"该初中数学教学设计聚焦“分母有理化”与“最简二次根式”核心知识点，通过回顾二次根式化简的已有要求（被开方数不含开得尽方因数或分母），以问题链搭建学习支架，自然引入新课探究。\n此资料以问题驱动学生自主建构知识，分“被开方数不含分母”“分母不含根号”层次递进，例3巧用平方差公式突破分母含加减运算难点，培养运算能力与推理能力。学生主体探究与教师引导结合，提升学习效率，为二次根式运算奠基。"

11.2.3　分母有理化 何嘉欢 一、教学目标 理解最简二次根式的含义，会将二次根式化为最简二次根式，并在探究过程中发展运算能力和推理能力． 二、教学重难点 教学重点：会将二次根式化为最简二次根式． 教学难点：化简分母中含有加减运算的二次根式． 三、教学过程 （一）情境设计 问题1　在之前几节课中，我们对二次根式运算的结果提出了哪些要求？ 预设　①被开方数一般不含开得尽方的因数或因式；②被开方数一般不含分母． 追问　根据以上要求，如何化简？ 预设　＝＝＝． 设计意图　回顾之前对二次根式化简提出的要求，检验学生学习本堂课应具备的知识和技能，并在此基础上引入新课的内容，即进一步探究二次根式的化简． （二）数学建构 1．被开方数中不含分母． 问题2　如何化简？ 预设　＝． 追问1　在化简二次根式时，一般还要求分母中不含根号，因此上述化简方式不符合要求．你还有其他化简方法吗？ 填空　＝＝＝． 追问2　上述化简过程的思路是什么？ 预设　被开方数的分子分母同时乘3，使得分母变成平方数，再根据二次根式除法的性质将分母变成有理数，这样在化简后的二次根式中分母里就不含根号． 追问3　你能仿照上述方法化简（a＞0）吗？ 预设　＝＝＝． 追问4　当一个二次根式的被开方数是分数或分式时，你能用数学语言总结如何让被开方数中不含分母吗？ 预设　＝＝＝＝（a≥0，b＞0）． 设计意图　从上一节课学习的知识出发，发掘新问题，即被开方数的分母不是平方数的情况，凸显继续探究如何让被开方数中不含分母的必要性．学生通过叙述化简思路理解算理，并通过列式的形式总结一般方法．整个过程以学生为主体，培养了学生的计算能力、推理能力和归纳总结能力． 例1 化简： （1）； （2）； （3）（x＞0，y≥0）． 设计意图　例1帮助学生巩固使被开方数中不含分母的化简方法，提升学生的熟练度．第2小问被开方数的分母为18，学生思考时应当意识到分子分母并不需要同时乘18，而是同时乘2就可以让分母变成平方数，避免进一步化简和约分，进而总结分子分母应当同时乘能让分母变成平方数的最小的数． 2．分母中不含根号 问题3　对于刚刚你们写出的，该如何化简才能使其分母中不含根号？ 预设　＝＝． 追问1　你化简的思路是什么？ 预设　分子分母同时乘，使得分母变成有理数，即可不含根号． 追问2　你能仿照上述方法化简（a＞0）吗？ 预设　＝＝． 追问3　当一个式子的分母中有根号时，你能用数学语言总结如何让分母中不含根号吗？ 预设　＝＝（a≥0，b＞0）． 这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化． 一般地，化简二次根式就是使二次根式 （1）被开方数中不含分母； （2）分母中不含有根号； （3）被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数，且因式的次数等于1． 这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式． 设计意图　从之前探究过程中出现的问题出发，探究让分母中不含根号的化简方法．学生在化简时可能会提出将它先变形为，再用让被开方数中不含分母的方法进行化简．教师应当给予鼓励，并让学生意识到这两种情况其实是相通的，但也要引导学生思考有没有更加直接的方法． 例2 化简： （1）； （2）； （3）（x＞0，y≥0）． 设计意图　例2帮助学生巩固使分母中不含根号的化简方法，提升学生的熟练度．第2小问的分母为，学生思考时应当意识到分子、分母并不需要同时乘，而是应先将分母化简成2，再让分子、分母同时乘，就可以使分母有理化，避免进一步化简和约分，进而总结当分母中有根号时，应先将分母化为最简二次根式，再将分母有理化． （三）视野拓展 问题4　如何化简？ 追问1　可以让分子、分母同时乘吗？ 预设　不可以，分母乘变为2＋，还是含有根号． 追问2　有其他办法吗？ 预设　利用平方差公式，＝＝＝－1． 例3 化简： （1）； （2）； （3）（a＞0，b＞0）． 设计意图　围绕分母中含有加减运算的二次根式进行拓展，总结这类二次根式分母有理化的一般方法． （四）课堂小结 教师与学生一起回顾本堂课学习的主要内容，提出以下问题： 1．什么是最简二次根式？ 2．举例说明如何将一个二次根式化为最简二次根式． 设计意图　通过小结，帮助学生梳理本堂课学习的主要内容及研究方法，强调本堂课的核心是如何将一个二次根式化为最简二次根式．最后通过学生自己举例检验其本堂课的掌握情况，教师可以根据学生举的例子进行补充，需涵盖最简二次根式的三种情况． （五）作业布置 1．化简： （1）； （2）； （3）（a≥0）． 2．计算： （1）； （2）； （3）（a＞0，b≥0）． 四、教学设计说明 本教学设计旨在引导学生理解最简二次根式的概念，掌握分母有理化的基本方法，并能在实际问题中灵活运用．设计遵循“从已知到未知、由浅入深、循序渐进”的原则，注重培养学生的运算能力、推理能力和归纳总结能力． 在问题引入阶段，通过复习已经提出的二次根式化简要求，自然引出本节课的核心问题之一——如何处理分母中含有根号的情况．教学建构环节分为“被开方数中不含分母”和“分母中不含根号”两个层次展开．教师通过问题串引导学生自主探究，从具体例子中提炼方法，体现从具体到抽象的认知过程．例题设计注重层次性与典型性，既巩固基础方法，又引导学生优化计算策略．视野拓展部分针对分母中含有加减运算的二次根式，引入平方差公式进行有理化，拓宽学生思路，提升其综合运用能力．课堂小结以问题形式引导学生自主回顾，强化对最简二次根式三要点的理解，并通过举例检验学习成效． 整节课以学生为主体，教师作为引导者，通过层层设问、动手练习、归纳总结，促进学生对分母有理化方法的深度理解与掌握，为其后续学习二次根式的加减运算奠定坚实基础． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $