"本初中数学讲义聚焦一元二次方程的解法，系统梳理直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的原理与步骤，构建从方程形式识别到解法选择再到含参数方程求解的学习支架，衔接后续二次函数等知识。\n资料通过分层教学目标设计循序渐进，设置即学即练与变式训练培养运算能力和推理意识，渗透降次转化思想，结合中考真题与实际问题提升应用意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。"

专题17.2 一元二次方程的解法 教学目标 基础目标：学生能够准确识别一元二次方程的一般形式，理解直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的核心原理，熟记求根公式。 核心目标：熟练掌握四种基本解法的解题步骤，能根据方程结构特点选择合适的解法，规范完成解方程全过程，准确求出方程的实数根。 拓展目标：理解根的判别式的意义，能利用判别式判断一元二次方程根的情况，初步掌握含参数一元二次方程的简单求解思路。 教学重难点 教学重点 1. 核心解法掌握：熟练运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，这是后续学习二次函数、一元二次不等式的基础，也是中考核心考点。 2. 求根公式推导与应用：理解求根公式的推导过程，精准套用公式求解，规范书写解题步骤。 3. 解法择优选择：根据方程形式（缺一次项、缺常数项、可因式分解、一般式）快速判断最优解法，提升解题效率。 教学难点 1. 配方法的灵活运用：学生易在配方过程中出错，尤其是二次项系数不为1时，如何提取系数、凑完全平方式是难点，容易忽略等式性质导致计算失误。 2. 求根公式的理解与记忆：部分学生死记硬背公式，忽略判别式的取值范围，忽略二次项系数不为0的前提条件，导致解题错误。 3. 因式分解法的精准判断：对于十字相乘法分解二次三项式，学生难以快速找到合适的因数，容易漏解、错解。 4. 降次转化思想的渗透：学生难以理解“将一元二次方程转化为一元一次方程”的核心逻辑，只会机械解题，不会灵活变通。 知识点01 直接开平方法 1. 定义：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程解的方法叫作直接开平方法. 2. 方程x2=p 的解(根)的情况 (1)当p>0 时，方程有两个不等的实数根=－ ，= ； (2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根==0； (3)当p<0 时，方程没有实数根. 3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 移项 将方程变成左边是完全平方式的形式，且二次项系数化为1，右边是非负数的形式(若方程右边是负数，则该方程无实数根) 开平方 将方程转化为两个一元一次方程 解这两个一元一次方程 得出的两个解即为一元二次方程的两个根 【即学即练】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）解方程：． 知识点02 配方法 1. 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 示例(2x²7x+3=0) 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 2x²-7x=-3 二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项 【即学即练】（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程： 知识点03 公式法 1.求根公式： x= 是一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0 且 b2－4ac ≥ 0)的求根公式 . 2. 公式法：有了求根公式，要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定出a， b， c 的值， 然后，把a， b， c 的值代入求根公式，就可以得出方程的根，这种解法叫做公式法 . 3.用公式法解一元二次方程的步骤 (1)把一元二次方程化成一般形式； (2)确定公式中a，b，c 的值； (3)求出b2－4ac 的值； (4)若b2－4ac ≥ 0，则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求解. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程： 知识点04 因式分解法 1. 定义：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法. 2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为0； (2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积； (3)令两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 3. 常见的可以用因式分解法求解的方程的类型(a, b 为常数) 常见类型 因式分解 方程的解 x²+bx=0 x(x+b)=0 =0, =-b x²-a²=0 (x+a) (x-a)=0 =-a, =a x²±2ax+a²=0 (x±a)²=0 == ±a x²+(a+b)x+ab=0 (x+a) (x+b)=0 =-a, =-b 【即学即练】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）解方程： 题型01 用适当的方法解一元二次方程 【例1-1】用两种方法解方程：． 【例1-2】解下列方程： (1)； (2)． 【例1-3】解方程： (1) (2) 【变式1-1】解下列方程 (1) (2)． 【变式1-2】用合适的方法解方程： (1)； (2)． 【变式1-3】用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【变式1-4】解方程 (1)； (2) 【变式1-5】解方程： (1)； (2)． 题型02 解系数中含有字母的一元二次方程 【例2-1】解关于的方程： 【例2-2】解关于的方程： 【例2-3】解关于x的方程． 【变式2-1】解关于的方程：． 【变式2-2】解关于的方程：（）． 【变式2-3】解关于的方程： 【变式2-4】解关于的方程：． 题型03 配方法的应用 【例3-1】利用配方法求字母的值 若一元二次方程 （a，b为常数），化成一般形式为，则a，b的值分别是（    ） A．，1 B．2，1 C．2， D．， 【例3-2】利用配方法求代数式的最值 关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【例3-3】利用配方法判断三角形的形状 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：已知，求，的值． 由题意，得， 即， ，， ，． 根据以上材料，解答下列各题． (1)若，求的值； (2)若，，分别表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【变式3-1】把整式表示成的形式，则的最小值为（    ） A．5 B．2.5 C．7 D．3.5 【变式3-2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【变式3-3】阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【变式3-4】阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则，∴，已知，求x，y的值，则有，∴，解得．解方程，则有，∴，解得． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求a的值； (2)若，求的值； (3)若，求a的值； (4)若a，b，c表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 题型04 换元法的应用 【例4-1】用换元法解方程 解方程：． 【例4-2】运用换元法求代数式的值 阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 【例4-3】换元法有关的创新题 请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 【变式4-1】阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【变式4-2】【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 【变式4-3】【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 (1)【引申】已知，则 ． (2)【拓展】已知，求的值． 【变式4-4】阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽六安·月考）若等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长为（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．12 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是实数，且满足则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 3．（22-23八年级下·安徽·期末）若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 4．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知等腰三角形的一边为5，另一边恰好是一元二次方程的一个解，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．9或17 B．12或16 C．12或16或17 D．9或12或16或17 二、填空题 5．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）若，则_______． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是___________． 7．（24-25八年级下·安徽六安·期末）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是______（填序号） ①；②；③；④． （2）若方程是“自然方程”，n的值为______ 三、解答题 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）解方程： (1)(配方法) (2) 10．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一个根为0，求实数a的值； (2)当时，等腰的底边长和腰长分别是该一元二次方程的两个根．请用配方法解此方程，并求出的周长． 11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·月考）定义：若关于x的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于x的方程是常数根一元二次方程，则c的值为_____________； (2)如果关于x的方程是常数根一元二次方程，则m的值； (3)若关于x的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于y的方程是常数根一元二次方程． 12．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明由： ①； ②； (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； (3)若关于的方程（是常数）是“差1方程”，设，若的值为9，求此时和的值． 13．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题，下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项得， 配方得， 所以， 直接开平方得， 所以． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是（   ） A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：； 【拓展应用】 （1）已知是实数，求代数式的最小值； （2）已知都是实数，求代数式的最小值． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）材料阅读：材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． 材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：．，．故或．因此原方程的解是，． 根据材料回答以下问题． (1)二阶行列式__________； (2)求解中的值； (3)结合材料，若，，且，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.2 一元二次方程的解法 教学目标 基础目标：学生能够准确识别一元二次方程的一般形式，理解直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的核心原理，熟记求根公式。 核心目标：熟练掌握四种基本解法的解题步骤，能根据方程结构特点选择合适的解法，规范完成解方程全过程，准确求出方程的实数根。 拓展目标：理解根的判别式的意义，能利用判别式判断一元二次方程根的情况，初步掌握含参数一元二次方程的简单求解思路。 教学重难点 教学重点 1. 核心解法掌握：熟练运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，这是后续学习二次函数、一元二次不等式的基础，也是中考核心考点。 2. 求根公式推导与应用：理解求根公式的推导过程，精准套用公式求解，规范书写解题步骤。 3. 解法择优选择：根据方程形式（缺一次项、缺常数项、可因式分解、一般式）快速判断最优解法，提升解题效率。 教学难点 1. 配方法的灵活运用：学生易在配方过程中出错，尤其是二次项系数不为1时，如何提取系数、凑完全平方式是难点，容易忽略等式性质导致计算失误。 2. 求根公式的理解与记忆：部分学生死记硬背公式，忽略判别式的取值范围，忽略二次项系数不为0的前提条件，导致解题错误。 3. 因式分解法的精准判断：对于十字相乘法分解二次三项式，学生难以快速找到合适的因数，容易漏解、错解。 4. 降次转化思想的渗透：学生难以理解“将一元二次方程转化为一元一次方程”的核心逻辑，只会机械解题，不会灵活变通。 知识点01 直接开平方法 1. 定义：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程解的方法叫作直接开平方法. 2. 方程x2=p 的解(根)的情况 (1)当p>0 时，方程有两个不等的实数根=－ ，= ； (2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根==0； (3)当p<0 时，方程没有实数根. 3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 移项 将方程变成左边是完全平方式的形式，且二次项系数化为1，右边是非负数的形式(若方程右边是负数，则该方程无实数根) 开平方 将方程转化为两个一元一次方程 解这两个一元一次方程 得出的两个解即为一元二次方程的两个根 【即学即练】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．用直接开平方法，解一元二次方程即可． 【详解】解： 或， 解得：或． 知识点02 配方法 1. 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 示例(2x²7x+3=0) 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 2x²-7x=-3 二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项 【即学即练】（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程： 【答案】，． 【分析】本题考查了一元二次方程的求解．化简后利用配方法解方程． 【详解】解：， 化简为：， 配方得：，即， 开方得． ∴，． 知识点03 公式法 1.求根公式： x= 是一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0 且 b2－4ac ≥ 0)的求根公式 . 2. 公式法：有了求根公式，要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定出a， b， c 的值， 然后，把a， b， c 的值代入求根公式，就可以得出方程的根，这种解法叫做公式法 . 3.用公式法解一元二次方程的步骤 (1)把一元二次方程化成一般形式； (2)确定公式中a，b，c 的值； (3)求出b2－4ac 的值； (4)若b2－4ac ≥ 0，则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求解. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．根据公式法求解即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 解得：，． 知识点04 因式分解法 1. 定义：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法. 2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为0； (2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积； (3)令两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 3. 常见的可以用因式分解法求解的方程的类型(a, b 为常数) 常见类型 因式分解 方程的解 x²+bx=0 x(x+b)=0 =0, =-b x²-a²=0 (x+a) (x-a)=0 =-a, =a x²±2ax+a²=0 (x±a)²=0 == ±a x²+(a+b)x+ab=0 (x+a) (x+b)=0 =-a, =-b 【即学即练】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，观察式子特征，运用因式分解法进行方程，即可作答． 【详解】解：， ， ， ，． 题型01 用适当的方法解一元二次方程 【例1-1】用两种方法解方程：． 【答案】， 【详解】解：配方法：原方程变形为， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴，； 公式法：原方程可化为， 则，， ∴， ∴，． 【例1-2】解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ， ， 则， ∴； （2）， ，即， 或， 解得：，． 【例1-3】解方程： (1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得，； （2）解：， ， ，， 解得，． 【变式1-1】解下列方程 (1) (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴，即(， 则， 解得： （2）， 或， 解得：． 【变式1-2】用合适的方法解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解： 移项，得， 配方，得， ． 方程两边同时开方，得 ， 则，或． ，； （2）解： ． ， ． ，或． ，． 【变式1-3】用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ， 或， 或 （2）解： ， ， ， ， ， 或． 【变式1-4】解方程 (1)； (2) 【详解】（1）解：，即 ∴，则， ∴， ∴，； （2）解：， ∴，即， ∴或， ∴，． 【变式1-5】解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， ∴． （2）解：， 因式分解得， 或， ． 题型02 解系数中含有字母的一元二次方程 【例2-1】解关于的方程： 【详解】解：∵ ∴ 当时，，开方得，， 当时，方程无实数解． 综上，当时，；当时，方程无实数解． 【例2-2】解关于的方程： 【详解】解： ， 当时，； 当时，； 当时，方程无解． 【例2-3】解关于x的方程． 【详解】当即时，∴ 当时即时， ①若即目时， ②即时， ③即时，方程没有实数根． 【变式2-1】解关于的方程：． 【详解】解：当时，方程无解， 当时，， 当时，， 当时，方程无实数根． 【变式2-2】解关于的方程：（）． 【详解】解：（） ， 当时，， 解得：，； 当时，原方程无解， ∴当时，方程的解为，；当时，方程无解． 【变式2-3】解关于的方程： 【详解】解：①当即时，原方程是一元二次方程                 ∴，； ②当且时，即时，原方程是一元一次方程； ③当，等式恒成立，原方程有无数解； 综上：当时，，；               当时， ；               当，原方程有无数解； 【变式2-4】解关于的方程：． 【详解】当时，原方程为，解得 当时，， 当，即时，； 当，即时 当，即时，方程无解． 题型03 配方法的应用 【例3-1】利用配方法求字母的值 若一元二次方程 （a，b为常数），化成一般形式为，则a，b的值分别是（    ） A．，1 B．2，1 C．2， D．， 【答案】A 【详解】解： ∴， ∴； 故选：A． 【例3-2】利用配方法求代数式的最值 关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程” ∴第二个方程可以写成的形式， ∴展开得： ∴，，， 解得：，， ∴， ∵ ∴ ∴能取的最大值是2026． 故选D． 【例3-3】利用配方法判断三角形的形状 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：已知，求，的值． 由题意，得， 即， ，， ，． 根据以上材料，解答下列各题． (1)若，求的值； (2)若，，分别表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式3-1】把整式表示成的形式，则的最小值为（    ） A．5 B．2.5 C．7 D．3.5 【答案】A 【详解】解：∵ ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 当时，则有最小值，且为． 故选：A． 【变式3-2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【详解】（1）解：， ， ， 的最大值为； （2） ， ， ； （3），点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ， S的最小值为20． 【变式3-3】阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值； （2）①根据图示，矩形鸡场的长为米， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴矩形鸡场的面积为； ② ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值， ∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米． 【变式3-4】阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则，∴，已知，求x，y的值，则有，∴，解得．解方程，则有，∴，解得． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求a的值； (2)若，求的值； (3)若，求a的值； (4)若a，b，c表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 即， ∴， ∴； （4）解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 题型04 换元法的应用 【例4-1】用换元法解方程 解方程：． 【答案】 【详解】解：设，则原方程化为， 因式分解，得， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴原方程的解为：． 【例4-2】运用换元法求代数式的值 阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 【详解】（1）解：， 设， 则原方程变为， 整理得， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）设， 则，即， 解得：或， 由，得， 即． 【例4-3】换元法有关的创新题 请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 【详解】（1）解：设所求方程的根是，则， 所以， 把代入， 得； （2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025， ， ， 是方程的实数根． 故答案为：． （3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2， ， ， 方程 化为：方程， 整理得， 因式分解得， 解得． 【变式4-1】阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 【变式4-2】【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 【详解】解：（1）设， 原方程可变为， 则， ∴或， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∴原方程的解为，，，； （2）解：设四个连续自然数为n，，，， 由题意得， 整理得，即， 设，则方程化为， 即， 因式分解得， （舍去），， 当时，，即， 因式分解得，， ∴，（舍去）， ∴四个连续自然数是2，3，4，5． 【变式4-3】【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 (1)【引申】已知，则 ． (2)【拓展】已知，求的值． 【详解】（1）解：设， 则原方程变形为， 即， 解得：或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：设， 则原方程可化为：， 即， 解得，， ∵时，，，无解． ∴． 【变式4-4】阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 【详解】（1）解：“”的等式含义为的算术平方根等于， 故答案为：的算术平方根等于； （2）解：①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值” 设这个数为， 则可以用数学符号语言描述为， 故答案为：； ②解：， 令， 由①得，， 则原方程为：，即， 或， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴或． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽六安·月考）若等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长为（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，一元二次方程的解法；先解方程可得，，再根据等腰三角形的定义分类讨论，结合三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：，． 当腰长为2时，则，此时不符合题意，舍去． 当腰长为4时，则，符合题意． 该三角形的周长为． 故选B． 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是实数，且满足则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求整式的值，解一元二次方程；设，由配方得，解一元二次方程，即可求解；能熟练解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设，则有 ， ， 解得：，（舍去）， ， 故选：A． 3．（22-23八年级下·安徽·期末）若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可． 【详解】解：令，则：， 原等式可化为：， 整理，得：， 解得：， ∵， ∴，即：； 故选：D． 4．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知等腰三角形的一边为5，另一边恰好是一元二次方程的一个解，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．9或17 B．12或16 C．12或16或17 D．9或12或16或17 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰长和底长，需要注意构成三角形的条件． 先求出一元二次方程的根，再讨论5是等腰三角形的底还是腰，求出三角形周长． 【详解】解：， ， 解得， 若等腰三角形的底是5， 当等腰三角形的腰是6， ∵， ∴能构成三角形， 周长为； 当等腰三角形的腰是2， ∵， ∴不能构成三角形； 若等腰三角形的腰是5， 当等腰三角形的底是2， ∵， ∴能构成三角形， 周长为； 当等腰三角形的底是6， ∵， ∴能构成三角形， 周长为， ∴这个等腰三角形的周长是12或16或17． 故选：C． 二、填空题 5．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）若，则_______． 【答案】2 【分析】本题考查利用换元法解一元二次方程，解题关键是要根据方程的特点灵活选用合适的方法．设，把原方程变形并求得的值，结合是非负数，即可得出答案． 【详解】解：设，则原方程为， 整理得， ∴， 解得， ∵是非负数， ∴． 故答案为：2． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是___________． 【答案】20或27 【分析】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 已知方程利用因式分解法求出解，得到第三边长，分类讨论求出三角形的周长即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 解得：或， 当时，， ∴三角形的周长为：； 当时，， ∴三角形的周长为：； 综上所述，三角形的周长是20或27． 故答案为：20或27． 7．（24-25八年级下·安徽六安·期末）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 【答案】或或 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是______（填序号） ①；②；③；④． （2）若方程是“自然方程”，n的值为______ 【答案】 ②④ 0或2 【分析】（1）利用因式分解法或直接开平方法解方程，然后计算每个方程的两根之差的绝对值，然后根据“自然方程”进行判断； （2）先利用因式分解法解方程得到，，则，然后解绝对值方程即可． 本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）①， ， ， 解得，， ∵， ∴方程不是“自然方程”； ②， ， 解得，， ∵， ∴方程是“自然方程”； ③ ， 解得，， ∵， ∴方程不是“自然方程”； ④， ， ， 解得，， ∵， ∴方程是“自然方程”； 故答案为：②④； （2）， ， 解得， ∵， ∴， 解得或． 故答案为：0或2． 三、解答题 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）解方程： (1)(配方法) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法和灵活选用解题方法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：； （2）去括号整理得：， 移项合并得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：． 10．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一个根为0，求实数a的值； (2)当时，等腰的底边长和腰长分别是该一元二次方程的两个根．请用配方法解此方程，并求出的周长． 【答案】(1)或 (2)，，周长为10 【分析】本题主要考查了方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的定义以及三角形三边关系等知识点，分类讨论是解答（2）的关键． （1）将代入原方程可得出关于a的一元二次方程，解方程求出a的值； （2）先求解方程的解，再结合等腰三角形的定义和三角形的三边关系求解即可． 【详解】（1）解：该一元二次方程有一个根为0， 把代入方程得， 或． （2）解：当时，方程为， 整理得， 配方得，解得，， 若底边长为4，腰长为2，因为，不能构成三角形； 若底边长为2，腰长为4，因为，能构成三角形， 此时周长为； 所以的周长为10． 11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·月考）定义：若关于x的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于x的方程是常数根一元二次方程，则c的值为_____________； (2)如果关于x的方程是常数根一元二次方程，则m的值； (3)若关于x的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于y的方程是常数根一元二次方程． 【答案】(1)0或 (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于c或m的方程． （1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于c的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于m的方程即可； （3）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，得到，因此是关于y的方程的一个根，从而得证结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，， 解得或； 故答案为：0或 （2）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，， 整理得，， 解得或． （3）解：∵关于x的常数根一元二次方程中不含零根， ∴方程的一个根为，且， 代入方程，得，即， ∵， ∴， ∴把代入方程，得左边右边， ∴是关于y的方程的一个根， ∴关于y的方程是常数根一元二次方程． 12．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明由： ①； ②； (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； (3)若关于的方程（是常数）是“差1方程”，设，若的值为9，求此时和的值． 【答案】(1)①不是“差1方程”；②是“差1方程”；理由见解析 (2)或 (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义． （1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为 1 ，从而确定方程是否为“差1方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为 1 ，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【详解】（1）解：①解方程， ∴， ∴或， 解得：或 6 ， ， 不是“差1方程”； ②解方程， ∴， ， ， 是“差1方程”． （2）解：解方程（是常数）得：， ∴或， ∵方程是常数）是“差1方程”， 或， ∴或； （3）解：由题可得：， 解方程得， ∵关于的方程是常数，是“差1方程”， ， ， ， ， 解得：， ． 13．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题，下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项得， 配方得， 所以， 直接开平方得， 所以． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是（   ） A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：； 【拓展应用】 （1）已知是实数，求代数式的最小值； （2）已知都是实数，求代数式的最小值． 【答案】[问题解决]（1）A；（2）；[拓展应用]（1）4；（2） 【分析】本题主要考查利用完全平方公式下的配方法的应用， [问题解决]（1）根据运算过程即可知为完全平方公式； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； [拓展应用]（1）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，有最小值4； （2）将原式变形为，结合，即可知当且时，有最小值． 【详解】解：[问题解决]（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2， 则运用的是完全平方公式， 故选：A； （2）移项得，二次项系数化为1得， 配方得，即， 直接开平方得， 则； [拓展应用] （1）． 无论取什么数，都有， ， 当时，有最小值4， 即代数式的最小值是4； （2） ． 无论取什么数，都有， ， 当且时，有最小值， 即代数式的最小值是． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）材料阅读：材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． 材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：．，．故或．因此原方程的解是，． 根据材料回答以下问题． (1)二阶行列式__________； (2)求解中的值； (3)结合材料，若，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，正确理解二阶行列式的计算法则是解题的关键． （1）根据二阶行列式的计算法则求解即可； （2）根据题意可得，解方程即可得到答案； （3）分别求出m、n，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $