河南天立教育2025-2026学年高二下学期开学联考数学试题

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河南省天立教育2025一2026学年度春期高二年级开学联考 数学试题卷 本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知点P在抛物线M:y2=8x上，过点P作圆C:(x-4)+y2=1的切线，若切线长为2√6，则点P到M的准线 的距离为(） A.5 B.6 C.7 D.42 2.已知函数f(x)=f"0)x3+x2,则f(3)+f(2)=（) A.-12 B.12 C.-26 D.26 3.若点A(1,2)在圆x2+y2+2x-4y+a=0外，则实数a的取值范围为（) A.a>1 B.1<a<5 C.a<5 D.2<a<6 4.已知数列}为等比数列，4+a,+a,=82+上+上=2，则a,=( 4a4a6 A.22 B.±22 C.2 D.±2 5点(，0到双曲线G号-1的条渐近线的距离为() B号 c.s 4 0.5 6.已知空间向量ā=(2，-1,2)，b=(1,-2,-1),则向量6在向量a上的投影向量是（) 424 A.g99) B.(2,-1,2) c. 424 9-9,-9 D.(1,-2,1) 7.已知等差数列{a}的公差d<0,a,4=24,a,+a6=10,记该数列的前n项和为Sn,则Sn的最大值为() A.20 B.24 C.36 D.40 8.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e=0(其中0=5-1)的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方 2 程为女+少2 京+京=(a>b>0),若以原点O为圆心，短轴长为直径作O0,P为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P 作O0的两条切线，切点分别为AB,直线AB与xy轴分别交于M,N两点，则+。 IOMONF=( 1 B. C.-0 D.- 数学试题卷第 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知圆O:x2+y2=4,过直线：y=x-3上一点P向圆O作两切线，切点为A、B，,则() A宝践恒过定[修剖 B.AP最小值为3 2 Chg的聚小值为号 D.满足PA⊥PB的点P有且只有一个 10.数列{a}满足：a=1,a+1-3a.-1=0,neN,下列说法正确的是（) A.数列a+为等比数列 B.a=x3-1 2 2 C.数列{a,}是递减数列 D.a,}的前n项和3=×3- 4 4 11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-ABCD的表面上一个动点，F是线段AB的中点，则() A.若点P满足AP⊥B,C,则动点P的轨迹长度为4√2 D B.三棱锥4-PBD体积的最大值为 B C.当直线AP与AB所成的角为45时，点P的轨迹长度为π+4√2 D D.当P在底面ABCD上运动，且满足PF11平面B,CD时，线段PF长度最大值为2√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设函数f(四满足f(x)=1,则1m,+Ax)-/,) 2Ax 13.已知向量a=m-1,0,2),万=(2，n+2,1),若b,则m+n=_ 4已知双曲线二αb>0)的左焦点为P,过坐标原点O作直线与双曲线的左右两支分别交于AB两点 且网=4网，A3=,则双曲线的渐近线方程为一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知圆C:(x-2)2+y2=1. (1)若P的坐标为P(3,-3),求过点P与圆C相切的直线方程； (2)直线x-y+=0与圆C交于E,F两点，求OE.OF的取值范围(O为坐标原点). 1页（共2页） 16.已知椭圆E：+1(α>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过 (0,t)t>√2)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个 交点为D (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值. 17.设抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交E于A,B两点，且AB的最小值为4. (1)求E的方程； (2)设过F的另一直线交E于C,D两点，且点M(2,2)在直线AC上 (i)证明：直线BD过定点N; (ⅱ)对于(i)中的定点N,当△AMN的面积为5时，求直线AB的方程 数学试题卷 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=√2a,底面ABCD为直角梯形，其中 BC/IAD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2a,O为AD的中点. (1)求证：PO⊥平面ABCD; (2)求平面PCD与平面PAD夹角的余弦值； (3》线段1D上是百存在e,俊得它到平面Q0的电离为。？若存在求出号的值：若不存在，请说明理向。 2 19.已知数列{a}的前n项积为Ia.定义：若存在k∈Z,使得对任意的neN,a1-Tn=k恒成立，则称数列{a,} 为“k数列” (1)若4=1，且{a}为“2数列”，求4； (2)若a=2,且{a,}为“k数列”，{a}的前n项的平方和为Gn,数列b}是各项均为正数的等比数列，满足 b,=2-,求k的值和地}的通项公式； (3)若a>1,k>0,且{a}为“k数列”，{an}的前n项和为Sn,证明：Sn>lnTn+n. 第2页（共2页）河南省天立教育2025一2026学年度春期高二年级开学联考 数学试题卷 本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知点P在抛物线M:y2=8x上，过点P作圆C:(x-4)+y2=1的切线，若切线长为2√6，则点P到M的准线 的距离为() A.5 B.6 C.7 D.42 2.已知函数f(x)=f")x3+x2,则f(3)+f(2)=（) A.-12 B.12 C.-26 D.26 3.若点A(1,2)在圆x2+y2+2x-4y+a=0外，则实数a的取值范围为（) A.a>1 B.1<a<5 C.a<5 D.2<a<6 4.已知数列}为等比数列，4+a,+a,=8上+上+上=2，则a,=( 444a6 A.22 B.±2√2 C.2 D.±2 5点（位，0到双曲线G号=1的条渐近线的距离为(） B号 c.s 0.5 4 6.已知空间向量ā=(2，-1,2)，b=(1,-2,-),则向量6在向量a上的投影向量是( 424Y 424 A.999 B.(2,-1,2) c. 99g D.(1,-2,1 7.已知等差数列{a}的公差d<0,a,4=24,a+a=10,记该数列的前n项和为Sn,则Sn的最大值为( A.20 B.24 C.36 D.40 8.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e=0(其中0=5-1)的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方 2 程为+y2 京+示=(a>b>0),若以原点O为圆心，短轴长为直径作O0,P为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P 作00的两条切线，切点分别为AB,直线4B与y轴分别交于M,N两点，则 a IOMONF=( A.1 1 B.0 C.-0 D.- 数学试题卷第1页（共4页) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知圆O:x2+y2=4,过直线：y=x-3上一点P向圆O作两切线，切点为A、B,则() A.直线AB恒过定点33 44 B.AP最小值为3 2 C.AB的最小值为4 D.满足PA⊥PB的点P有且只有一个 3 10.数列{a,}满足：4=1，a+1-3a-1=0,neN,下列说法正确的是() A数列a+》为等比数列 Ba=5r月 C.数列{a}是递减数列 D。a)的前n项和S-×g-子 4 11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-ABCD的表面上一个动点，F是线段AB的中点，则() A.若点P满足AP⊥B,C,则动点P的轨迹长度为4√2 D B.三棱锥A-PBD体积的最大值为 B 3 C.当直线AP与AB所成的角为45°时，点P的轨迹长度为π+4V2 D.当P在底面ABCD上运动，且满足PF11平面BCD时，线段PF长度最大值为2√互 B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设函数f(e)满足∫(s)1,则1m,+A)-f) 2△x 13.已知向量a=(-1,0,2),b=(2,n+2,1),若a/6,则m+n=_ 14已妇议重纹等若一ab的法长点为，挂标家点O作在线与双简线的东有两支分收于人时大 且网=4网AB-,则双曲线的商近线方程为一， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知圆C:(x-2)2+y2=1. (1)若P的坐标为P(3,-3),求过点P与圆C相切的直线方程； (2)直线x-y+=0与圆C交于E,F两点，求O元.OF的取值范围(O为坐标原点) 数学试题卷第2页（共4页） 6已知椭圆E:。+片1(a>b>0,以椭圆B的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 (0,t)t>√2)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个 交点为D (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值. 17.设抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交E于A,B两点，且AB的最小值为4. (1)求E的方程； (2)设过F的另一直线交E于C,D两点，且点M(2,2)在直线AC上 (i)证明：直线BD过定点N; (i)对于(i)中的定点N当△AN的面积为5时，求直线AB的方程 2 数学试题卷第3页（共4页) 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=√2a,底面ABCD为直角梯形，其中 BC11AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2a,O为AD的中点. (1)求证：PO⊥平面ABCD; (2)求平面PCD与平面PAD夹角的余弦值； (③)线段4D上是否存在Q,使得它到平面PcD的距离为3？若存在，求出%的值：若不存在，说明理由 2 19.已知数列{a}的前n项积为I.定义：若存在k∈Z,使得对任意的neN,a1-T,=k恒成立，则称数列{a} 为“k数列” (1)若a=1,且{an}为“2数列”，求a; (2)若a=2,且{a}为“k数列”，{a}的前n项的平方和为Gn,数列b}是各项均为正数的等比数列，满足 bn=2.-,求k的值和b}的通项公式； (3)若a>1,k>0,且{a}为“k数列”，{an}的前n项和为Sn,证明：Sn>hTn+n. 数学试题卷第4页（共4页) 河南省天立教育2025—2026学年度春期高二年级开学联考 数学试题卷 本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（　　） A．5 B．6 C．7 D． 2．已知函数，则＝（　　） A．－12 B．12 C．－26 D．26 3．若点在圆外，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．已知数列为等比数列， ，则 （　　） A． B． C．2 D． 5．点到双曲线的一条渐近线的距离为（　　） A． B． C． D． 6．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（　　） A． B． C． D． 7．已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（　　） A．20 B．24 C．36 D．40 8．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，过直线上一点向圆作两切线，切点为、，则（　　） A．直线恒过定点 B．最小值为 C．的最小值为 D．满足的点有且只有一个 10．数列满足：，，，下列说法正确的是（　　） A．数列为等比数列 B． C．数列是递减数列 D．的前项和 11．如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则（　　） A．若点P满足，则动点P的轨迹长度为 B．三棱锥体积的最大值为 C．当直线AP与AB所成的角为时，点的轨迹长度为 D．当P在底面ABCD上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设函数满足，则 ． 13．已知向量，，若，则 ． 14．已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知圆． （1）若的坐标为，求过点P与圆C相切的直线方程； （2）直线与圆交于两点，求的取值范围（为坐标原点）． 16．已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点和的直线AC与椭圆E的另一个交点为． （1）求椭圆E的方程及离心率； （2）若直线BD的斜率为0，求t的值． 17．设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，且的最小值为4． （1）求E的方程； （2）设过F的另一直线交E于C，D两点，且点在直线AC上． （ⅰ）证明：直线过定点N； （ⅱ）对于（ⅰ）中的定点N，当的面积为时，求直线的方程． 18．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． （1）若，且为“2数列”，求； （2）若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式； （3）若，，且为“数列”，的前项和为，证明：． 数学试题卷　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $河南省天立教育2025一2026学年度春期高二年级开学联考 数学参考答案 第I卷选择题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C 6 C A A 题号 7 8 9 10 11 答案 C A AC AB CD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.【答案】A 【分析】由圆的切线的性质可求得PC,结合抛物线方程计算可得点P横坐标，即可得点P到M的准线的距离. 【详解】如图所示： 设切点为Q,则cg=1,Pg=26, 则PC=MC2+Pe-V12+(262=5, 设P(xy),则由两点间距离公式得到Vx-4)2+少2=√x-4)2+8x=Vx2+16=5, 解得x=±3，因为y2=8x≥0，所以x=3, 因为M的准线方程为x=-2,所以点P到M的准线的距离PE为3-(-2)=5. 故选：A. 2.【答案】C 【分析】求出导数，令x=1,求出∫'(1)，再求出f(3)+f"(2). 【详解】因为函数f(x)=f')x3+x2,所以f'(x)=3∫"(1)x2+2x, 令x=1则，∫(1)=3f(1)+2,解得∫'(1)=-1， 所以fx)=-x3+x2，f'(x)=-3x2+2x, 所以f(3=-33+32=-18,f"(2)=-3×22+2×2=-8, 所以f(3)+f'(2)=-26, 故选：C 3.【答案】B 【分析】根据圆的一般方程以及点在圆外，可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数α的取值范围. 【详解】因为点A0,2)在圆x2+2+2x-4+a=0外，则4+16-4a>0 6x2-8+a>0, 解得1<a<5. 故选：B. 4.【答案】C 【分析】利用等比数列的性质与通项公式即可得解 【详解】因为{a}为等比数列，则公比q≠0，所以a=a,,又a,+a+a6=8, 所以上+1+11+1+1-+a+只=马+4+%=4+a+-82,解得4=2， aa as a asas ads ai ddi aa 又a+a+a。=4(1+q+q)=8>0,而1++g>0恒成立， 所以4>0，则a=a4q2>0,故a4=2. 故选：C 数学参考答案第1页（共9页）》 5.【答案】A 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可」 1详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：6)0，即3x±4)=0 结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x+4y=0的距离：d=9+0- V9+165 故选：A. 6.【答案】A 【分析】根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果 【详解】根据题意，园=√2+22+(-1=3，=V(-2)'+(-1+12=6,ā6=2+2-2=2， 3有西同骨弱佰骨2号乡》 故选A. 7.【答案】C 【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出d及通项公式，再确定所有非负数项即可得解， 【详解】等差数列{a}中，公差d<0,即数列{a}是递减等差数列， 显然a,+a,=a,+a,=10,而a,a=24,且a,>a,解得4=6,4=4，则d=4-=-1, 5-3 a。=4+(n-3)d=-n+9,由a,≥0，得n≤9，因此数列{a}前9项均为非负数，从第10项起均为负数， 所以3，的最大值为8，=3=94+a）=94=36. 2 故选：C. 8.【答案】A 【分析】根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为P(x,%),从而得出四点所在圆的 方程为x(x-x)+y(y-%)=0,利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即 可解决本题 【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为P(x,),则该圆的方程为：x(x-x)+y(y-%)=0, 将两圆方程：x2+y2=b2与x2-xx+y2-yy=0相减，得切点所在直线方程为 ,+%=b,解得M,0】 0,0）,西为三+-1，所以 a b2 b2 -6+4_b+8_b-=1=2=1 OMONBb 6=61-05-i0 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】AC 【分析】根据PA、PB与圆O相切，得到直线AB的方程，可判断A选项；由勾股定理得当OP最小时AP最小， 可判断B选项；根据弦长公式，可判断C选项；由PAL PB可得到PA=2,可判断D选项. 【详解】对于A,圆0：x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径为2， 设P(x,y。),P在直线：y=x-3上，y。=x。-3, 数学参考答案第2页（共9页）》 PA、PB为圆的切线， 以OP为直径的圆的方程为x(x-)+y(y-)=0, x2+y2=4 x(x-x)+y(0y-)=0,两式作差可得直线AB的方程为。Xx+y=4, 将y。=x。-3代入得：14B:(x+y)x-3y-4=0, x+y=0 3 满足 -3v-4=0,解 4 y=3 所以直线B恒过定点（售引 故A正确； 对于B,AP=VOP-O4,当O川最小时，AP到最小， O(0,0),1:x-y-3=0, -2=,政B精误： 对于C,14Bxx+(x。-3)y-4=0, 0(0,0)到ls的距离d=- 上4 x+(玉，-3 ABl=2V0A-d2=2,4- +G32年 16 16 当-时.h风。=2h-16号-号放c工确： 对于D,若PA⊥PB,则∠APO=45°，即AP=AO=2, ~4风。空2，#在商个点校A上阳，敌D指误 故选：AC 10.【答案】AB 【分折】推号出。*宁+中，a+片号从丽数列a宁为碳为子公比为3的等比数列.由此利用 .1 等比数列的性质能求出结果。 【详解】数列{a}满足：a=1,a1-3a-1=0,neN, =a+1,2+分0+岁， 13 41+ +22' 数列a,+为首项为，公比为3的等比数列，故A正确： a与分职，ng号故B正确 1 22 2 2 数列{a,}是递增数列，故C错误； 数列a+克的前a项和为：g-治-0g 1-3-40 A 4 a)的前项和8-8--g子子放D猎误 4 故选：AB. 数学参考答案第3页（共9页） 11.【答案】CD 【分析】利用线面垂直的性质定理可得动点P的轨迹为矩形ABC,D,其周长为4√2+4；显然三棱锥A-PB,D,体 8 积的最大值即为正四面体C-AB,D,易知最大值为。A=了易知当点P在线段AC,AB,和弧BC上时，直 线AP与AB所成的角为45°，可知其轨迹长度为π+4W5;根据面面平行的判定定理可求出点P在底面ABCD上 的轨迹为三角形FNMM,易知FP长度的最大值为N=2√2 【详解】对于A,易知B,C⊥平面ABCD,A∈平面ABC,D1,故动点P的轨迹为矩形ABC,D, 动点P的轨迹长度为矩形ABCD的周长，即为4v2+4,所以A错误； 对于B,因为V-mA=V,-4A,而等边△ABD的面积为定值2W5, 要使三棱锥P-ABD的体积最大，当且仅当点P到平面AB,D的距离最大， 易知点C是正方体到平面AB,D距离最大的点， 所以（亿-鸡a)=%4,此时三棱锥C-AB,D即为棱长是25的正四面体， 其高为h= a-g5所-aia,559 2 3B错误： 对于C:连接AC,AB,以B为圆心，BB为半径画弧B,C,如图1所示， D 当点P在线段AC,AB,和弧BC上时，直线AP与AB所成的角为45°， B AC=VAB:+BC2=V4+4=2v2,AB=4B+BB:=4+4=2v2, 弧B,C长度4×兀x2=元，故点P的轨迹长度为元+4W5,故C正确； 对于D,取AD,DD,DC,CB,BB,AB的中点分别为Q,R,N,M,T,H, 图1 连接OR,OF,FT,TM,N,NR,FH,HN,HM,如图2所示， 因为FT∥D,C,FT平面DBC,DCC平面DB,C,故FT∥平面D,B,C, D TM∥B,C,TMa平面DB,C,BCc平面D,B,C,故TM∥平面D,B,C; B 又FTOTM=T,FT,TMC平面FTM,故平面FTM∥平面D,B,C; R 又OF∥M,OR∥TM,RN∥FT, 故平面FTMNRO与平面FTM是同一个平面. 则点P的轨迹为线段MN: H 图2 在三角形FNM中， FN=VFH'+W2=V4+4=22,FM=√FH'+lMP=√4+2=√6，MM=√2， 则FM2+MN2=8=FN2, 故三角形FNM是以∠MN为直角的直角三角形； 故FPx=N=2V2,故FP长度的最大值为22，故D正确。 故选：CD 【点睛】立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定 定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度， 第Ⅱ卷非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案12105 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得 数学参考答案第4页（共9页）》 【详解】因为了代)如+-儿①=1.所以+a）)月 2△ 故答案为：号 13.【答案】3 【分析】根据空间向量的共线，可得向量之间有倍数关系，由此可得方程组，即可求解答案， 【详解】由题意知向量a=(m-1,0,2),b=(2,n+2,1),al/i, 故存在实数1，使得a=b,∴.(-1,0,2)=2(2，n+2,1), m-1=2入 即{0=(1+2)，解得=2，m=5,n=-2,故m+n=3, 2=1 故答案为：3 4【答案】=子 【分析】双曲线的右焦点为R,四边形A,B是平行四边形，有丽=4，∠BR=,又网-R=2a, 解得网学团号、。职中由余弦定莲学号号可求出会件双准线的箭近线方程 【详解】双曲线的右焦点为F2,连接AF,BE,, 由A,B关于原点对称，F,E也关于原点对称，可知四边形AFB是平行四边形， 又丽=4网，AB=行，则有丽4，B Γ3 又由双曲线的定义得网网-2a,解得网-号R经， 再由余弦定理：FF;=FB+FB2-2FB.F,B cos∠FBF, 即gg-20子m号，得号号 a2-9 再由-2- a-va-v9 ,故新近线方程为：±女 3 故答案为：y=士 -x. 【点睛】双曲线与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、‖P-P到=2a,得到a,c的关系.双 曲线的渐近线是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的渐近线，常见有两种方法：①求出α，b,代入渐近线方程； ②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=c2-a2转化为a,b的齐次式，代入渐近线方程即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【答案】(1)x=3或4x+3y-3=0(2)2,5+2W2) 【分析】(1)利用斜率分类思想，来设出切线方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，即可求得斜率，从 而可得切线方程；(2)联立直线与圆的方程，利用韦达定理，结合向量的坐标运算，可求得参数范围， 【详解】(1)圆C:(x-2)2+y2=1的圆心为C(2,0),半径r=1,过点P(3,-3)的切线， 若切线的斜率不存在，则直线方程为x=3,符合题意； 若切线的斜率存在，设切线方程为y+3=k(x-3),即x-y-3k-3=0 则根据相切可得：4=大，即化+=+1，解得太= V1+k2 3, 所以切线方程为y+3=-3-3),即4+3V-3=0: 即过点P(3,-3)的切线方程为x=3或4x+3y-3=0, 数学参考答案第5页（共9页） x-y+=0 (2)由{G2+1得x-2++m网-1， 整理可得：2x2+(2m-4)x+3+m2=0, 设E(5,乃)，F(xy), 由△=(2m-4)2-4×2×(3+m2）>0,解得-2-√2<m<-2+V2 则与+6=2-m,5=3+m 2， 所以y2=(+m)(x2+m)=xx+(x+x)+m2 5 m(-mp nm 3 即丽0丽华+：=+2多m+++42. 3 因为-2-√2<m<-2+√2， 所以0m+1)2+2∈2,5+2√2， 即0.0F的取值范围为2,5+22)， 16.【答案】(1)￡+上-e=5 (2)t=2 42 2 【分析】(1)由题意得b=c=√2，进一步得a,由此即可得解；(2)设AB:y=+i,(k≠0，t>2), -4t 少化)，联立椭酒方程，由市法理有玉+水+龙4-而0 X1+X2 令x=0,即可得解. 【详解11)由题宝=8=方5，从而a=瓜-正-2，所以能离方落为号+号-1，高心率为：- 42 2 (2)直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾， 从而设AB:y=+t(k≠0，t>√2，A(x,y),B(x2,y2), 一联立+，化简并整理得1+2k+4x+2r-40 y=kx+t 由题意△=16kt-8(2k2+1)-2）上84k2+2-10，即k,t应满足4k2+2-2>0, -4t 所以x+5+22 若直线BD斜率为O,由椭圆的对称性可设D(-x2,y2), 所以AD:y=兰二当(x-X)+片，在直线AD方程中令x=0, x+X2 得=-，+低0，+1+】化2斗4=21. X1+X2 1+X2 X+x, 所以t=2, 此时k应满足 k2-=4-2>0,即k应清足k<2或>5 k≠0 2 2 综上所述，t=2满足题意，此时k<-巨或k>巨 2 2 数学参考答案第6页（共9页） 17.【答案】(1)y2=4x(2)(i)证明见解析(iⅱ)4x+3y-4=0或3x-4y-3=0 【分析】(1)借助弦长公式构造方程，结合二次函数得到最值计算即可； (2)(1）设直线AC方程：x=y+2-2,A(5,片)，C(xy),直曲联立.另外，由前问求出B,D,进而得到 直线BD方程，化简得到m(2x+y)+1-2x=0,即可求出定点 (ⅱ)先求出MW和直线MW方程，还求出点A(:,y)到直线MN的距离，根据面积公式计算出A点坐标，即 可求出直线AB方程 【详解】(1)设直线4B方程：x=+号，代入2=2p中，消去x得y-2-p=0. 设A(,y),B(x2,),则y+y2=2pt,yy=-p。 AB到=1+4-y=1+4p2(1+t)=2p1+t2) 当t=0时，有AB的最小值为2p. .2p=4,故E的方程为y2=4x. (2)(i)设直线AC方程：x=y+2-2mA(,片)，C(s,y): 由=m+2-2 {y'=4消去x得广-4m+8m-8=0: J片+%=4m y=8m-8① ∴当BD的斜率不存在时，AC的斜率不存在时，不妨设A(2,2√②)，C(2,-2√2 1 此时x,=x,=2,BD:x=2 -4 当BD的斜率存在时，直线BD的斜率k。=”为 yiy3 44 V+v y32y2 直线BD方程为 丛x-4 片十”)化简得++⅓+4=02 由①②得(8-8)x+4y+4=0,即m(2.x+y)+1-2x=0 2x+y=0 x=- 由 得 1-2.x=0 2, 直线0过定点v小： y=-1 所以宜线BD过定点N行小： i)由1)知a-2+e9 直线N方程为：2x-y-2=0, y2-2y-4 25 5w-o鲜d-5,公手所千5部得%=成6 所以A点坐标为(4，-4)，或(9,6). 且FL0,k6=k=-4或2 34 直线AB方程为4x+3y-4=0或3x-4y-3=0. 数学参考答案第7页（共9页） 【点睛】处理定点问题的思路： (1)确定题目中的核心变量（此处设为k), (2)利用条件得到有关k与x,y的等式， (3)所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论k的值如何变化，等式恒成立， 此时要将关于k与x,y的等式进行变形，直至找到定点， ①若等式的形式为整式，则考虑将含k的式子归为一组，让系数等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k变为常数。 18.【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在， 1 【分析】(1)已知侧面PAD⊥底面ABCD,应用面面垂直性质定理证明线面垂直；(2)建立空间向量求出平面 PAD的法向量和平面PCD的法向量，再应用二面角余弦公式计算求解；（3)设点2(0，，O),m∈[-a,a],再应用 点到平面距离公式计算求参即可， 【详解】(1)PA=PD,O为AD的中点 .PO⊥AD,:侧面PAD⊥底面ABCD 侧面PADO底面ABCD=AD,POC平面PAD, .PO⊥平面ABCD. (2):底面ABCD为直角梯形， 其中BC/AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2a, .OC⊥AD,又PO⊥平面ABCD, .以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则C(a,0,0),D(0,a,0),P(0,0,a), PC=(a,0,-a),PD=(0,a,-a), 设平面PAD的法向量i=(1,0,0) 设平面PCD的法向量m=(xy,=), ii.PC=ax-az =0 取x=1,得i=(1,1,1). i.PD=ay-az=0 设平面PCD与平面夹角为日， 则cos0= m列15 园53， 故平面PCD与平面PAD夹角的余弦值为V 3 (3)设线段AD上存在2(0，m0),m[-a,al,使得它到平面℃D的距离为5a,P0=(0m-4, ∴2到平面PCD的距离d= Po.m-d_13 a. √3 解得m=号或m= 2 ,（舍去)， 0 OD 3a 3 数学参考答案第8页（共9页） 19.【答案】(1)257（2)k=-1,b=21(3)证明见解析 【分析】(1)根据“2数列”的定义计算即可；（2)根据题意得到a1,然后结合“k数列”的定义列方程得到k,9, 最后写通项即可；（3)根据“k数列”的定义得到a,>1,然后构造函数得到hx<x-1(x>1),最后利用累加法 证明即可 【详解】(1)由a=1,且{a}为“2数列”，得a1-Tn=2,即a1=2+Tn, 则a2=2+T=2+a=3,a,=2+T,=2+a4=2+1×3=5, 4=2+I,=2+aa,4=2+1x3x5=17,a=2+I=2+4a,4,44=2+1x3x5x17=257 (2)设数列{b}的公比为q(q>0), 由6=2，得G=工+l1og,4,即G-d=4gg…a+lg:么，则Gn-2a-aa4aa1+tlog.b. 两式相减得a1=a4a2a…a,(a1-1)+l0gb-l0gbn,即a1=a4a,a…a(a1-1)+l0g2q. 因为{an}是首项为2的“k数列”，所以a1-T=k，即aa,a…a=a1-k, 所以a1=(a1-k)(aH-1)+logq,即(k+1)a+1=k+log2q对任意的neN恒成立 因为42=+k=a+k=2+k,4=T+k=a4+k=2(2+k)+k=3k+4, 则+la=1e:g,即+2cs9,解得t=-1,g=2, (k+1)a4-k=log291 (k+1)3k+4)-k=1og,q 又由G=4+logb,即4=2+l0gb,得b=4,所以b,=2+1 检验可知飞=-1符合要求，故数列地}的通项公式为b,=21 (3)因为{a}为“k数列”，所以a1-Tn=k，即a1=4a,凸…an+k对任意的neN恒成立， 因为4>1，k>0,所以a2=a+k>1. 再结合4>1，k>0,4>1,反复利用a+1=4a,4…a+k,可得对任意的neN,a,>1. 设函数f(x)=lnr-x+1,则f'(x)=1-1. 由f'(x)=0,得x=1. 当x>1时，f(x)<0,所以f(x)在(1，+∞)上单调递减 所以当x>1时，f(x)=lnx-x+1<f(1)=0,即lnx<x-1(x>1). 又an>1,所以lha.<a-1 可得ha<a-1,ha<a2-1,…,ha.<a.-1, 累加可得ha+lha2+…+ha.<a+a2+…+a.-n,即ln(aa2…an)<Sn-n,即lhTn<S-n, 所以Sn>lnTn+n. 【点睛】本题为数列的新定义题型，准确理解“k数列”的含义，紧扣题意将问题转化为熟悉的数学知识进行求解， 同时构造函数，利用导数研究函数的单调性是证明不等式的关键」 数学参考答案第9页（共9页）