专题6 提升点12 曲线的切线与公切线问题-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

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　曲线的切线与公切线问题 类型一　曲线的切线 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处切线的斜率． (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同． (3)切点既在切线上，又在曲线上． 　(1)(2025·聊城一模)曲线y＝x ln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A．4 B．3 C．1 D． (2)(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________． 【解析】　(1)对函数y＝x ln x求导得y′＝ln x＋1，故所求切线斜率为k＝ln 1＋1＝1，切点坐标为(1，0)，所以曲线y＝xln x在x＝1处的切线方程为y＝x－1，该切线交x轴于点(1，0)，交y轴于点(0，－1)，因此，曲线y＝xln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×12＝. (2)方法一：由y＝ex＋x＋a，得y′＝ex＋1.设切点为P(x0，y0)，由直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线， 得解得 方法二：设切点为P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝ex0＋1＝2，所以x0＝0，因此y0＝2x0＋5＝5.因为点P(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以a＝4. 【答案】　(1)D　(2)4 【解题技法】　求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上，这个点都不一定是切点)，应先设切点的坐标，再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程． 　(2025·辽宁省部分重点中学协作体联考)过原点且与曲线y＝x sin x相切的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：选C.设切点(x0，x0sin x0)，切线的斜率为k，因为曲线y＝x sin x，所以y′＝sin x＋x cos x，所以＝sin x0＋x0cos x0，所以xcos x0＝0，所以x0＝0或cos x0＝0.当x0＝0时，k＝0，所以切线方程为y－0＝0(x－0)，即y＝0；当x0＝＋2nπ，n∈Z时，k＝1，所以切线方程为y－0＝1(x－0)，即y＝x；当x0＝－＋2nπ，n∈Z时，k＝－1，所以切线方程为y－0＝－1(x－0)，即y＝－x，所以切线有3条． 类型二　两曲线的公切线 角度1　相同切点的公切线 　(1)已知曲线y＝ln x与曲线y＝a在交点(1，0)处有相同的切线，则a＝(　　) A．1 B． C．－ D．－1 (2)已知曲线f(x)＝x2－2m，g(x)＝3ln x－x，若y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m＝(　　) A．－3 B．1 C．2 D．5 【解析】　(1)因为(ln x)′＝，[a(x－)]′＝a(1＋)，曲线y＝ln x与曲线y＝a(x－)在交点(1，0)处有相同的切线，所以2a＝1，a＝. (2)设曲线f(x)＝x2－2m和g(x)＝3ln x－x的公共点为(x0，y0)， 则即 解得x0＝m＝1. 【答案】　(1)B　(2)B 【解题技法】　求两曲线共切点的公切线的一般思路 (1)设两曲线的公共切点P0(x0，y0)； (2)列关系式 (3)求公共切点P0的横坐标x0，再代入y＝f(x)或y＝h(x)，求y0； (4)所求公切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)或y－y0＝h′(x0)(x－x0). 角度2　不同切点的公切线 　已知函数f(x)＝ln x与g(x)的图象关于直线y＝x对称，直线l与g(x)，h(x)＝ex+1－1的图象均相切，则l的倾斜角为(　　) A． B． C． D． 【解析】　因为函数f(x)＝ln x与g(x)的图象关于直线y＝x对称，所以f(x)＝ln x与g(x)互为反函数，所以g(x)＝ex，则g′(x)＝ex.由h(x)＝ex+1－1，得h′(x)＝ex+1，设直线l与函数g(x)＝ex的图象的切点坐标为(x1，ex1)，与函数h(x)＝ex+1－1的图象的切点坐标为(x2，ex2＋1－1)，则直线l的斜率k＝ex1＝ex2＋1，故x1＝x2＋1，显然x1≠x2，故k＝＝＝1，所以直线l的倾斜角为. 【答案】　B 【解题技法】　求两曲线不共切点的公切线的一般思路 (1)分别设出两曲线的切点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)； (2)分别求两曲线的切线方程； (3)由公切线转化为两切线方程对应项系数相同，列方程组消元求解x1或x2，再求公切线方程． 角度3　公切线数量问题 　已知函数f(x)＝ln x＋1，g(x)＝ax2(a＞0).若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)存在两条公切线，则实数a的取值范围为________． 【解析】　设公切线与f(x)＝ln x＋1的图象相切于点(x0，ln x0＋1)，因为f′(x)＝，所以切线斜率k＝，所以切线方程为y－(ln x0＋1)＝(x－x0)，即y＝x＋ln x0，联立消去y得ax2－x－ln x0＝0，因为切线与曲线y＝g(x)相切，所以Δ＝(－)2－4a(－ln x0)＝0，即＋4a ln x0＝0，即＝－4a ln x0，因为x0＞0，＞0，a>0，所以－4a ln x0＞0，所以ln x0＜0，所以0＜x0＜1，所以＝－4a ln x0有两个解，即＝－xln x0有两个解，令h(x)＝－x2ln x(0＜x＜1)，则h′(x)＝－2x ln x－x＝－x(2ln x＋1)，令h′(x)＝0，得x＝e，当0＜x＜e时，h′(x)＞0，当e＜x＜1时，h′(x)＜0，所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，1)上单调递减，所以h(x)max＝h(e)＝－e-1ln e＝，当x→0时，h(x)→0，当x＝1时，h(x)＝0，所以0＜＜，所以a＞，所以实数a的取值范围为(，＋∞). 【答案】　(，＋∞) 【解题技法】　两曲线公切线条数的判断方法 (1)由两曲线公切线的几何特征，构建等量关系式f′(x1)＝g′(x2)＝； (2)解上述方程组， 当无解时， 两曲线不存在公切线；当有一解时，公切线只有一条；当有两个不同的解时，公切线有两条． 　1.已知函数f(x)＝ex－ax＋b(a，b∈R)，g(x)＝x2＋x，若这两个函数的图象在公共点A(1，2)处有相同的切线，则a－b的值为(　　) A．e－2 B．e＋2 C．e D．e2 解析：选A.因为f(x)＝ex－ax＋b(a，b∈R)，g(x)＝x2＋x，所以f′(x)＝ex－a，g′(x)＝2x＋1，因为f(x)，g(x)的图象在公共点A(1，2)处有相同的切线，所以即所以a－b＝e－2. 2．已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x-1，则f(x)和g(x)图象的公切线的条数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选A.设公切线与f(x)和g(x)的图象分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f′(x)＝2x－4，g′(x)＝－x-2，g′(n)＝f′(m)＝，解得m＝－＋2，代入化简得8n3－8n2＋1＝0，构造函数h(x)＝8x3－8x2＋1，则h′(x)＝8x(3x－2)，所以h(x)在(－∞，0)，(，＋∞)上单调递增，在(0，)上单调递减，极大值h(0)＞0，极小值h()＜0，故函数h(x)的图象和x轴有3个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有三个解，故公切线有3条． 学科网（北京）股份有限公司 $