6.4.3 第2课时 正弦定理-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

"该教案聚焦正弦定理核心知识点，通过“测量河对岸两点距离”的现实问题导入，结合“想一想”环节联系直角三角形边角关系，搭建从具体情境到抽象定理的学习支架，梳理定理表述、变形及应用基础。\n资料以现实情境培养“数学眼光”，通过题型分层（已知两角一边、两边对角等）和通性通法总结提升“数学思维”，判断三角形形状等应用强化“数学语言”表达。例题与跟踪训练结合，助力学生掌握定理应用，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。"

第2课时　正弦定理 　　如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长度，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小. 【问题】　你能借助这三个量，求出AB的长度吗？ 　 　 　 　 　 　 知识点　正弦定理 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的　正弦　的比相等 符号语言 ＝＝（△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c） 提醒　正弦定理的变形形式：若R为△ABC外接圆的半径，则①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③＝2R；④sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. 【想一想】 如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？ 提示：＝＝＝c. 1.在△ABC中，下列等式总能成立的是（　　） A.acos C＝ccos A B.bsin C＝csin A C.absin C＝bcsin B D.asin C＝csin A 解析：D　由正弦定理易知，选项D正确. 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝30°，B＝45°，a＝2，则b＝（　　） A.　　　B. C.　　　D.2 解析：D　＝⇒b＝＝＝2.故选D. 3.在△ABC中，已知A＝30°，BC＝4，则△ABC的外接圆半径为4. 解析：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得2R＝＝＝8，解得R＝4. 题型一 已知两角及一边解三角形 【例1】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c. 解：A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°. 由＝得，c＝＝ ＝＝4（＋1）. 所以A＝45°，c＝4（＋1）. 通性通法 已知两角及一边解三角形的一般步骤 【跟踪训练】 （2024·东营月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝，C＝，a＝5，则此三角形的最大边长为5. 解析：∵B＝，C＝，∴A＝，∴B所对的边最大，∵＝，∴b＝＝＝5. 题型二 已知两边及一边的对角解三角形 【例2】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形. 解：由正弦定理＝，知sin A＝＝， ∵b＜a，∴A＝60°或120°， 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， ∴c＝＝＝； 当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°， ∴c＝＝＝. 故当A＝60°时，C＝75°，c＝； 当A＝120°时，C＝15°，c＝. 【母题探究】 （变条件）若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不变，解此三角形. 解：由正弦定理＝，知sin B＝＝， ∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°， ∴c＝＝＝. 通性通法 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 【跟踪训练】 1.（2024·鹤壁月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，b＝3，sin A＝，则B＝（　　） A. B. C.或 D.或 解析：A　由题意可得sin B＝＝＝，则B＝或B＝.因为b＜a，所以B＜A，所以B＝.故选A. 2.在△ABC中，若a＝6，b＝6，A＝30°，则B＝（　　） A.60° B.60°或120° C.60°或150° D.120° 解析：B　a＜b⇒A＜B⇒B＞30°，由正弦定理可知＝，∴sin B＝＝＝，∵B∈（30°，180°），∴B＝60°或120°.故选B. 题型三 判断三角形的形状 【例3】　（2024·金华月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析：A　法一　由正弦定理得acos B＝bcos A⇒sin Acos B＝sin Bcos A⇒sin（A－B）＝0.由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形. 法二　由余弦定理得a·＝b·，整理得2a2＝2b2，因为a＞0，b＞0，得a＝b，所以△ABC为等腰三角形. 通性通法 利用正弦定理判断三角形形状的方法 （1）化边为角：将题目中的所给条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状； （2）化角为边：将题目中的所给条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2），进而确定三角形的形状. 【跟踪训练】 已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一个内角是30°的直角三角形 解析：C　已知＝＝，由正弦定理可得cos A＝sin A，cos B＝sin B，故A＝B＝，C＝，则△ABC是等腰直角三角形.故选C. 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，则＝（　　） A. B. C. D.3 解析：B　由正弦定理，得＝，故＝＝. 2.（2024·佛山月考）一个三角形中的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4，那么120°角所对的边长是（　　） A.4 B.12 C.4 D.12 解析：D　设120°角所对的边长为x，则由正弦定理，可得＝，得x＝＝＝12，故选D. 3.在△ABC中，已知sin A＝2sin Bcos C，则该三角形的形状为等腰三角形. 解析：∵sin A＝2sin Bcos C，且sin A＝sin（B＋C），∴2sin Bcos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即sin（B－C）＝0，∵－π＜B－C＜π，∴B－C＝0，即B＝C，故该三角形的形状为等腰三角形. 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝6，c＝6，C＝30°，求a. 解：由正弦定理，得＝， 得sin B＝＝. 因为b＞c，所以B＞C＝30°， 所以B＝60°或B＝120°. 当B＝60°时，A＝90°，a＝＝＝12. 当B＝120°时，A＝30°，a＝＝＝6. 所以a＝6或a＝12. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $