课时分层评价18 导数的几何意义-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

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课时分层评价18　导数的几何意义 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.设f'(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　) A.不存在 B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直 D.与x轴斜交 答案：B 解析：因为f'(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.故选B. 2.已知曲线y＝x2上一点A(3，9)，则在点A处的切线斜率为(　　) A.3 B.6 C.9 D.18 答案：B 解析：k＝y'｜x＝3＝＝＝(6＋Δx)＝6.故选B. 3.若＝x2，则f的导函数f'等于(　　) A.2x B.x3 C.x2 D.3x2 答案：C 解析：由导数的定义可知， f'＝＝x2.故选C. 4.如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f'(2)等于(　　) A.－4 　　　　B.－2 C.2 　　　　D.1 答案：D 解析：直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0，则f(2)＝2.又由题意可知，f'(2)＝－1，所以f(2)＋f'(2)＝2－1＝1.故选D. 5.(多选)在曲线y＝x3－x＋1的所有切线中，斜率的可能取值为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案：BCD 解析：因为y＝x3－x＋1，所以k＝ ＝x2－1.当x＝0时，k有最小值－1，故只要k≥－1即可.故选BCD. 6.(多选)若直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则(　　) A.a＝－1 B.b＝3 C.k＝2 D.f'(1)＝3 答案：ABC 解析：f'(x)＝＝3x2＋a，f'(1)＝3＋a，由导数的几何意义可得，f'(1)＝k＝2，故D错误.故选ABC. 7.已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y'｜x＝2＝　　　　. 答案：3 解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y'｜x＝2＝3. 8.已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为20，则P点坐标为　　　　. 答案：(4，48) 解析：令f(x)＝2x2＋4x，设点P(x0，2＋4x0)，则f'(x0)＝＝ ＝4x0＋4，令4x0＋4＝20，得x0＝4，所以2＋4x0＝48，所以P(4，48). 9.(易错题)过点(2，0)作曲线f(x)＝x3的切线l，则直线l的方程为　　　　　　　　. 答案：y＝0，或27x－y－54＝0 解析：因为f(x)＝x3，设切点(x0，).则k＝＝[3＋3x0·Δx＋]＝3，所以在x＝x0处的切线方程为y－＝3(x－x0)，把点(2，0)代入并解得x0＝0，或x0＝3.当x0＝0时，切线方程为y＝0；当x0＝3时，切点为(3，27)，斜率k＝27，故切线方程为y－27＝27(x－3)，整理为27x－y－54＝0.所以直线l的方程为y＝0，或27x－y－54＝0. 10.(13分)已知函数f(x)＝10x＋x2. (1)求； (2)求； (3)求f'(x)，f'(5)，f'(0). 解：(1)Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝10(x＋Δx)＋(x＋Δx)2－10x－x2＝10Δx＋2xΔx＋(Δx)2， ＝＝10＋2x＋Δx. (2)＝(10＋2x＋Δx)＝10＋2x. (3)由(2)知，f'(x)＝＝10＋2x， 则f'(5)＝10＋2×5＝20，f'(0)＝10＋2×0＝10. (11—13，每小题5分，共15分) 11.若函数f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) 答案：A 解析：函数f(x)的导函数f'(x)在[a，b]上是增函数，若对任意x1和x2满足a＜x1＜x2＜b，则有f'(a)＜f'(x1)＜f'(x2)＜f'(b)，根据导数的几何意义，可知函数y＝f(x)的切线斜率在[a，b]内单调递增，观察图象，只有A选项符合.故选A. 12.(多选)(2025·山东聊城高二月考)已知函数f(x)的图象如图，f'(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　　) A.f'(3)＞f'(2) B.f'(3)＜f'(2) C.f(3)－f(2)＞f'(3) D.f(3)－f(2)＜f'(2) 答案：BCD 解析：由函数f(x)的图象可知函数f(x)是单调递增的，且函数f(x)的图象在x＝2处的切线斜率大于在x＝3处的切线斜率，所以f'(2)＞f'(3)，故A错误，B正确；因为A(2，f(2))，B(3，f(3))，所以直线AB的斜率k＝＝f(3)－f(2)，由图可知，f'(2)＞f(3)－f(2)＞f'(3)＞0，故C、D正确.故选BCD. 13.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最小距离为　　　　. 答案： 解析：由题意可得，当点P到直线y＝x－1的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－1，设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知y'＝f'(x)＝＝2x＝1，解得x＝，所以P，故点P到直线y＝x－1的最小距离为d＝＝. 14.(17分)已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程. 解：因为y'＝ ＝＝2x＋1，所以y'｜x＝1＝3， 所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3， 设直线l2与曲线相切于点P(x0，＋x0－2)， 则直线l2的方程为y－(＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0). 因为l1⊥l2，所以2x0＋1＝－，x0＝－， 所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0. (15、16，每小题5分，共10分) 15.(新情境)德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义.设f'(x)是函数f(x)的导函数，若f'(x)＞0，∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有＜f，则下列选项正确的是(　　) A.f(π)＜f(e)＜f(2) B.f'(π)＞f'(e)＞f'(2) C.f'(2)＜f(2)－f(1)＜f'(1) D.f'(1)＜f(2)－f(1)＜f'(2) 答案：C 解析：因为f'(x)＞0，∀x1，x2∈R(x1≠x2)，总有＜f，所以y＝f(x)的图象是单调递增且向上凸起的，如图所示.所以f(2)＜f(e)＜f(π)，故A错误；因为f'(x)反映了函数f(x)图象上各点处的切线的斜率，由图象可知，随着x的增大，f(x)的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f'(π)＜f'(e)＜f'(2)，故B错误；f(2)－f(1)＝，表示点A(1，f(1))与B(2，f(2))连线的斜率，由图可知f'(2)＜kAB＝f(2)－f(1)＜f'(1)，故C正确，D错误.故选C. 16.函数f(x)的图象如图所示，且f'(x)是f(x)的导函数，记a＝f－f，b＝f'，c＝f'，则(　　) A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 答案：B 解析：设点A，B，则可以把a＝f－f＝看成A，B(4，f(4))两点连线的斜率k1，把b＝f'看成曲线在点A的切线斜率k2，把c＝f'看成曲线在点B的切线斜率k3，再作出图形进行数形结合分析： 由图可得k3＞k1＞k2，即b＜a＜c.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $