 例2　 (链接教材：人A版教材P38练习T2)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝，求直线AA1与平面AB1C1所成的角． 解：在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝，即AB⊥AC，以A为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B1，C1，A1＝＝＝. 设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)， 则由得 令x＝1，则y＝1，z＝－，所以n＝. 设直线AA1与平面AB1C1所成角为θ， 则sin θ＝＝，所以θ＝. 类题通法 向量法求线面角的一般步骤 【迁移运用】 2.如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，求A1B与平面A1B1CD所成角的大小． 解：方法一　 如图，连接BC1，与B1C交于点O，连接A1O. 因为BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD， 所以A1B在平面A1B1CD内的投影为A1O. 所以∠OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角． 设正方体的棱长为1. 在Rt△A1OB中，A1B＝， 所以sin ∠OA1B＝， 所以∠OA1B＝30°， 即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°. 方法二　 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，1，0)，所以＝(1，0，1)，＝(0，1，0)． 设平面A1B1CD的法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 取z＝－1，得x＝1，所以n＝(1，0，－1)． 又因为B(1，1，0)，所以＝(0，1，－1)． 所以cos 〈n，〉＝.所以〈n，〉＝60°. 所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°. 　 平面与平面的夹角 卫星飞行的水平速度叫作第一宇宙速度，即环绕速度．卫星获得这一水平方向的速度后，不需要再加动力就可以环绕地球飞行．这时卫星的飞行轨迹叫作卫星轨道．如图所示，这是标注卫星轨道参数的卫星轨道图，卫星轨道参数是用来描述在太空中卫星运行的位置、形状和取向的各种参数． 问题9　设卫星轨道面与赤道面分别为α，β，其法向量分别是n1，n2，平面α与平面β所成的角为θ，则角θ与向量的夹角〈n1，n2〉之间有什么关系？它们的余弦值满足什么等式？ 提示： 〈n1，n2〉＝θ或〈n1，n2〉＝180°－θ；cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|. 问题10　求二面角的方法有哪些？ 提示： (1)几何法，找二面角，证明，解三角形得结论； (2)利用向量法，求两个平面的法向量，求法向量的夹角，进而求二面角． 1．两平面的夹角 平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角． 2．两平面夹角的计算 设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝||＝． 温馨提示 (1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π]. (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念. 例3　 (链接教材：人A版教材P38练习T4)如图所示，在三棱锥S­ABC中，O为BC的中点，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，求平面ASC与平面BSC夹角的余弦值． 解：因为△SAB与△SAC均为等边三角形，所以AB＝AC.连接OA，则OA⊥BC. 以O为坐标原点，OB，OA，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 设B(1，0，0)，则C(－1，0，0)，A(0，1，0)，S(0，0，1)． 设SC的中点为M，连接OM，AM，则M，故＝＝＝(－1，0，－1)， 所以＝0，所以MO⊥SC，MA⊥SC， 故〈〉为二面角A­SC­B的平面角． 因为cos 〈〉＝， 所以平面ASC与平面BSC夹角的余弦值为. 类题通法 求两平面夹角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同． (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉(当〈n1，n2〉∈[0，]时)或π－〈n1，n2〉(当〈n1，n2〉∈(，π]时). 【迁移运用】 3.如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值． 解： 设正方体棱长为1.以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则M，N，A(1，0，0)，B(0，0，0)． 方法一　取MN的中点G，连接BG，AG，则G. 因为△AMN，△BMN为等腰三角形， 所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB为两平面夹角或其补角． 又因为＝， ＝， 所以cos 〈〉＝＝ －，故所求两平面夹角的余弦值为. 方法二　设平面AMN的法向量n1＝(x，y，z)． 由于＝＝. 则即 令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是n1＝(1，1，1)． 同理可求得平面BMN的一个法向量n2＝(1，－1，－1)， 所以cos 〈n1，n2〉＝， 设平面MNA与平面MNB的夹角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝. 故所求两平面夹角的余弦值为. 1．设两条异面直线a，b的方向向量分别为a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，则a与b所成的角为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.设直线a与b所成的角为θ， 则cos θ＝， 又θ∈，故θ＝. 2．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面的夹角的大小为(　　 ) A．45° B．60° C．90° D．135° 解析：选A.∵cos 〈m，n〉＝， ∴两平面的夹角的大小为45°. 3．设直线a的方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的法向量为b＝(0，1，2)，则直线a与平面α所成角的正弦值为________． 解析：由题意设直线a与平面α所成的角为θ， 则sin θ＝. 答案： 4．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为________． 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1， 则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，于是＝(0，1，0)． 取PD的中点E，连接AE，则E， ∴，易知是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量， ∴cos 〈〉＝， ∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°. 答案：45° 学科网（北京）股份有限公司 $