专题4.4 数列的通项与求和（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

"本讲义聚焦数列的通项与求和核心知识点，系统梳理从数列的通项公式（含定义、递推公式）到通项求法（观察法、公式法、累加法、累乘法、构造法等），再到求和方法（等差等比公式、分组、错位相减、裂项相消等）的完整脉络，构建从基础概念到综合应用的学习支架。\n该资料亮点在于知识点分层清晰与题型训练扎实，通过观察法培养数学眼光，构造法等训练推理能力，即学即练与变式题提升应用意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识，查漏补缺，强化数列问题解决能力。"

专题4.4 数列的通项与求和 教学目标 1.了解通过数列的递推公式确定数列的方法． 2.掌握通过数列的前n项和确定数列通项公式的方法． 3.掌握数列的通项公式的常见求法以及数列求和的常见方法． 教学重难点 1.重点 数列的通项公式的常见求法以及数列求和的常见方法 2.难点 数列的通项公式的常见求法以及数列求和的常见方法 知识点01 数列的通项公式 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. 注：①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 (n≥2)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 【即学即练】 1．数列中，，，则（　　） A． B． C． D． 2．在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（　　） A． B． C． D． 知识点02 数列的通项公式的常见求法 1．观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项. 2．定义法： 已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项. 3．公式法： 由an与Sn的关系求通项： (1)已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2) Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解. 方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解. 4．累加法： 形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. 5．累乘法： 形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. 6．构造法： ①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. ②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}. ③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}. ④倒数法：形如(A,B,C为不为0的常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【即学即练】 1．已知数列满足，，则数列的通项公式是 2．已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 ． 知识点03 等差数列、等比数列的前n项和公式 等差数列、等比数列的求和公式 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. (1)等差数列的前n项和公式：. (2)等比数列的前n项和公式：=. 【即学即练】 1．设数列的前n项和为，若，则（　　） A．110 B．130 C．290 D．190 2．已知是等比数列的前n项和，若，则（　　） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 知识点04 数列求和的几种常用方法 1．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 4．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 【即学即练】 1．已知等差数列，，，则数列的前n项和为（　　） A． B． C． D． 2．数列满足，，数列的前n项和为（　　） A． B． C． D． 题型01 观察法求通项 【典例1】若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（　　） A． B． C． D． 观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分．②考虑各项的变化规律与序号的关系．③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列． 【变式1】数列，，，，，…的一个通项公式是（　　） A． B． C． D． 【变式2】数列的通项公式可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 【变式4】写出下面各数列的一个通项公式． (1)； (2)6，66，666，6666，…； (3)； (4)． 题型02 由an与Sn的关系求通项 【典例1】数列的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围． 【变式1】已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知数列的前项和为，若，则的最大值为（　　） A． B． C． D．1 【变式3】设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　  ） A． B． C． D． 【变式4】已知各项均为正数的数列的前项和为， 求证：数列是等差数列，并求的通项公式； 【变式5】已知数列的前项和，且满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项乘积为，求的最小值. 题型03 累加法 【典例1】已知数列中，，（，且），则通项公式（　　） A． B． C． D． 数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用累加法求和. 【变式1】.已知数列的首项，且，则（　　） A．810 B．820 C．830 D．840 【变式2】在数列中，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式3】若数列满足，（，），则的最小值是 . 【变式4】已知数列满足，且，则 . 题型04 累乘法 【典例1】在数列中，，（），则（　　） A． B． C． D． 数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式. 【变式1】在数列中，，，则数列的通项公式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知数列满足，，的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知数列满足，则的最小值为 ． 【变式4】已知数列为等差数列，，，记的前n项和为，数列的首项，且． (1)求及； (2)求的通项公式． 题型05 构造法 【典例1】已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（　　） A． B． C． D． 常见的几种构造类型： (1) 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得； (2) 递推公式为（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用构造法解决．； (3) 递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得； （4） 形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 【变式1】若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知数列的前项和为，则（　　） A． B．为等比数列 C． D． 【变式4】数列满足，则数列的通项公式为 . 【变式5】知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 题型06 连续求和求通项 【典例1】已知数列满足，则的通项公式为（　　） A． B． C． D． 【变式1】 数列满足，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知对任意正整数n都有，则 . 【变式3】已知是等差数列，，数列的前项和为且满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，当取得最大值时，求的值. 题型07 连续三项递推关系求通项 【典例1】已知数列中，，则=_____________． 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 【变式1】（多选）已知数列满足，，，则（　　） A．的个位数为 B．的个位数为 C．对任意实数，数列都不是等比数列 D．的前项和大于数列的前项 【变式2】已知数列满足． (1)若，求数列的通项公式； (2)在（1）的条件下，是否存在，使得成等比数列？ 【变式3】设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； 题型08 分组求和 【典例1】已知数列中，． (1)计算的值； (2)令，求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式和它的前n项和． （1）分组转化求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和． （2）分组转化法求和的常见类型 【变式1】已知数列满足，前项和为 ，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知等差数列，，，则数列的前n项和为（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列. (1)求的通项公式. (2)设，求数列的前项和. 【变式4】已知等差数列的前n项和为，且满足， ，数列满足，， (1)证明:数列是等比数列，并求，的通项公式; (2)已知数列满足，求的前2n项和 题型09 倒序相加法求和 【典例1】已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 【变式1】德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【变式3】已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 题型10 裂项相消法求和 【典例1】设是等差数列，是等比数列，且，其中与的前n项和为和． (1)求与的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 裂项相消法常见几种类型： （1）裂项相消法之等差型 ： ① ② ③ ④ ⑤ （2）裂项相消法之根式型： ① ② ③ （3）裂项相消法之指数型： ① ② ③ 【变式1】已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：； (3)若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围． 【变式2】已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． (3)若，数列的前n项和为，求证：． 【变式3】已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 题型11 错位相减法求和 【典例1】已知等差数列的公差，前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 错位相减法求数列的前n项和的适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和 【变式1】已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【变式3】已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 题型12 含绝对值数列求和 【典例1】已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. 求数列的的前n项和实际上是求数列前n项和的绝对值之和.由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前项各项的绝对值之和 【变式1】已知等差数列的前项和为，与的等差中项为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型12 含（-1）n数列求和 【典例1】已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 两两并项求和. 【变式1】已知数列的通项公式为，的前项和为，则 . 【变式2】已知是等差数列的前项和，且，. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前100项和. 【变式3】已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有 (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前100项的和. 【变式4】已知递增的等差数列满足，，令，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. (3)是否存在正整数，（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有，的值. 1．已知数列的前项和，则的通项公式为（　　） A． B． C． D． 2．定义数列的“匀称值”为，若的匀称值，则（　　） A． B． C． D． 3．已知数列满足，且，若，则（　　） A．253 B．506 C．1012 D．2024 4．已知数列的各项为正数，且，，则（　　） A． B． C． D． 5．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（　　） A． B． C． D． 6．数列满足，，数列的前n项和为（　　） A． B． C． D． 7．（多选）已知数列满足，，的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 8．（多选）已知数列的前项和为，则（　　） A． B．为等比数列 C． D． 9．（多选）已知数列满足，且，，数列的前n项和为，则（　　） A． B．是等比数列 C．时， D．不存在，使得为整数 10．数列中，若，，则 . 11．已知：，时，，则的通项公式为 12．已知数列满足，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式． 13．已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前n项和，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和； 14．已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 数列的通项与求和 教学目标 1.了解通过数列的递推公式确定数列的方法． 2.掌握通过数列的前n项和确定数列通项公式的方法． 3.掌握数列的通项公式的常见求法以及数列求和的常见方法． 教学重难点 1.重点 数列的通项公式的常见求法以及数列求和的常见方法 2.难点 数列的通项公式的常见求法以及数列求和的常见方法 知识点01 数列的通项公式 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. 注：①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 (n≥2)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 【即学即练】 1．数列中，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等差数列通项公式可求. 【解析】数列中，，， 所以数列是首项，公差的等差数列， 所以. 故选：A. 、2．在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明数列为等比数列，再根据首项和公比求数列的通项公式. 【解析】因为，所以，即， 则数列是等比数列，公比为． 又因为，所以或（舍去）， 则数列的通项公式为． 故选：A. 知识点02 数列的通项公式的常见求法 1．观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项. 2．定义法： 已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项. 3．公式法： 由an与Sn的关系求通项： (1)已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2) Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解. 方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解. 4．累加法： 形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. 5．累乘法： 形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. 6．构造法： ①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. ②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}. ③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}. ④倒数法：形如(A,B,C为不为0的常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【即学即练】 1．已知数列满足，，则数列的通项公式是 【答案】 【分析】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【解析】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 2．已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】先求得，当时，根据，可得，最后由等比数列的定义求解即可. 【解析】当时，则有，解得， 当时， 则有， 所以， 即， 所以， 所以数列是等比数列，其首项为，公比， 所以. 当时也符合，所以. 故答案为：. 知识点03 等差数列、等比数列的前n项和公式 等差数列、等比数列的求和公式 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. (1)等差数列的前n项和公式：. (2)等比数列的前n项和公式：=. 【即学即练】 1．设数列的前n项和为，若，则（　　） A．110 B．130 C．290 D．190 【答案】C 【分析】由题意求出，进而求出并判断数列是等差数列，再由等差数列的前项和公式计算即可. 【解析】因为，所以，即， 所以，则，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则. 故选：C. 2．已知是等比数列的前n项和，若，则（　　） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求； 【解析】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 知识点04 数列求和的几种常用方法 1．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 4．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 【即学即练】 1．已知等差数列，，，则数列的前n项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出等差数列的公差，得到通项，利用分组求和，结合等差等比数列的求和公式求数列的前n项和. 【解析】设等差数列公差为，由，得，则， 所以，， 则数列的前n项和为 . 故选：D. 2．数列满足，，数列的前n项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累乘法求出通项公式，再由错位相减法求和即可. 【解析】由可得， 累乘可得， 即，所以，也符合该式，故. 所以，① ，② ①②可得， 因此，. 故选：D. 题型01 观察法求通项 【典例1】若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式. 【解析】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负. 根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示. 分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为. 结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为. 故选：A. 观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分．②考虑各项的变化规律与序号的关系．③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列． 【变式1】数列，，，，，…的一个通项公式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由前5项的共同属性写出一个通项公式. 【解析】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以. 故选：B. 【变式2】数列的通项公式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合通项公式，逐项验证即可得. 【解析】对A：，不符，故A错误； 对B：，不符，故B错误； 对C：，不符，故C错误； 对D：、、 、，符合要求，故D正确； 故选：D. 【变式3】已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 【答案】 【分析】分别观察分子和分母的规律可得通项. 【解析】由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 【变式4】写出下面各数列的一个通项公式． (1)； (2)6，66，666，6666，…； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）分析分子分母的关系结合分母特点写出通项公式； （2）分析数值的组成形式，得出规律，由此可写出通项公式； （3）根据奇偶项、分子、分母的规律写出通项公式； （4）分别考虑分子分母的通项公式，由此可得结果. 【解析】（1）这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为， 所以它的一个通项公式为． （2）这个数列的前4项可写为，， 所以它的一个通项公式为． （3）这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为， 分子依次为， 所以它的一个通项公式为. （4）将数列变形为对于分子可得分子的通项公式为， 对于分母联想到数列可得分母的通项公式为， 所以原数列的一个通项公式为． 题型02 由an与Sn的关系求通项 【典例1】数列的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题目条件利用Sn与an间递推关系求通项 【解析】因为，所以，时，， 两式相减得，，即，， 因为，即， 所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列， 则． 故选：B． 求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围． 【变式1】已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知和求通项公式：进行计算. 【解析】当时， 当时， 故选：C. 【变式2】已知数列的前项和为，若，则的最大值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据数列递推式，采用两式相减的方法推出，结合等比数列通项公式求出表达式，结合单调性，即可求得答案. 【解析】由题意知，故时，， 当时，，，则， 即，故，又， 所以为首项是，公比为的等比数列， 故， 随n的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值， 故时，取最大值，最大值为 【变式3】设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件构造为常数列，求出，再利用裂项相消法求和即可. 【解析】，且， ，即 ，， 故数列为常数列，且， ，则， 故数列的前项和. 故选：D. 【变式4】已知各项均为正数的数列的前项和为， 求证：数列是等差数列，并求的通项公式； 【答案】证明见解析， 【分析】由等差数列的定义证明即可，由为等差数列，先求出，然后求解的通项公式即可； 【解析】（1）证明：因为，则当时，， 即， 而，有，即， 所以数列是以为首项为1，公差为1的等差数列， 于是得，即， 当时，，又满足上式， 所以的通项公式为. 【变式5】已知数列的前项和，且满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项乘积为，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据数列递推式，采用两式相减的方法推出（），结合等比数列通项公式求出表达式；（2）利用二次函数求最小值。 【解析】（1）因为. 所以当时， 当时，， 两式相减得 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则数列通项公式为 （2）记数列的前项乘积为， 所以，由（1）可知 则 令，开口向上且对称轴为， 所以或8时，取最小值且最小值为. 所以的最小值为. 题型03 累加法 【典例1】已知数列中，，（，且），则通项公式（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式. 【解析】当时，，即，而， 所以 ，满足上式， 所以所求通项公式为. 故选：C 数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用累加法求和. 【变式1】.已知数列的首项，且，则（　　） A．810 B．820 C．830 D．840 【答案】B 【分析】对条件进行变形利用累加法求通项 【解析】数列中，，， 则. 故选：B 【变式2】在数列中，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可以采用累加法进行求解. 【解析】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 【变式3】若数列满足，（，），则的最小值是 . 【答案】6 【分析】利用累加法求得，计算，由对勾函数的性质求最小值，注意是正整数. 【解析】由已知，，…，，， 所以，， 又也满足上式，所以， 设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增， 因此在时递减，在时递增， 又，， 所以的最小值是6， 故答案为：6. 【变式4】已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】由题意结合累加法求出即可求解. 【解析】由题得 ， 当时，符合题意， 所以， 故答案为：. 题型04 累乘法 【典例1】在数列中，，（），则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合递推关系，利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求结论. 【解析】因为（，）， 所以当，时，， 则，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即，所以（，）， 又，所以， 所以. 故选：A. 数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式. 【变式1】在数列中，，，则数列的通项公式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【解析】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 【变式2】（多选）已知数列满足，，的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】累乘法可计算出数列的通项公式，再使用错位相减法计算出即可得. 【解析】，则、、、， 累乘得：， 又，故，故B正确； 则，故A正确； ， 则， 有 ， 即，故D错误； ，故C正确. 故选：ABC. 【变式3】已知数列满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得数列是首项为，公比为的等比数列，由累乘法求出，结合指数函数和二次函数的性质求即可得出答案. 【解析】因为，所以， 所以，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，， 因为时，，所以， 因此当或时，取得最小值，为. 故答案为：. 【变式4】已知数列为等差数列，，，记的前n项和为，数列的首项，且． (1)求及； (2)求的通项公式． 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案； （2）先求出，累乘可求答案. 【解析】（1）设等差数列的公差为，则，； 又，所以，所以， 所以，． （2）因为，所以， ， 以上各式相乘可得， 因为， 所以. 题型05 构造法 【典例1】已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题设求出，再通过构造得，由等比数列的通项公式即可求解. 【解析】令可得，又，解得，又， 则，，即是以2为首项，2为公比的等比数列，则，. 故选：B. 常见的几种构造类型： (1) 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得； (2) 递推公式为（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用构造法解决．； (3) 递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得； （4） 形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 【变式1】若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用构造法可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可得结果. 【解析】∵， ∴，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ∴. 故选：A. 【变式2】已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义和通项公式进行求解即可. 【解析】由， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 即， 所以有，显然当时，， 因此中最小的一项是， 故选：B 【变式3】（多选）已知数列的前项和为，则（　　） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A，代入递推关系可得；选项B，递推关系变形可得，从而可得为等差数列；选项C，由错位相减法数列求和得，可得；选项D，将代入可得，令可求. 【解析】选项A，由题意得，A正确； 选项B，将两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误； 选项C，由， 得， 所以①， 则②， ①-②得，， ， 即，则，C正确； 选项D，因为， 所以，D正确. 故选：ACD. 【变式4】数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【解析】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【变式5】知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】(1) 【分析】将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可； 【解析】由可得，且， 故是以2为首项，3为公比的等比数列，故， 所以，又， 故，即. 题型06 连续求和求通项 【典例1】已知数列满足，则的通项公式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题中等式，可得，再结合时，可得. 【解析】当时，有，所以， 当时，由，， 两式相减得， 此时，，也满足， 所以的通项公式为. 故选：B. 【变式1】 数列满足，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出数列的通项公式，再得到数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出其前项和. 【解析】数列满足①, 当时，； 当时，②， ①②得，， 又因为，不满足上式， 故， 当时，， 设数列的前9项和为, 则 ， 故选：A. 【变式2】已知对任意正整数n都有，则 . 【答案】/ 【分析】先根据数列的前项和求数列的通项公式，再利用裂项求和法求和. 【解析】当时， 当时，，， 两式相减得： 时，上式也成立， 所以，. 所以. 当时， 所以 . 故答案为：. 【变式3】已知是等差数列，，数列的前项和为且满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，当取得最大值时，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分与两类讨论，易得不合题意，当时，结合裂项相消求和，得出，即可解得，从而得解通项公式；利用关系式即可求得的通项公式； （2）由（1）得出数列的通项公式，得出的单调性情况，从而可以根据单调性求出最大项. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 当时，则，与矛盾，不合题意； 当时， ， 解得，所以， 即. 当时，，得， 当时，  ①，   ②， ①-②得，即，即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. 即； （2），则， 所以， 令，则， ， 则 所以，得出 即， 所以数列中，最大，故. 题型07 连续三项递推关系求通项 【典例1】已知数列中，，则=_____________． 【答案】 【分析】由已知可得，令，可得，从而得数列是等比数列，求得，即有，即可得是等比数列，求出其首项和公比，可得，即可得． 【解析】因为， 所以， 令， 则， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 所以，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 即， 所以． 故答案为： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 【变式1】（多选）已知数列满足，，，则（　　） A．的个位数为 B．的个位数为 C．对任意实数，数列都不是等比数列 D．的前项和大于数列的前项 【答案】AB 【分析】利用构造法求出数列的通项公式，结合数列个位数的周期性可判断AB选项；取，结合等比数列的定义可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【解析】因为数列满足，，， 则，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，①， 又因为，且， 所以，数列是每项的值都为的常数列，故②， 联立①②可得， 设数列的个位数字构成数列，则，，，，， 以此类推可知，， 所以，的个位数为，A对； 的个位数为，B对； 当时，，此时，， 故当时，数列是公比为的等比数列，C错； 的前项和为， 数列数列的前项为， 因为，故D错. 故选：AB. 【变式2】已知数列满足． (1)若，求数列的通项公式； (2)在（1）的条件下，是否存在，使得成等比数列？ 【答案】(1)；(2)存在. 【分析】（1）由题可得数列是以为首项，为公差的等差数列，则，然后由累加法可得答案； （2）原题等价于有解，然后由判别式可判断是否存在k. 【解析】（1）由得，． 于是数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以， 当时，有． 于是，，，…，，， 叠加得，， 又当时，也适合． 所以，． （2）假设存在，使成等比数列，由（1）知，， 由得，， 整理得，． 由可知， 当时，，又当时，，当时，， 当时，，所以，当时，存在，使成等比数列． 【变式3】设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）将变为，则，整理得，利用等比数列的概念证明即可. （2）根据等比数列通项公式求得，变形为，然后根据等差数列的定义及通项公式求解即可. 【解析】（1）当时，， 即， 则，而，则， 于是时，，整理得， 又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列． （2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列， 则，因此， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列的通项公式． 题型08 分组求和 【典例1】已知数列中，． (1)计算的值； (2)令，求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式和它的前n项和． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据给定的递推关系式，令得，再令得. （2）根据给定的递推关系式得，从而根据等比数列定义即可证明. （3）先利用累加法求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【解析】（1）由题意，， 又，所以，解得． 因为，所以. （2）因为， 所以， 又，又， 则. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （3）由（2）知，所以， 所以 ， 所以. （1）分组转化求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和． （2）分组转化法求和的常见类型 【变式1】已知数列满足，前项和为 ，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知递推式得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再应用分组求和、等比数列前n项和公式求． 【解析】由，，得，所以 ，则有， 因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以 . 故选：D. 【变式2】已知等差数列，，，则数列的前n项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出等差数列的公差，得到通项，利用分组求和，结合等差等比数列的求和公式求数列的前n项和. 【解析】设等差数列公差为，由，得，则， 所以，， 则数列的前n项和为 . 故选：D. 【变式3】已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列. (1)求的通项公式. (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据等比数列定义构造方程解得公比，可得其通项公式； （2）代入得到的通项公式，利用分组求和计算可得结果. 【解析】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列， 所以. 设数列的公比为，则， 解得，或（舍）， 所以. （2）由（1）知， 因为，所以， 设数列的前项和为， 则 ， 即数列的前项和. 【变式4】已知等差数列的前n项和为，且满足， ，数列满足，， (1)证明:数列是等比数列，并求，的通项公式; (2)已知数列满足，求的前2n项和 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【分析】（1）通过已知条件和联立方程组可求出和，进而得到的通项公式. 对于数列，根据，通过变形得到，可证明是等比数列，进而求出的通项公式. （2）根据的分段定义，根据分组求和，分别计算奇数项和偶数项的和，从而求出. 【解析】（1）依题意，设数列的公差为， 因为，所以，则 因为所以 所以，所以         所以，所以， 又因为，所以， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列，              所以，所以． （2）由（1）知，，可得 所以 = = 题型09 倒序相加法求和 【典例1】已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得到，裂项相消求和得，进而结合单调性证明不等式即可. 【解析】（1）由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. （2）由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 【变式1】德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【解析】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A. 【变式2】已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据递推关系式，得到，两式相减即可得解； （2）利用倒序相加法求和即可. 【解析】（1）当时，； 当时，①， ②， ①－②得：， ∴，当时，， ∴. （2）∵， ∴ ∴①， ②， 又∵∴①＋②得： ∴. 【变式3】已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1)；(2)1012 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【解析】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 题型10 裂项相消法求和 【典例1】设是等差数列，是等比数列，且，其中与的前n项和为和． (1)求与的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)，；(2)；(3) 【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，结合等差、等比数列通项公式代入已知条件解出，从而得到与的通项公式； （2）由（1），利用裂项相消法求数列的前n项和； （3）由（1）求，，条件可转化为对任意的恒成立，利用不等式法求数列的最小值，由此可得结论. 【解析】（1）设的公差为，的公比为，则， 由， 可得，解得（舍去）， 所以，. （2）由（1）知，可得， 则， 所以数列的前项和． （3）由（1），， 由，，则，即对任意的恒成立， 当时，， 当时，设数列在第项取得最小值，则 解得，而，则，此时取得最小值， 由于，则数列在时取最小值， 所以，则实数的最大值为． 裂项相消法常见几种类型： （1）裂项相消法之等差型 ： ① ② ③ ④ ⑤ （2）裂项相消法之根式型： ① ② ③ （3）裂项相消法之指数型： ① ② ③ 【变式1】已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：； (3)若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）通过与的关系，消去，推导出数列的递推关系，确定数列类型，进而求出通项公式． （2）先对通项进行裂项，再利用裂项相消法求出和，最后通过放缩即可证明不等式． （3）构造函数，分析其单调性求出最值，将不等式恒成立问题转化为最值问题，进而求出参数范围． 【解析】（1）因为，所以①， 当时，②， 则得，， 整理得， 又数列为正项数列，即， 所以，即，即公差； 当时，有，又，则，解得. 综上，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，其通项公式为. （2）证明：由（1）可知，则， 所以， 综上，. （3）由（1）可知，令， 则， 所以 ， 所以，即在上递减， 所以， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 【变式2】已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． (3)若，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合等比数列的定义推理证明. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和. （3）由（2）求得，再利用放缩法及等比数列前n和公式推理得证. 【解析】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即， 而，解得，则， 所以是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，， 则，， 因此， 所以. （3）由（2）得， 由， 得，即， 因此， 所以. 【变式3】已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析. 【分析】（1）根据已知得到，应用等比数列的定义判断证明即可； （2）由（1）得到数列的通项公式，利用分组求和、等比数列前n项和公式求和； （3）由（2）得到数列的通项公式，对进行放缩得，应用裂项相消法证明结论. 【解析】（1）由题可得，，所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以. （3）由（2），则， 所以． 令，则， 的前项和为； 令，则， 的前项和为， 所以， 因为，所以，当时等号成立， 而，所以. 题型11 错位相减法求和 【典例1】已知等差数列的公差，前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式得到关于、的方程组，解得即可； （2）首先表示出，从而得到，再由错位相减法求和即可. 【解析】（1）因为，，又， 所以，解得， 所以； （2）因为，即，所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 所以. 错位相减法求数列的前n项和的适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和 【变式1】已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用错位相减法求和作答. 【解析】令数列的前n项和为，因为， 则， 则有 两式相减得：， 因此，有， 所以数列的前100项之和为. 故选：B. 【变式2】已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）把当时，当时，代入，化简求出，再根据等比数列的通项公式求出； （2）由（1）和条件求出，利用错位相减法求出数列的前项和． 【解析】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列， 所以. 故，. （2）由（1）可知，， ，① ，② 由① - ②得： ， ， ∴. 【变式3】已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）运用公式，已知求即可； （2）求出，后运用错位相减求出，后结合函数单调性可解． 【解析】（1）①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. （2），，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以. 所以的取值范围为. 题型12 含绝对值数列求和 【典例1】已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. 【答案】(1)，数列是等差数列，理由见解答；(2) 【解析】（1）当时，， 当时，有， 又因为，所以当时，也成立， 因此数列的通项公式为， 数列是等差数列，理由如下： 因为， 所以数列是等差数列； （2）令，解得且， 当时，， 可得； 所以，又因为，所以， 当时，， 可得 ， 令，解得或（舍去）， 所以. 求数列的的前n项和实际上是求数列前n项和的绝对值之和.由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前项各项的绝对值之和 【变式1】已知等差数列的前项和为，与的等差中项为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意可知，，， 所以，解得：，， 所以； （2）由（1）可知，，，当时，， 所以当时， ， 当时， ， ， ， 所以. 题型12 含（-1）n数列求和 【典例1】已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得. （2）①设，由已知借助恒成立求出，进而求出；②利用分组求和法求解即可. 【解析】（1）依题意，，， 则，由，得，解得， 而，所以. （2）①由数列是公差为的等差数列，设， 又， 于是对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则，又，解得，所以，从而； ②由①知， 故 . 两两并项求和. 【变式1】已知数列的通项公式为，的前项和为，则 . 【答案】 【解析】当时，则， 当时，则， 当时，. ， ，因此，. 故答案为. 【变式2】已知是等差数列的前项和，且，. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前100项和. 【答案】(1)；(2)200 【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式. （2）求出，利用分组求和公式得到答案. 【解析】（1）设等差数列的公差为d，由，，得， 解得，则 所以的通项公式为. （2）由（1）得， 所以 . 【变式3】已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有 (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前100项的和. 【答案】(1)；(2)-25 【分析】（1）由，， 两式相减即可得到通项公式. （2）求出，利用并项求和得到答案. 【解析】（1）由，， 两式相减得，即， 因为，所以，即， 故是首项为，公差为的等差数列， 所以； （2）由（1）知， 所以， 记，则， 【变式4】已知递增的等差数列满足，，令，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. (3)是否存在正整数，（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有，的值. 【答案】(1)；(2)；(3)存在. 【分析】（1）由已知条件求，进而求得；由裂项相消法求； （2）分离参数，分奇偶讨论求范围； （3）假设存在，由三项成等比列等式，分离，讨论取值. 【解析】（1）设等差数列公差为，则，由得， 由得，所以，所以， 所以数列的通项公式为； 所以， 所以， （2）由可得， 若为奇数，则恒成立， 因为函数与函数在单调递增， 所以函数在单调递增， 所以，所以； 若为偶数，则恒成立， 因为函数在满足，当且仅当时取等号， 所以，所以， 综上，实数的取值范围为. （3）假设存在正整数，使得成等比数列， 则，整理得， 当时，；当时，，不合题意. 所以存在满足条件. 1．已知数列的前项和，则的通项公式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用公式，由，能够求出数列的通项公式． 【解析】解：， ，． 当时，，， 故选：A 2．定义数列的“匀称值”为，若的匀称值，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列的“匀称值”得，两式相减即可求解. 【解析】， ， 两式相减得，所以. 故选：D. 3．已知数列满足，且，若，则（　　） A．253 B．506 C．1012 D．2024 【答案】B 【解析】因为，所以. 因为，所以，故为常数列， 所以. 由，解得. 故选：B 4．已知数列的各项为正数，且，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知等式变形得出，结合题意得出，，可知数列为常数列，由此可求得数列的通项公式. 【解析】因为数列的各项为正数，且，， 故当时，， 由题意可知，对任意的，，则，所以，， 则有，所以，数列为常数列， 故，所以. 故选：A. 5．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助所给新定义与等差数列定义可得数列的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解. 【解析】由题意可得，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，由，故，即（负值舍去）， 故，故， 则 ， 故. 故选：A. 6．数列满足，，数列的前n项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累乘法求出通项公式，再由错位相减法求和即可. 【解析】由可得， 累乘可得， 即，所以，也符合该式，故. 所以，① ，② ①②可得， 因此，. 故选：D. 7．（多选）已知数列满足，，的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】累乘法可计算出数列的通项公式，再使用错位相减法计算出即可得. 【解析】，则、、、， 累乘得：， 又，故，故B正确； 则，故A正确； ， 则， 有 ， 即，故D错误； ，故C正确. 故选：ABC. 8．（多选）已知数列的前项和为，则（　　） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A，代入递推关系可得；选项B，递推关系变形可得，从而可得为等差数列；选项C，由错位相减法数列求和得，可得；选项D，将代入可得，令可求. 【解析】选项A，由题意得，A正确； 选项B，将两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误； 选项C，由， 得， 所以①， 则②， ①-②得，， ， 即，则，C正确； 选项D，因为， 所以，D正确. 故选：ACD. 9．（多选）已知数列满足，且，，数列的前n项和为，则（　　） A． B．是等比数列 C．时， D．不存在，使得为整数 【答案】ABD 【分析】根据递推公式求出即可判断A；根据递推公式可得即可判断B；利用构造法求出数列的通项，再利用错位相减法求出，再利用作差法即可判断C；化简即可判断D. 【解析】对于A，，，故A正确； 对于B，由，得， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C，由B选项知， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 则， ， 两式相减得 ， 所以， ， 因为，所以， 所以当时， ， 所以当时，，故C错误； 对于D， ， 因为不同时为整数， 所以，故D正确． 故选：ABD． 10．数列中，若，，则 . 【答案】/1.9 【分析】依题意可得，再利用累乘法求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求和即可； 【解析】解：因为，所以，所以，，，，，累乘可得 即，因为，所以，所以 故答案为： 11．已知：，时，，则的通项公式为 【答案】 【分析】利用待定系数法构造等比数列求解 【解析】设，所以， ∴ ，解得：， 又 ，∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列， ∴ ，∴ ． 12．已知数列满足，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）利用给定的递推公式变形，结合等比数列定义推理即得. （2）利用（1）的结论结合等比数列通项公式，再利用累加法求解即得. 【解析】（1）数列中，，则， 由，，得， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式是 13．已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前n项和，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和； 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）由等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到，由等比数列通项公式可求得；利用可得到，利用累乘法可求得； （2）由（1）可得，进而整理得到，将相邻两项看作一组，采用分组求和的方式，分别根据等差数列求和公式和错位相减法求得两个部分的和，由此可得. 【解析】（1）设等比数列的公比为， ，，成等差数列，，即，，，解得：或（舍）； ，，即，解得：，； 当时，，整理可得：， ； 经检验，当时，满足， 综上所述：. （2）由（1）得：， ， 令，则其前项和； 令， 则其前项和， ， ，， . 14．已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；；(2)；(3) 【分析】（1）利用及求出，再结合，是和的等比中项可求出； （2）利用错位相减法即可求出； （3）由题可得对于恒成立，令，当时，， 当时，单调递减，又，从而可得. 【解析】（1）由，，解得， 所以；则， 由是和的等比中项，则，解得， 又由，所以，所以. （2）由（1）可得， 则， ， 将两式相减得：， 化简得. （3）若对于恒成立， 即对于恒成立， 化简得对于恒成立，令， 则，当时，； 所以当时，， 所以当时，单调递减，当时，， 所以，所以. 故实数的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $