3.6 直线和圆的位置关系 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

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直线和圆的位置关系 一、单选题 1．如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 2．已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 3．已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 5．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．3或6 C．3 D．1或5 6．如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 7．如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 8．如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 12．如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接，若，则 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为 ． 14．如图所示，为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为 ． 15．如图，的边BC与相切于点B，AD为的直径，若，则CD的长为 . 16．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 三、解答题 17．如图，是的直径，点是延长线上一点，过作的切线，切点为，连接、． (1)若，求证：； (2)若，，求的长． 18．如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 19．如图，是的直径，点为上一点，交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的直径为5，，求的长． 20．如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若A，，则的半径是__________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B D C B B D A 1．C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得． 【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交， 故选：C． 2．D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．据此作答即可． 【详解】解：∵点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点， ∴的半径． ∴的半径可能为． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交即，即可判断． 【详解】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 5．D 【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答即可求得． 【详解】解：根据题意可得：OP=3，圆P的半径为2， 当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1， 当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5， 故圆与轴相切，则平移的距离为1或5， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，图形的平移，分类讨论是解决本题的关键． 6．C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，圆的切线性质，理解题意是解题的关键．根据题意画出图形，解即可． 【详解】解：如图，记直径为，过点作于点， 由题意得，，，，与圆相切于点N， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 7．B 【分析】本题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据切线的性质可得，根据直角三角形的性质求出，然后利用圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：B． 8．B 【分析】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理；连接，由，利用等边对等角得到，再由垂直于，得到三角形为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到垂直于，即可证得为圆的切线；设，则，在中，根据勾股定理得出，通过解方程即可求得． 【详解】解：连接，   ，， ，， ， ，即， ， ，即， 则为圆的切线； 解：设，则，而， 在中， ， 即， 解得， 线段的长是． 故选：B． 9．D 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与内切圆的概念、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，连接，由，可得，根据三角形内角和求出，根据圆周角定理求出，由点I是的内心，得． 【详解】解：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴， 故选：D． 10．A 【分析】本题考查圆的性质、等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，角的正弦值等知识，连接，作于点，由图可知，阴影部分的面积的面积，根据题目的条件和图形，可以求得的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：连接，作于点， ∵是的直径，点在上，， ， 是等边三角形， ， 是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是四个全等的等边三角形，边长均为2， ∵， ∴， ∵ ∴弓形的面积弓形的面积， 图中阴影部分的面积为等边三角形的面积， 即图中阴影部分的面积为， 故选：A． 11．或 【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键．作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，得出以为圆心，为半径所作圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点． 【详解】解：作于，如图所示： ∵，， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∴以为圆心，为半径所作的圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点； ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， 综上分析可知：若与边只有一个交点，则r的取值范围是或． 故答案为：或． 12．/32度 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了圆的切线性质，勾股定理，坐标与图形等知识，连接，，过点P作于点A，由点P的坐标可得出，，再结合切线的性质和圆的半径相同可得出，再由勾股定理得出，进而可求出，即可求出点N的坐标． 【详解】解：如图，连接，，过点P作于点A， ∵与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q， ∴轴， ∵点P的坐标为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】此题主要考查了切线长定理的应用．能够将的周长转换为切线、的长是解答此题的关键． 由于、，、都是的切线，可由切线长定理将的周长转换为、的长． 【详解】解：、切于、， ， 同理，可得：，， 的周长． 即的周长是：． 故答案为：． 15． 【分析】根据题意，连接OB，通过切线和平行线的性质求得，再根据等腰直角三角形边的关系即可求出CD的长. 【详解】如下图，连接OB 四边形ABCD为平行四边形，BC与相切于点B ，AB=CD 又 . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行线的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及应用时解决本题的关键. 错因分析  中等难度题.失分原因是不会作辅助线连接OB，通过切线和平行线的性质求得. 16．65 【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据圆周角定理，可知，最后由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：∵I是的内心， ∴分别平分， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：65． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和解直角三角形． （1）连接，先证，再证，得到，可得结论； （2）先证明，得到，再利用三角形函数得，最后求出的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， 又∵在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 18．见解析. 【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB. 【详解】∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形， ∴AD+BC=AB+CD=2AB， ∵梯形中位线为EF， ∴AD+BC=2EF， ∴EF=AB. 【点睛】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键. 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理和圆周角定理的推论可证明，进而证明，再利用相似三角形的性质求解即可； （2）连接，解直角三角形可得，再根据勾股定理可求出，根据，求出即，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ． 又， ， ，即； （2）解：连接． 是的直径， ． 的直径为5，， ． 在中，由勾股定理得，， ，， ，即． 在中，． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关性质定理、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定和性质． （1）过O点作于点E，推导出，然后根据角平分线的性质即可得到，证明结论； （2）先利用勾股定理求出长，然后利用全等三角形得到，然后再在中利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：过O点作于点E， ∵与相切于点A， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：． 故答案为：。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线和圆的位置关系 一、单选题 1．如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 2．已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 3．已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 5．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．3或6 C．3 D．1或5 6．如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 7．如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 8．如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 12．如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接，若，则 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为 ． 14．如图所示，为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为 ． 15．如图，的边BC与相切于点B，AD为的直径，若，则CD的长为 . 16．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 三、解答题 17．如图，是的直径，点是延长线上一点，过作的切线，切点为，连接、． (1)若，求证：； (2)若，，求的长． 18．如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 19．如图，是的直径，点为上一点，交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的直径为5，，求的长． 20．如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若A，，则的半径是__________． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $