4.1.1 条件概率-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

例8：B将10个名额分成4部分，由于各部分的名额数互 不相同，因此可看作4个不同的元素，分给四个不同的学校，实 际上就是将4个元素全排列，因此共有A=24(种)不同的分配 方案 第四章概率与统计 4.1条件概率与事件的独立性 4.1.1条件概率 必备知识探新知 知识点1.B A P(AOB)2.(2)I(3)P(B1A)+P(CIA) P(B) 思考：P(BIA)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的 概率，而P(AIB)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概 率，因此P(BIA)和P(AIB)的意义不同 关键能力攻重难 例1：由古典概型的概率公式可知 ()PA)=号 P(B)=2×1+3×2-8_2 5×4 =20=5, P(AnB)=2x1-1 5×4-10 1 (2)P(BIA)=P(AnB)101 P(A) 2 4 5 对点训练1：(1)令事件A=取得蓝球}，B={取得蓝色E 型玻璃球}. 僻法P(A)三6PAnB)白 41 16 =4, 1 .P(BIA)=P(AnB)44 P(A) =1=1五 16 解法二：n(A)=11,n(AnB)=4, .P(BIA)=n(A0B)4 n(A)-11 例2：设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈 节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事 件A∩B. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(2) =A=30, 根据分步计数原理n(A)=AA=20,于是P(A)=(少 n(o= 202 30=3 (2)因为n(AnB)=A=12,于是P(AnB)=(AnB n(2) 12 (3)解法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件 下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 2 P(BIA)=P(AOB)=5=3 P(A) 3 解法二：因为n(A∩B)=12,n(A)=20, 所以P(B1A)=(AnB)-123 n(A)=20=5 15 解法三：第1次抽到舞蹈节目后，再抽第2次，则基本事件 空间为C,而又抽到舞蹈节目的数目为C, ·概率为P=C=3 C5 31 对点训练2：弓立解法一：列举法 从五个活动中选三个的情况有： ABC.ABD.ABE.ACD.ACE.ADE,BCD.BCE.BDE.CDE.10 种情况， 其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD, ACE.ADE 则印选到1的概率为P:合号： 乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE, 其中再选则B有3种可能性：ABC,ABD,ABE, 故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 6=2 解法二 设甲、乙选到A为事件M,乙选到B为事件N, 则甲选到A的概率为P(M0是=子： 乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P(NIM)= C P(MN)_ P(M) 2 例3：设第i次按对密码为事件A(i=1,2),则A=A1U (AA2)表示不超过2次按对密码. (1)因为事件A1与事件AA2互斥，由概率的加法公式得 P(A)=P(A1)+P(AA,)=10+10x9=5 1,9×11 (2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(AIB)=P(AIB)+ raA)lB)=号+号号 对点训练3：设“该考生6道题全答对”为事件A,“该考生恰 好答对了5道题”为事件B,“该考生恰好答对了4道题”为事件 C,“该考生在这次考试中通过”为事件D,“该考生在这次考试 中获得优秀”为事件E,则D=AUBUC,E=AUB,且A,B,C两 两互斥，由古典概型的概率公式知 P(D)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C) Ce Cio Cio Cto Cio12180 C90 Coo C 又AD=A,BD=B, 所以P(EID)=P((AUB)ID) =P(AID)+P(BID) =P(AD)P(BD) P(D) +P(D) P(A)P(B) P(D)'P(D) Clo CioCio 13 = 12180+12180=58 C0 C90 例4：记“第一次取到白球”为事件A,“第二次取到黄球”为 事件B,“在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球”为事 件C. 在事件A已经发生的条件下，袋中只有9个球，其中3个白 球，放此时取到黄球的概率为P(C)=P(B14)=日=号或者 8 4 P0-鹄-要子 P(A) 2 课堂检测固双基 1.A设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”，P(B1A) =PAB)-Q031 P(=Q55,所以当数学不及格时，该学生语文也不及 .1 格的概率为5 2.B因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖 券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是3 3c41剧=8-8号 P(BIA)=P(AB)_0.12 3 P(A)-0.2-5 4.C由题意可知， n(B)=C·22=12,n(AB)=A=6 所以P(AIB)=n(AB2=6-L n(B)=12=2 5号“甲排在第一跑道”记为事件A,“乙排在第二跑道”记为 事件B. A 则P(A)= A_1 A= 6,P(AB) A=30 1 所以P(B1A)=P(AB_=30_1 P(4)=15 6 4.1.2乘法公式与全概率公式 必备知识探新知 知识点一同时发生 思考1：P(AB)=P(B)P(AIB).((PIB)>0)》 知识点二(1)P(A)P(B1A)+P(A)P(BIA) (2)①互斥 ②2③∑P(BA,)P(A)P(BIA:) 思考2：全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用 化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可. 知识点三（I)P(A)P(B1A)+P(A)P(BA) P(A)P(BIA) (2)-P(A)P(BIA) P(A)P(BIA) 关键能力攻重难 例1：设“取到的产品是一等品”为事件A,“取到的产品是 合格品”为事件B,则P(AIB)=45%,P(B)=4%, 于是P(B)=1-P(B)=96%, 故由题可得P(A)=P(AB)=P(B)P(AIB)=96%×45% =43.2%. 对点训练1：设事件A,表示第i次摸到的是黑球(i=1,2, 3),则事件AA2表示两次摸到的均为黑球. （D由题意知P(4)=O,P4M,)=号 于是，根据乘法公式，有P(4A)=P(A)P(4A,)=品× 2 9-15 所以先后两次从中不放回地各摸出一球，两次摸到的均为 黑球的概率为古 19 (2)设事件A表示第三次才摸到黑球，则A=A4,A 由题意知P(4)P(,a)=号P(41(a)=是 于是，根据乘法公式，有P(AA2A)=P(A1)P(A2IA1) 637 P(A1(A1A)=10×9×8=40 所以从中不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球 的概率为 例2：0.915设事件A,B,C分别表示和第一代、第二代、第 三代传播者接触，事件D表示小明被感染，则由题意得P(A)= 0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(D1A)=0.95,P(D1B)=0.9 P(D1C)=0.85, P(D)=P(DIA)P(A)+P(DIB)P(B)+P(DIC)P(C) =0.95×0.5+0.9×0.3+0.85×0.2=0.915. ∴.小明被感染的概率为0.915. 对点训练2：设事件B,表示所取到的产品是由第i家元件 制造厂提供的(i=1,2,3),事件A表示取到的是一件次品.其中 B,B,,B1两两互斥，A发生总是伴随着B,B,,B3之一发生，即 A=B,AUB,AUB2A,且B,A,B,A,B2A两两互斥.运用互斥事件 概率的加法公式和乘法公式，得 P(A)=P(BA)+P(B,A)+P(BA) =P(B)P(AIB)+P(B2)P(AIB,)+P(B)P(AIB) =0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03 =0.0125, 因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率 为0.0125. 例3：设A为“发送的信号为0”，B为“接收到的信号为0”， 则A为“发送的信号为1”，B为“接收到的信号为1”。 由题意得P(A)=P(A)=0.5,P(B1A)=0.9,P(B1A)=0.1, P(B1A)=0.05,P(BIA)=0.95. (1)P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)=0.5×0.9+0.5 ×0.05=0.475: P(B)=1-P(B)=1-0.475=0.525 (2)P(A1B)=PA)P(B1A=0.5x0.051 P(B) 0.475=19 对点训练3：设B,B2,B,分别表示事件任取的零件为甲、 乙、丙机器生产的，A:抽取的零件是不合格品，由条件知， P(B)=0.40,P(B2)=0.25,P(B3)=0.35, P(A1B1)=0.10,P(AIB2)=0.05,P(AIB3)=0.01, (I)所求概率为P(B,IA),P(B1A)=P(B)P(AIB,)。 P(B)P(AIB) 0.714. (2)类似(1)的计算可得P(B,IA)≈0.223，P(B,IA)≈ 0.063,比较可知是机器甲生产出来的可能性大. 例4：BCD由条件概率的计算公式知A错误：B,C显然正 确：D选项中，因为P(A)P(BIA)=P(B)P(AIB),故D正确 课堂检测固双基 1.A2.C3.C4.D 5.0.04835设B=取出的球全是白球}， A,=掷出i点}(i=1,2,…,6), 由贝叶斯公式，得： 1 Cs P(AIB)=- (A)PB1A)=6C5=0.04835. P(A)P(BIA,) 61C5 1=1 4.1.3独立性与条件概率的关系 必备知识探新知 知识点(1)P(A)P(B)●035 第四章 概率与统计 4.1条件概率与事件的独立性 4.1.1条件概率 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.在具体情境中，了解条件概率 2.掌握条件概率的计算方法 1.通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际 2.借助条件概率公式解题，提升数学运算素养 问题， 必备知识 探新知 知识点条件概率 思考：P(BIA)和 1.条件概率 P(AIB)的意义相同 一般地，当事件B发生的概率大于0时（即P(B)>0),已知事件 发生的 吗？为什么？ 定义 条件下事件 发生的概率，称为条件概率 表示 P(AIB) 计算公式 P(AIB)= 2.条件概率的性质 (1)0≤P(BIA)≤1. (2)P(AIA)= (3)如果B与C互斥，则P(BUCIA)= [思考] 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一利用定义求条件概率 例个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地轴取两个球，记事件“第一次轴到黑球”为 A;事件“第二次抽到黑球”为B. (1)分别求事件A,B,A∩B发生的概率； (2)求P(B|A). 036 [分析]首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于 古典概型，最后利用相应公式求解 规律方法： (1)在题日条件中 若出现“在…发生 的条件下…发生的 概率”时，一般可认 为是条件概率。 (2)条件概率的两种 计算方法 ①在原样本空间中 先计算P(AB), P(A),再利用公式 P(aA)计 算求得P(BIA): P[规律方法] ②若事件为古典概型 】对点训练1 可利用公式P(BIA) 盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球， 10个是F型玻璃球E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的：F型玻璃 部印在家小 后的样本空间中计算 球中有3个是红色的，7个是蓝色的.现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问 事件B发生的概率. 该球是E型玻璃球的概率是多少？ 037 题型二利用基本事件个数求条件概率 规律方法： 例2现有6个节日准备参加比赛，其中4个舞蹈节日，2个语言类节 1.本题第（3)问给出了三 种求条件概率的方法，解法 目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： 一为定义法，解法二利用基 (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； 本事件个数直接作商，是一 (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； 种重要的求条件概率的方 法.解法三利用了缩小基本 (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的 事件空间的方法. 概率. 2.计算条件概率的方法 [分析]第(1)(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问 1)在缩小后的样本空间 21中计算事件B发生的概 为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数 率.即P(BIA)· 求解 (2)在原样本空间2中 先计算P(A∩B),P(A), 再利用公式P(BIA)= P牙系得， (3)条件概率的算法：已 知事件A发生，在此条件下 事件B发生，即事件A∩B 发生，要求P(BA),相当 于把A看作新的基本事件空 间计算事件A∩B发生的概 率，即 >[规律方法] P(BIA)=(AOB) n(A) 》对点训练2 n(AOB) (2024·天津卷13)A,B,C,D,E五种活动，甲、乙都要选择三个活 =n(2) n(A) 动参加.甲选到A的概率为 ;已知乙选了A活动，他再选择B活动 n(2) 的概率为 =P(AnB) P(A 题型三条件概率的综合应用 例3.一张储黄卡的蜜码头有6位数字，每位数字都可从09中任选 个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数 字求： (1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的 概率 规律方法： [分析](1)不超过2次，即第1次按对或第1次未按对第2次利用条件概率性质的解题 策略 按对； (1)分析条件，选择公式： (2)条件概率，利用互斥事件的条件概率公式求解. 首先看事件B,C是否互斥 若互斥，则选择公式P(（BU C)IA)=P(BIA)+P(CIA). (2)分解计算，代入求 值：为了求比较复杂事件的 概率，一般先把它分解成两 个（或若千个）互不相容的 较简单的事件之和，求出这 些简单事件的概率，再利用 加法公式即得所求的复杂事 件的概率 [规律方法] 038 》对点训练3 在某次考试中，要从20道题中随机的抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过； 若能答对其中的5道题就能获得优秀.已知某考生能答对其中的10道题，并且已知道他在这次考 试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率 ●易错警示 误认为条件概率P(BIA)与积事件的概率P(AB)相同 例4袋中装有大小相同的6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，每次抽取一球，取后不放回，连 取两次，求在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球的概率. [错解]记“第一次取到白球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件B,“在第一次取到白球的 条件下第二次取到黄球”为事件C, c)=P@)-9-告 [辨析]应注意P(AB)是事件A和B同时发生的概率，而P(BA)是在事件A已经发生的条 件下事件B发生的概率 [正解] [点评]记A,为“两次都取到黄球”，A2为“第一次取到黄球，第二次取到白球”，A3为“两次 都取到白球”，A4为“第一次取到白球，第二次取到黄球”，A为“第一次取到白球”，B为“第二次取 到黄球，C为“第一次取到白球的条件下，第二次取到黄球”，则-1B,(4,)0分P4) 0鸡-清P(4)=0g-后P)0%意P4)=告-号PB)-646-号 10×9 -5； 4 P(B1A)=(AB)-15子，要将以上各事件的关系及其概率切实弄清，准确理解条件概率的 P(A) 2 5 含义. 039 课堂检测 固双基 1.某班学生的考试成绩中，数学不及格的占 P(AIB)和P(BIA)分别等于 () 15%,语文不及格的占5%，两门都不及格的占 3%,已知一学生数学不及格，则他的语文也不 c号号 n3号 及格的概率是 ( 4.已知甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去 A店 B.iO c D 一个景点，设事件A为“三个人去的景点互不 相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率 2.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同 P(AIB)等于 学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到 中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是 号 C.Z 号 5.6名同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑 道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在 A.4 B号 C.2 D.1 第二跑道的概率是 3.甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的 气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占 20%,乙市占18%，两地同时下雨占12%，记 夯基提能作业 P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则 请同学们认真完成练案[8] 4.1.2 乘法公式与全概率公式 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.通过乘法公式及其推广的学习，体会数学抽象 1.掌握乘法公式及其推广和全概率公式 的素养 2.了解贝叶斯公式， 2.通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑 3.会用乘法公式及全概率公式求相应事件的 推理的数学素养。 概率。 3.借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学 4.会用全概率公式及贝叶斯公式解题 运算的素养 必备知识 探新知 知识点一乘法公式 公式：P(AB)=P(A)P(BIA) 意义：根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发 生的概率，可以求出事件A与B 的概率 [思考1] 思考1：P(AB),P(B) P(AIB)(其中P(B)> 知识点二全概率公式 0)之间存在怎样的等 (1)一般地，如果样本空间为2，而A,B为事件，则BA与BA是互斥的， 量关系？ 且B=BA+BA,从而P(B)=P(BA)+P(BA),当P(A)>0且P(A)>0时， 有P(B)= (2)定理1 若样本空间2中的事件A1,A2,…,An满足：