1.6利用三角函数测高同步练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

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利用三角函数测高 一、单选题 1．如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是，则此时观察楼顶的仰角度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是（   ）米（精确到1米）．（参考数据：，，，） A．74 B．91 C．57 D．40 3．2025年4月24日，长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，成功将陈冬、陈中瑞、王杰3名航天员搭载的神舟二十号载人飞船送入太空，标志着中国空间站进入了稳定的常态化运营阶段．如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，此时火箭距海平面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 4．如图，从A处观测铁塔顶部的仰角是 ，向前走50米到达B处，观测铁塔的顶部的仰角是，则铁塔的高度是（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（   ） A． B． C． D． 6．如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从A点骑行到B点的路程为，其上升的垂直高度为，则斜坡的坡度为（   ） A． B． C． D． 7．如图，拦水坝的横断面为梯形，，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，斜面坡度是指与的比．根据图中数据，求出斜坡的长为（   ） A．13 B． C． D．11 8．如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 9．如图是某幼儿园滑梯的示意图，已知滑梯斜面的坡度，滑梯的水平宽度等于，则高为（    ） A． B． C． D． 10．河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，婷婷想测量“青云塔”的高度．她在处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至处，测得仰角为，那么塔高约为 ． 12．如图，升国旗时，李明站在离旗杆底部的处以平行于水平面的角度行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，李明视线所成的仰角恰为，若他的双眼离地面的高度为，则旗杆的高度是 ． 13．如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）． 14．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为，则 ． 15．如图，某大厅自动扶梯的坡度比为（坡比是坡面铅直高度与水平高度之比），长为12米，则大厅两层之间的高度为 米． 16．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高的长为 米． 三、解答题 17．因为市区某大型出入口要进行改道施工，有关部门在一个主要路口设立了交通路况指示牌（如图）．已知A、B、C在同一直线上，垂直于地面，立杆高度是，从侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和．求路况指示牌的高度（结果保留根号）． 18．一电线杆用拉绳固定，点在斜坡的顶端，斜坡，坡比为，测得拉绳与水平线的夹角，求电线杆的高．（参考数据：，，，结果保留） 19．如图，由地面上的D点测塔顶A和塔基B，仰角分别为和，已知塔基高出地面15米，求塔身的高． 20．某班的同学想测量教学楼的高度，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡比，从C点向前进30米后，又在D处测得教学楼顶端A的仰角为． (1)_________； (2)求点C到的距离； (3)教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A D D C B A C D 1．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，解题关键是作出辅助线构造直角三角形求出的度数．过点作于点，根据直角三角形的性质可求的度数，再根据仰角的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 此时观察楼顶的仰角度数是． 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．过点作于点，则米，在中和中，根据锐角三角函数中的正切函数的定义可以分别求得和的长，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：过点作于点，由题意可得，，，米，， 在中，， ∴(米)， 在中， ， (米)， 即这栋楼的高度是74米. 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，千米，， ∴千米． 故选：A ． 4．D 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，设，分别解，求出的长，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，设， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故铁塔的高度是米； 故选D． 5．D 【分析】本题考查解直角三角形的应用，分别解直角三角形求出的长，再用进行求解即可． 【详解】解：由题意，在中，， 在中，， ∴； 故选D． 6．C 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据勾股定理求出的长，根据斜坡的坡度等于的值，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴斜坡的坡度为； 故选C． 7．B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理．根据题意求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了三角函数的应用，掌握特殊角的正切值是解题的关键．坡角的正切值等于坡比，即可求解． 【详解】解：设斜坡的坡角为，依题意， ∴斜坡的坡角等于 故选：A． 9．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意可得：，然后根据已知易得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 滑梯斜面的坡度， ， ， ， 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角，熟练掌握坡度的定义是解题的关键． 根据坡度的定义列式计算即可． 【详解】解：堤高，迎水坡的坡比为， ， ， 故选：D． 11． 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，设塔高，利用，表示出，利用，表示出，再根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 设塔高， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即：； 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．根据仰角的正切函数求得目高以上旗杆的高度，再加上目高即得旗杆的高度． 【详解】解：如图，由题意得，，，， 在中，， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键． 在中，由即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴在中，， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．根据坡度的概念计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴斜面的坡度为， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握，熟练运用特殊角的三角函数值是解答本题的关键．中，已知了坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比，通过特殊角的三角函数值，求出，再根据直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：自动扶梯的坡度比为， 在中，； ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解坡角的定义是解题的关键． 在中，由正切的定义即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴（米）， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了仰角俯角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是正确的将仰角俯角问题转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识求解． 利用锐角三角函数分别求出和，利用两者的差等于3求得的长即可． 【详解】解：∵侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和， ∴，， ∵垂直于地面，立杆高度是， ∴()， ∴()， ∴指示牌的高度为()． 18．电线杆的高约是 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点作于点，于点，由坡比可得，设，，在中，由勾股定理可求的值，继而可得，，的长，在中，利用解直角三角形，，即可解答． 【详解】解：过点作于点，于点，如图． 斜坡的坡比为， ． 设，， ， 解得， ，． 在中， ， ． ． 答：电线杆的高约是． 19．30米 【分析】根据题意，得，结合，得，继而得到，根据，解答即可． 本题考查了仰角的应用，直角三角形的性质，熟练掌握仰角的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． 20．(1) (2)米 (3)教学楼的高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据仰角的定义即可解答； （2）延长交延长线于点，在中利用坡度的定义得到，设米，利用勾股定理表示出，求出的值，得出的长，即可解答； （3）在中，利用正切的定义求出的长，再利用即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，． 故答案为：． （2）解：如图，延长交延长线于点，则， 在中，， ， 设米，则米， （米）， 又米， ， 解得：， （米）， 点C到的距离为米． （3）解：由（2）得，米，米， 米， 在中，， （米）， （米）． 教学楼的高度约为米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 利用三角函数测高 一、单选题 1．如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是，则此时观察楼顶的仰角度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是（   ）米（精确到1米）．（参考数据：，，，） A．74 B．91 C．57 D．40 3．2025年4月24日，长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，成功将陈冬、陈中瑞、王杰3名航天员搭载的神舟二十号载人飞船送入太空，标志着中国空间站进入了稳定的常态化运营阶段．如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，此时火箭距海平面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 4．如图，从A处观测铁塔顶部的仰角是 ，向前走50米到达B处，观测铁塔的顶部的仰角是，则铁塔的高度是（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（   ） A． B． C． D． 6．如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从A点骑行到B点的路程为，其上升的垂直高度为，则斜坡的坡度为（   ） A． B． C． D． 7．如图，拦水坝的横断面为梯形，，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，斜面坡度是指与的比．根据图中数据，求出斜坡的长为（   ） A．13 B． C． D．11 8．如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 9．如图是某幼儿园滑梯的示意图，已知滑梯斜面的坡度，滑梯的水平宽度等于，则高为（    ） A． B． C． D． 10．河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，婷婷想测量“青云塔”的高度．她在处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至处，测得仰角为，那么塔高约为 ． 12．如图，升国旗时，李明站在离旗杆底部的处以平行于水平面的角度行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，李明视线所成的仰角恰为，若他的双眼离地面的高度为，则旗杆的高度是 ． 13．如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）． 14．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为，则 ． 15．如图，某大厅自动扶梯的坡度比为（坡比是坡面铅直高度与水平高度之比），长为12米，则大厅两层之间的高度为 米． 16．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高的长为 米． 三、解答题 17．因为市区某大型出入口要进行改道施工，有关部门在一个主要路口设立了交通路况指示牌（如图）．已知A、B、C在同一直线上，垂直于地面，立杆高度是，从侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和．求路况指示牌的高度（结果保留根号）． 18．一电线杆用拉绳固定，点在斜坡的顶端，斜坡，坡比为，测得拉绳与水平线的夹角，求电线杆的高．（参考数据：，，，结果保留） 19．如图，由地面上的D点测塔顶A和塔基B，仰角分别为和，已知塔基高出地面15米，求塔身的高． 20．某班的同学想测量教学楼的高度，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡比，从C点向前进30米后，又在D处测得教学楼顶端A的仰角为． (1)_________； (2)求点C到的距离； (3)教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $