辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

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绝密★启用前 辽西重点高中2025~2026学年度下学期高一开学考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2．函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3．函数的零点所在区间为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4．若向量，且，则实数m的值为（ ） A. －2 B. － C. 1 D. －2或1 5．已知函数的定义域为，且对，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6．金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（ ） A. A与C是对立事件 B. C与D相互独立 C. A与D相互独立 D. B与D不互斥 7．已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 8．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列关于向量说法，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若，则存在唯一实数使得 10．已知函数则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则的值可以为 C. 存在，使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为 11．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比例估计为6% B. 估计该地农户家庭年收入的85%分位数为10万元 C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．__________. 13．若，则最大值是______. 14．若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15．已知函数（其中a为常数）是定义域为的偶函数. （1）求的解析式，并直接写出的单调区间和最小值； （2）解不等式. 16．如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 17．已知华为公司生产mate系列的某款手机的年固定成本为200万元，每生产1只还需另投入80元.设华为公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝ （1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式； （2）当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 18．已知函数，函数. （1）求的定义域； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若，使得成立，求的取值范围. 19．定义． (1)用解析式表示，并写出的定义域： (2)证明：； (3)设．若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围． 高一数学 第5页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 辽西重点高中2025~2026学年度下学期高一开学考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合，再由并集运算可得结果. 【详解】易知集合，， 则. 故选：D 2．函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，解出即可求解. 【详解】由题意得， 所以， 故选：A. 3．函数的零点所在区间为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的单调性和零点存在性定理，即可求解. 【详解】由于的定义域为R，且都为增函数， 故也为增函数， 且，即 因此零点在区间上，即． 故选：A 4．若向量，且，则实数m的值为（ ） A. －2 B. － C. 1 D. －2或1 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标表示. 【详解】因为向量，且， 所以，解得m=－2或1.故A，B，C错误. 故选：D. 5．已知函数的定义域为，且对，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法和方程组思想求解即可. 【详解】分别令和得到：，解得：． 故选：A． 6．金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（ ） A. A与C是对立事件 B. C与D相互独立 C. A与D相互独立 D. B与D不互斥 【答案】C 【解析】 【分析】列举出甲、乙两名同学选择两个项目参加的所有情况，计算每个事件的概率，可得选项A错误；由相互独立的定义可知选项B错误，选项C正确；由互斥事件的概念可知选项D错误. 【详解】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有： （1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213）， （1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314）， （2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224）， （1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36种， 其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，则，，，. 由可得A与C不是对立事件，选项A错误. ，C与D不相互独立，选项B错误. ，A与D相互独立，选项C正确. 由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误. 故选：C. 7．已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数的概念求得，再结合零点存在性定理和函数单调性即可求解. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得，所以，. 因为，，， ，， 由解析式可知在上单调递增， 所以在上有唯一零点. 故选：B. 8．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设分析函数的奇偶性以及单调性，据此可得转化为，进而解可得的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，函数 设，则有，解可得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又由，即函数为奇函数， 设，则， ，在上为增函数，而在上为增函数， 故在区间上为增函数， 又为增函数，所以在区间上为增函数， 不等式即为， 也即， 所以，解得. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列关于向量说法，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若，则存在唯一实数使得 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，举例判断，对于B，设为的中点，连接，则可得，从而分析判断，对于C，对已知等式两边平方化简进行判断，对于D，举例判断. 【详解】对于A，当时，因为零向量与任意向量都平行，所以，成立，而此时不一定平行，所以A错误， 对于B，因为，所以，设为的中点，连接， 则，所以，所以点到的距离等于点到的距离的3倍， 所以△AOC与△ABC的面积之比为，所以B正确， 对于C，由，得，化简得， 所以，所以与的夹角为，所以与共线且反向，所以C正确， 对于D，当时，不存在唯一实数使得，所以D错误. 故选：BC 10．已知函数则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则的值可以为 C. 存在，使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据分段函数的解析式，代入值，可得答案； 对于BC，根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案； 对于D，根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【详解】由题意得，得，得，A正确； 若在上单调递增，则，得，B正确； 若在上单调递减，则，不等式组无解，C错误； 若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，在上单调递增，则，得，即． 当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得恒成立，即2． 综上，取值范围为，D正确． 故选：ABD. 11．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比例估计为6% B. 估计该地农户家庭年收入的85%分位数为10万元 C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图进行数据分析，确定85%分位数，平均值判断各选项． 【详解】对于A，由频率分布直方图低于4.5万元的农户比例约为，A正确； 对于B，由频率分布直方图知收入超过10.5万元的有，收入在之间的有．低于9.5万元有80%， 而因此85%分位数，B正确； 对于C，平均值约为，C错； 对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的有，D正确． 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数运算、对数运算法则计算可得结果. 【详解】易知. 故答案为： 13．若，则最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知化为，应用基本不等式求最大值即可. 【详解】由题设，则， 当且仅当，即时取等号，故的最大值是. 故答案为： 14．若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意求出，令，求出的取值范围，由题意知在上恒成立，求出函数在上的值域即可求出答案. 【详解】设， 则， 由题意知，为偶函数，所以 即，所以， 则，， 令，因为，所以， 函数在单调递减，在单调递增， 当，，当，，当，， 所以当时，函数的值域为， 则当时，函数的值域为， 令，， 则关于的不等式在上恒成立，可化为在上恒成立， 不等式可化为， 即在上恒成立， 函数和函数在上均单调递减， 故函数在上单调递减， 则， 则，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15．已知函数（其中a为常数）是定义域为的偶函数. （1）求的解析式，并直接写出的单调区间和最小值； （2）解不等式. 【答案】（1），的单调减区间是，单调增区间是，最小值是 （2）. 【解析】 【分析】（1）由是偶函数列式子可求得，再判断函数的单调性，结合单调性即可得函数的最小值； （2）由奇偶性和单调性将转化为，再解绝对值不等式即可得答案. 【小问1详解】 因为是偶函数，所以对，都有 即， 整理得，所以， ， 令，则， 由可得，所以， 则， 所以函数在上单调递增， 结合奇偶性可得的单调减区间是，单调增区间是， 的最小值是. 【小问2详解】 因为是偶函数，且在是增函数， 所以等价于， 解得：， 所以不等式的解集是. 16．如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ， 又，故， 故三点共线. 17．已知华为公司生产mate系列的某款手机的年固定成本为200万元，每生产1只还需另投入80元.设华为公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝ （1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式； （2）当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为32万只时，利润最大，最大利润为30520万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得分段函数的解析式. （2）结合二次函数的性质、基本不等式求得最大值一次此时的产量. 【小问1详解】 利用利润等于收入减去成本，可得 当时，； 当x＞40时，W＝xR（x）﹣（80x+200）＝, ∴. 【小问2详解】 当0＜x≤40时，W＝﹣30（x-32）2+30520∴当x=32时，Wmax＝30520, 当x>40时，, 当且仅当，即x=50时，“=”成立，此时W取最大值28800, ∵30520>28800, ∴当年产量为32万只时，利润最大，最大利润为30520万元. 18．已知函数，函数. （1）求的定义域； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令后，解出即可得； （2）任取，且，再得到的正负即可得； （3）由题意可得，结合（2）中所得可得，再分与，计算出即可得解. 【小问1详解】 由题意知，整理得， 所以，解得，即的定义域为； 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 又，所以，所以， 即，所以在上单调递增； 【小问3详解】 若，使得成立，则. 由（2）知在上单调递增，所以， 记， 因为，所以，所以， 当时，， 则，所以，所以或，又，所以； 当时，， 则，所以，所以，又，所以； 综上，的取值范围为. 19．定义． (1)用解析式表示，并写出的定义域： (2)证明：； (3)设．若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)，定义域为； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）按的大小分类，得到的解析式； （2）按的大小分类证明； （3）令，，由第（2）小问知：，然后把题意转化为都大于等于2，对任意 恒成立，可得答案. 【详解】（1）设 ，. 令得：， ， ，解得 或 ， 由于 是开口向上的二次函数（二次项系数为正）， 当 或 时，，故 ； 当 时，，故 . 因此，，定义域为 . （2）证明：情况一：当时， 等式右边； 情况二：当时，， 等式右边. 综上，等式成立. （3）依题意知：在上的值域是在上的值域的子集， 由于 在 上单调递增，值域为 . 因此，只需满足对任意 ，有 . ， ， ， 令，， ， 由（2）知：， 要使对任意 恒成立， 又对任意 恒成立， 所以只需对任意 恒成立， 易知：当时，不成立； 当时，， 故. 高一数学 第9页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $