作业6 幂函数-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（北师大版）

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幂函数的图象和性质 α>0和α<0两种情况下幂函数的图象变化及性质: 解析式 y=xα(α∈R) 图象 α>0 α<0 性 质 定义域 在(0,+∞)上都有定义,定义域与α的取值有关 定点 图象过点(0,0)和点(1,1) 图象过点(1,1) 单调性 在(0,+∞)上单调递增 在(0,+∞)上单调递减 在第一象限内,当0<α<1时,图象上凸; 当α>1时,图象下凸 在第一象限内,图象都下凸 奇偶性 与α的取值有关 　　【例题】　幂函数y=(m2-4m+4)在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为 (　　) A.1或3 　　　 B.3 C.2 D.1 　　【思路点拨】　 根据幂函数的概念求得m的可能取值→根据该幂函数在(0,+∞)上为增函数进行验证 【解析】　∵y=(m2-4m+4)为幂函数, ∴m2-4m+4=1,即(m-1)(m-3)=0,∴m=1或m=3. 当m=1时,m2-6m+8=3,则y=x3,在(0,+∞)上单调递增,满足题意; 当m=3时,m2-6m+8=-1,则y=x-1=,在(0,+∞)上单调递减,不满足题意,∴m=3应舍去. 综上可知,m=1. 【答案】　D 【名师点睛】　解决此题的关键是弄清幂函数的概念及性质: (1)幂函数是一个形式定义,必须满足m2-4m+4=1,从而求出m=1或m=3; (2)注意分类讨论思想的运用,同时要注意满足已知条件“在(0,+∞)上单调递增”. 一、选择题 1.已知函数f(x)=(a2-a-1)为幂函数,则实数a的值为 (　　) A.-1或2 B.-2或1 C.-1 D.1 2.设a=,b=,c=,则 (　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 3.(多选)已知函数f(x)=xk(k∈Q),在下列函数图象中,可能是函数y=f(x)的图象的是 (　　) A B C D 4.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是 (　　) A B C D 5.(多选)若函数f(x)=(3m2-10m+4)xm是幂函数,则f(x)一定 (　　) A.是偶函数 B.是奇函数 C.在x∈(-∞,0)上单调递减 D.在x∈(-∞,0)上单调递增 6.如图,函数y=,y=x,y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧,则f(x)可能是 (　　) A.y=x2 B.y= C.y= D.y= 7.下列说法中正确的有 (　　) ①幂函数的图象均过点(1,1); ②幂函数的图象均在两个象限内出现; ③幂函数在第四象限内可以有图象; ④对于幂函数y=xα,当α>0时,幂函数在第一象限内为增函数; ⑤任意两个幂函数的图象最多有两个交点. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 8.已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如表: x 1 f(x) 1 则f(x)的单调递增区间是　　　　.  9.设α∈,则使f(x)=xα为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的α的值是　　　　.  三、解答题 10.已知函数f(x)=(m2+2m),m为何值时,函数f(x)是(1)正比例函数;(2)反比例函数; (3)幂函数. 11.已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设函数g(x)=+2x+c,若g(x)>2对任意的x∈R恒成立,求实数c的取值范围. 作业6　幂函数 【知能训练】 1.C　解析:因为f(x)=(a2-a-1)为幂函数,所以a2-a-1=1,即a=2或-1.又a-2≠0,所以a=-1. 2.D　解析:构造幂函数y=(x∈(0,+∞)),由该函数在定义域内单调递增,知a>b;构造指数函数y=,由该函数在定义域内单调递减,知a<c,故c>a>b. 3.ABD　解析:函数f(x)=xk(k∈Q)为幂函数,图象不过第四象限,所以C中函数图象不是函数y=f(x)的图象.故选A、B、D. 4.B　解析:y=的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=-1的图象可看作由y=的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示),将y=-1的图象关于x轴对称后即为选项B. 5.BD　解析:因为函数f(x)=(3m2-10m+4)xm是幂函数, 所以3m2-10m+4=1,解得m=3或m=, 所以f(x)=x3或f(x)=,x∈R. 由幂函数的性质知f(x)是奇函数且是增函数, 故选BD. 6.B　解析:∵函数y=xα的图象过④⑧部分, ∴函数y=xα在第一象限内单调递减,∴α<0. 又易知x=2时,y>,∴只有B选项符合题意. 7.B　解析:对于幂函数y=xα,当x=1时,y=1,所以幂函数的图象均过点(1,1),故①正确; 幂函数y=的图象只在第一象限内,故②不正确; 当x>0时,xα>0,所以幂函数的图象不可能在第四象限,故③不正确; 当α>0时,幂函数在(0,+∞)上单调递增,故④正确; 幂函数y=x与y=x3的图象的交点为(-1,-1),(0,0),(1,1),共三个,故⑤不正确. 故正确的说法有2个. 8.[0,+∞)　解析:因为f=,所以=,即α=,所以f(x)=的单调递增区间是[0,+∞). 9.-1　解析:因为f(x)=xα为奇函数,所以α=-1,1,3.又因为f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以α=-1. 10.解:(1)若函数f(x)为正比例函数,则 解得m=1. (2)若函数f(x)为反比例函数,则 解得m=-1. (3)若函数f(x)为幂函数,则m2+2m=1, 解得m=-1±. 11.解:(1)∵f(x)在区间(0,+∞)上单调递增, ∴-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0,解得-1<m<3. 又m∈Z,∴m=0,1,2. 而当m=0或2时,f(x)=x3,不是偶函数; 当m=1时,f(x)=x4,是偶函数. 故函数f(x)的解析式为f(x)=x4. (2)由(1)知f(x)=x4,则g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+c-1. 由g(x)>2对任意的x∈R恒成立,得g(x)min>2(x∈R). ∵g(x)min=g(-1)=c-1,∴c-1>2,解得c>3. 故实数c的取值范围是(3,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $