精品解析：湖南长沙市华益中学2025--2026学年九年级下学期数学入学考试卷

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2025-2026华益中学九年级下学期入学考试数学试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 中国城市轨道交通持续稳步发展，线网规模和客流规模继续稳居全球第一，下列城市轨道交通标志是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式的运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数7、9、，若将每个数都加，下列不会改变的量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 将点向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，则所得点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的外角，，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ） A. 的值随着值的增大而减小 B. 函数图象与轴的交点坐标为 C. 当时， D. 函数图象经过第一、二、四象限 8. 物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，则的长是（　　） A. B. C. D. 9. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数、、满足，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当、、中有两个相等时， D. 二次函数与一次函数的图像只有一个交点 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 13. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 14. 如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为______°． 15. 如图，在中，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为________． 16. 如图，若菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图像过点和菱形的对称中心，则的值为__________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 19. 如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． （1）求的度数； （2）若，求的长． 20. 某地区的一所初级中学为了了解九年级学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从运动、娱乐、阅读、上网四个方面调查了该校部分九年级学生的兴趣爱好，并将本次调查的结果绘制成如下两幅统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了__________名学生； （2）补全条形统计图，并计算爱好运动部分圆心角是__________度； （3）该校想从喜欢上网的九年级学生中选取两位同学分享“网络对学习的影响”，但目前报名分享的同学有四名（2男2女），求选出恰好是一男一女的概率． 21. 在湖南桃江县风景宜人之处，有一座别具一格的“天下第一笋”建筑．这座建筑的设计灵感源自竹笋，它象征着坚强与奋进，寄托着桃江县经济如同雨后春笋般，节节攀升、持续向上发展的美好期许．小王和小赵打算测量它的高度，在同一水平线上取，两点，点在点的右侧，相距．在点处测得这座建筑的顶端的仰角为，在点处测得这座建筑顶端的仰角为，测角仪的高度忽略不计． （1）求点到“天下第一笋底部”的水平距离； （2）求这座“天下第一笋”的高度． （结果精确到．参考数据：） 22. 老长沙有一首童谣：“杨裕兴的面，奇峰阁的鸭，德园的包子真好呷．”德园包子是湖南长沙地区的传统小吃之一．德园的掌案师傅历来都是技术高超的老师傅，老面发酵，所制包点皮薄馅大、面香浓郁、颜色白净、质地松软、面呈海绵状富有回弹性，口感特有嚼劲．小何到德园买早点，“阿姨，我买8个香菇肉包和5个酸菜包．阿姨说：“一共34元．”付款后，小何说：“阿姨，少买2个酸菜包，换3个香菇肉包吧．阿姨说：“可以，但还需补交5元钱．” （1）请从他们的对话中求出香菇肉包和酸菜包的单价； （2）如果小何一共有50元，需要买20个包子，他最多可以买几个香菇肉包呢? 23. 如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接，与相交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的值． 24. 在平面直角坐标系中，对于直线（为常数）与抛物线为常数且，根据它们的公共点个数，可分为三种类型，我们不妨约定： I．若有2个公共点，称该直线是抛物线的“水平双交线”，连接两个公共点的线段称为“水平弦”； II．若有1个公共点，称该直线是抛物线的“水平单交线”； III．若没有公共点，称该直线是抛物线的“水平无交线”． 请你根据该约定，解决下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①直线是抛物线的“水平双交线”：__________． ②若直线是抛物线的“水平单交线”，则；__________． ③若直线是抛物线的“水平无交线”，则．__________． （2）若直线是抛物线（为常数且）的“水平单交线”，则轴是该抛物线的“__________”从约定的三种类型中选一种填入），请说明理由； （3）若直线轴，直线均是抛物线为常数且的“水平双交线”，记它们的“水平弦”分别为． ①求的长度的取值范围： ②请问是否存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出的值和此时二次函数的最小值；若不存在，请说明理由．（注：表示一条长度等于的倍的线段） 25. 如图，中，，为的直径，在上且为的中点，过点作，连接，于点． （1）求证：为的切线； （2）记的面积分别为，若，求的值： （3）若的半径为1，设，试求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026华益中学九年级下学期入学考试数学试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 中国城市轨道交通持续稳步发展，线网规模和客流规模继续稳居全球第一，下列城市轨道交通标志是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形定义．沿着某一点旋转后能与原图形重合即为中心对称图形，即可选出本题答案． 【详解】解：∵沿着某一点旋转后能与原图形重合即为中心对称图形， ∴C选项符合中心对称图形定义， 故选：C． 2. 2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列各式的运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B. ，故该选项不符合题意； C. 与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D. ，故该选项符合题意． 故选D． 4. 一组数7、9、，若将每个数都加，下列不会改变的量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了统计数据：平均数、众数、中位数以及方差的求解，掌握相关定义即可． 【详解】解：若将每个数都加，则平均数、众数、中位数都会增加； 故A、B、C均不符合题意； 因为方差是每个数据与平均数之差的平方值的平均数，每个数都加，平均数也增加， 所乙方差不变，故D符合题意； 故选：D 5. 将点向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，则所得点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：将点先左平移3个单位长度，得到的坐标为，即，再向下平移5个单位长度，得到的坐标为，即， 故最终得到的坐标为． 故选：C． 6. 如图，是的外角，，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握“两直线平行，同位角相等”定理是解题的关键．由，，得，进而利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7. 下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ） A. 的值随着值的增大而减小 B. 函数图象与轴的交点坐标为 C. 当时， D. 函数图象经过第一、二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数中k和b的意义，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数，可得， ∵， ∴的值随值的增大而增大，A选项错误； 令，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，B选项正确； ∵，随的增大而增大， ∴当时，，即，C选项错误； ∵， ∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，D选项错误； 8. 物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式．利用弧长公式求解． 【详解】解：的长， 故选：A． 9. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 10. 已知实数、、满足，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当、、中有两个相等时， D. 二次函数与一次函数的图像只有一个交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，分式的求值，完全平方公式，根据题意可得，当，即，，据此可判断A；根据，可得，据此可判断B；分，，三种情况，讨论求解即可判断C；利用判别式得到方程的解的个数即可判断D． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当，即时，，故A正确，符合题意； 当时，则， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； 当时，则； 当时，，若，则，若，则，解得，则，解得； 当时，也可按时讨论，故C错误，不符合题意； 由，可得， ∴根的判别式为， ∴二次函数与一次函数的图象有2个交点，故D错误，不符合题意． 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】确定多项式各项的公因式后提取公因式即可完成因式分解. 【详解】解： 12. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：要使代数式在实数范围内有意义，则， 所以． 13. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查方差．先比较甲、乙、丙的方差的大小，再找出方差最小的学生即可． 【详解】解：∵，，．， ∴， ∴成绩最稳定的学生是丙， 故答案为：丙． 14. 如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，根据题意得到，，根据同角的补角相等和圆周角定理即可得到． 【详解】解：∵是内接四边形的一个外角， ∴， ∴ 故答案为： 15. 如图，在中，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得，，得出，得出． 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 16. 如图，若菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图像过点和菱形的对称中心，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，，设，可得，，求得，过点作于，再利用勾股定理求得，从而可求得点的坐标，再求出即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式． 19. 如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； 【小问1详解】 解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． 【小问2详解】 解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 20. 某地区的一所初级中学为了了解九年级学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从运动、娱乐、阅读、上网四个方面调查了该校部分九年级学生的兴趣爱好，并将本次调查的结果绘制成如下两幅统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了__________名学生； （2）补全条形统计图，并计算爱好运动部分圆心角是__________度； （3）该校想从喜欢上网的九年级学生中选取两位同学分享“网络对学习的影响”，但目前报名分享的同学有四名（2男2女），求选出恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）100 （2）补全条形图见解析；144 （3） 【解析】 【分析】（1）用爱好运动的学生人数除以其百分比即可求解； （2）求出调查的学生中爱好阅读的学生人数，即可补全条形统计图，再用乘以爱好运动的学生人数占比可求出运动部分圆心角的度数； （3）根据题意画出树状图，再根据树状图解答即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴在这次调查中，一共调查了100名学生； 【小问2详解】 解：由条形统计图可得，调查的学生中爱好阅读的有人， ∴补全条形统计图如下： 爱好运动部分圆心角是； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能结果，其中选出恰好是一男一女的等可能结果有8种， ∴选出恰好是一男一女的概率是． 21. 在湖南桃江县风景宜人之处，有一座别具一格的“天下第一笋”建筑．这座建筑的设计灵感源自竹笋，它象征着坚强与奋进，寄托着桃江县经济如同雨后春笋般，节节攀升、持续向上发展的美好期许．小王和小赵打算测量它的高度，在同一水平线上取，两点，点在点的右侧，相距．在点处测得这座建筑的顶端的仰角为，在点处测得这座建筑顶端的仰角为，测角仪的高度忽略不计． （1）求点到“天下第一笋底部”的水平距离； （2）求这座“天下第一笋”的高度． （结果精确到．参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是熟练掌握利用锐角三角函数解直角三角形的步骤． （1）假设长度为，表示出，然后利用锐角三角函数列出方程求解即可； （2）利用（1）的结果即可求解． 【小问1详解】 解：设长度为， 由题意得：，，， 为等腰直角三角形， ， 在中，， ， 解得， ， 所以，点到“天下第一笋”底部的水平距离约为； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 所以，这座“天下第一笋”的高度约为． 22. 老长沙有一首童谣：“杨裕兴的面，奇峰阁的鸭，德园的包子真好呷．”德园包子是湖南长沙地区的传统小吃之一．德园的掌案师傅历来都是技术高超的老师傅，老面发酵，所制包点皮薄馅大、面香浓郁、颜色白净、质地松软、面呈海绵状富有回弹性，口感特有嚼劲．小何到德园买早点，“阿姨，我买8个香菇肉包和5个酸菜包．阿姨说：“一共34元．”付款后，小何说：“阿姨，少买2个酸菜包，换3个香菇肉包吧．阿姨说：“可以，但还需补交5元钱．” （1）请从他们的对话中求出香菇肉包和酸菜包的单价； （2）如果小何一共有50元，需要买20个包子，他最多可以买几个香菇肉包呢? 【答案】（1）香菇肉包的单价是3元，酸菜包的单价是2元 （2）小何最多可以买10个香菇肉包 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设香菇肉包的单价是元，酸菜包的单价是元，结合列方程再解方程组，即可作答． （2）设可以买个香菇肉包，则可以买个酸菜包，根据题意列不等式求解，即可作答． 【小问1详解】 解：设香菇肉包的单价是元，酸菜包的单价是元， 由题意得： 解得： 答：香菇肉包的单价是3元，酸菜包的单价是2元； 【小问2详解】 解：设可以买个香菇肉包，则可以买个酸菜包， 由题意得：， 解得：， 答：小何最多可以买10个香菇肉包． 23. 如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接，与相交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，线段的和差关系推出，进而得到，证明四边形为平行四边形，再根据，即可得证； （2）勾股定理逆定理推出，再根据正切的定义，进行计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，对于直线（为常数）与抛物线为常数且，根据它们的公共点个数，可分为三种类型，我们不妨约定： I．若有2个公共点，称该直线是抛物线的“水平双交线”，连接两个公共点的线段称为“水平弦”； II．若有1个公共点，称该直线是抛物线的“水平单交线”； III．若没有公共点，称该直线是抛物线的“水平无交线”． 请你根据该约定，解决下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①直线是抛物线的“水平双交线”：__________． ②若直线是抛物线的“水平单交线”，则；__________． ③若直线是抛物线的“水平无交线”，则．__________． （2）若直线是抛物线（为常数且）的“水平单交线”，则轴是该抛物线的“__________”从约定的三种类型中选一种填入），请说明理由； （3）若直线轴，直线均是抛物线为常数且的“水平双交线”，记它们的“水平弦”分别为． ①求的长度的取值范围： ②请问是否存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出的值和此时二次函数的最小值；若不存在，请说明理由．（注：表示一条长度等于的倍的线段） 【答案】（1）①×；②√；③×； （2）水平无交线，理由见详解； （3）①；②存在，的值为，此时二次函数的最小值 【解析】 【分析】（1）①根据新定义可得没有实数根，从而可得答案； ②根据新定义可令的判别式为0，从而可得答案； ③根据新定义可令的判别式小于0，从而可得答案； （2）根据新定义可得有两个相等的实根，可得，再进一步可得答案； （3）①根据新定义可得，求解，可得； ②证明该三角形是等腰直角三角形；求解，，而，结合①图象可得：，则不是斜边，不是斜边，为斜边，再进一步解答即可． 【小问1详解】 解：①由题意可得，即， 得，方程没有实数根， 直线与抛物线没有交点， 所以直线是抛物线的“水平无交线”；不正确； 故答案为：×， ②若直线是抛物线的“水平单交线”， 根据新定义可得， 即，得， ∴， ∴，此说法正确； 故答案为：√， ③若直线是抛物线的“水平无交线”， 则， ， ， ，此说法不正确； 故答案为：×， 【小问2详解】 解：轴是抛物线（为常数且）的“水平无交线”， 理由：∵直线是抛物线（为常数且）的“水平单交线”， ∴即有两个相等的实根， ， ， ， ， 当时， ， ∴函数与轴没有交点， ∴轴是抛物线（为常数且）的“水平无交线”． 【小问3详解】 解：①如图， ∵直线，轴，直线与抛物线（为常数且）的位置关系均为“水平双交线”， 即有两个不相等的实根， ， ， 即有两个不相等的实根，， ，， ； ； ②∵三角形的三个内角的大小之比为， ∴三角形的三个内角的大小分别为，，， ∴该三角形是等腰直角三角形； 结合①同理可得：有两个不相等的实根，， ，， ， 同理：有两个不相等的实根， ， 而， 由①图象可得：，则不是斜边，不是斜边，为斜边， ， ， ， ， ， ，， ， 而，解得：， ∴函数的最小值为． 【点睛】熟知二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，准确计算，灵活应用根的判别式是解本题的关键． 25. 如图，中，，为的直径，在上且为的中点，过点作，连接，于点． （1）求证：为的切线； （2）记的面积分别为，若，求的值： （3）若的半径为1，设，试求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理，再结合垂直证明切线即可； （2）由相似三角形面积比等于相似比的平方，可得，根据等高三角形面积之比等于底边之比，可得，再结合已知条件列方程，求得，设，，证明，求出，最后在直角三角形中求解即可； （3）由勾股定理可得，利用等面积法得到，证明，可得，同理可得，代入关系式，再根据二次根式有意义的条件求出取值范围． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， ， ， 又是半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：， ， ，即， ， ， ， ， 解得：或（舍）， 设，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ； 【小问3详解】 解：的半径为1， ， 点是的中点，， ， 在中，， ， ， ， 由（2）可知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ，， ． 【点睛】灵活利用相似三角形对应边成比例，面积比等于相似比的平方，将线段相互转化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $